1、一. 摘要在分析和研究了這種水泥凝固時放出的熱量與這種水泥的四種化學成分有關，通過對所給的數據研究之后，提出了簡單的多元線性回歸模型，且在通過多種方法建立了回歸模型，綜合這幾種方法建立的多元線性回歸模型解決了我們面臨的實際問題。模型求解和模型檢驗的結果表明，我們建立的模型是非常符合所求解的問題的，而且簡單易懂，可操作性較高。以下這個方程為上述模型的結果：多元線性回歸模型：y=62.4054+ 1.5511x1+ 0.5102x2+ 0.1019x3-0.1441x4關鍵詞： 多元線性回歸模型 模型求解 模型檢驗二. 問題重述題目1：某種水泥在凝固時放出的熱量y(卡/克)與水泥種的下列四種化學成

2、分有關：X1: 3CAO.AL2O3的成分（%）X2: 3CAO.SiO2的成分（%）X1: 4CAO.AL2O3.Fe2O3的成分（%）X1: 2CAO.SiO2的成分（%）考慮y對這四個變量的線性回歸，其實驗數據如下表：編號（NO.）X1熱量百分比X2 熱量百分比X3 熱量百分比X4Y卡克172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.31310

3、68812109.4請用四種方法為發熱量建立回歸方程。三.模型假設1. 水泥在凝固時放出熱量為固定值，收集的數據準確無誤2. 假設x1，x2，x3,x4為自變量，y為因變量3. 假設y與諸x之間的線性關系可實際表示為4. 是實際回歸常數，是實際回歸系數（j=.4）e是回歸余四.問題分析與模型準備1. 問題分析回歸分析法是一種處理變量間相關關系的數理統計方法，不僅可以提供變量間相關關系的數學表達式，而且可以利用概率統計知識對此關系進行分析，以判別其有效性；還可以利用關系式，由一個或多個變量值，預測和控制另一個因變量的取值，進一步可以知道這種預測和控制達到了何種程度，并進行因素分析。回歸分析法就是

4、以統計回歸概念為基礎，采用多種類型的回歸法建立預測方程，包括一元線性、多元線性、非線性等。多元線性回歸時要確定因變量與多個自變量之間的定量關系，它的數學模型為：其中，為待定參數；為隨機變量，是除x以外其他隨機因素對y影響的總和。其中，稱 E( y) =b 0+b1 x1 + +bmxm為理論回歸方程。在實際問題的研究中，事先并不能斷定隨機變量y與變量x1，x2，xm之間是否有線性關系，在進行回歸參數的估計前，用多元線性回歸方程去擬合隨機變量y與變量x1，x2 ，xm之間的關系，只是根據一些定性分析所作的一種假設。因此，當求出線性回歸方程后，還需對回歸方程進行顯著性檢驗，一般采用兩種統計方法對回

5、歸方程進行檢驗，一種是回歸方程顯著性的F檢驗；另一種是回歸系數顯著性的t檢驗。2. 圖一給出所要求的數據考慮y對這四個變量的線性回歸，其實驗數據如下表：編號（NO.）X1熱量百分比X2 熱量百分比X3 熱量百分比X4Y卡克172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.4五.模型建立5.1最小二乘法參數估計多元線性回歸模型

6、為對上式求偏導并令其為0，然后求含n個未知參數的線性方程組，可以得到所需的參數估計值。得到：整理上式得：求解上面的方程組可求出,得值。5.2方程組法進行參數估計可將問題寫成y=xb+e其中 式中：b是特定參數向量，e是殘差向量遵從正態分布，即eN(0, )；I為nn單位陣，滿足E（e）=0，E(e)=X為已知的nk+1常數矩陣，有自變量的各個觀察值構成。Y是已知的n1常數矩陣，有因變量的各個觀察值構成。用最小二乘法可得到參數向量b的估計值為b=式中：是矩陣x的轉置矩陣，是矩陣的逆矩陣。回歸系數,通過偏導得到他們最小二乘估計值！5.3MATLAB軟件參數估計由已知框圖可編寫以下MATLAB程序：

7、結果說=明：b為回歸模型中的常數系數和回歸線系數；bint為個系數的95%置信區間，R與rint為對應實際值的殘差和殘差置信區間。Stats向量值為擬合優度f值與顯著性概率p。所以此函數方程為y=62.4054+ 1.5511x1+ 0.5102x2+ 0.1019x3-0.1441x4=0.9824說明模型擬合程度非常高。t檢驗:在回歸模型區域中,給出了回歸系數,的估計值及其標準誤差、檢驗值和回歸系數估計區間, t的上下限等，各回歸系數Sig值都小于0.05 說明因變量與自變量之間的回歸效果理想。5.4excel預測估計利用EXCEL回歸分析輸出結果中得到有關回歸分析的統計量、方差分析表和回

8、歸系數及其檢驗、預測區間等數據。分析表中的計算結果,可得下述檢驗結果。Coefficients標準誤差t StatP-valueLower 95%Upper 95%下限 95.0%上限 95.0%Intercept62.4053770.070960.8906020.399134-99.1786223.9893-99.1786223.9893X Variable 11.5511030.744772.082660.070822-0.166343.268545-0.166343.268545X Variable 20.5101680.7237880.7048580.500901-1.158892.1

9、79226-1.158892.179226X Variable 30.1019090.7547090.1350310.895923-1.638451.842272-1.638451.842272X Variable 4-0.144060.709052-0.203170.844071-1.779141.491016-1.779141.491016回歸統計Multiple R0.991149R Square0.982376Adjusted R Square0.973563標準誤差2.446008觀測值13dfSSMSFSignificance F回歸分析42667.899666.9749111.4

10、7924.76E-07殘差847.863645.982955總計122715.763多元線性回歸模型(1)的計算結果R2檢驗:在回歸統計區域中,給出的R2為：0.982376調整后的R2為：0.973563均很接近 1,說明因變量與自變量水泥凝固時放出的熱量與這種水泥的四種化學成分關系很密切。 F檢驗:在方差分析區域中,給出的 F檢驗值為111.4792，遠遠大于 F0.025 ,Sig值為4.76E-07幾乎為零，說明因變量與自變量之間的回歸效果非常顯著。t檢驗:在回歸模型區域中,給出了回歸系數的估計值及其標準誤差、檢驗值和回歸系數估計區間, t的上下限等，各回歸系數Sig值都小于0.05

11、說明因變量與自變量之間的回歸效果理想。所以由上式的excel表格可求出線性回歸方程Y=62.40537+1.551103x1+0.510168x2+0.101909x3+-0.14406x4附錄1MATLAB編寫的程序及結果程序為：y=78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4;x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10;x2=26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68;x3=6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8;

12、x4=60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12;Y=y;X=ones(length(y),1),x1,x2,x3,x4;b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X)運行程序得；b = 62.4054 1.5511 0.5102 0.1019 -0.1441bint = -99.1786 223.9893 -0.1663 3.2685 -1.1589 2.1792 -1.6385 1.8423 -1.7791 1.4910r = 0.0048 1.5112 -1.6709 -1.7271 0.2508 3.9254 -1.4487 -3.17

13、50 1.3783 0.2815 1.9910 0.9730 -2.2943rint = -4.0390 4.0485 -3.2331 6.2555 -5.3126 1.9707 -6.5603 3.1061 -4.5773 5.0788 -0.5623 8.4132 -6.0767 3.1794 -6.8963 0.5463 -3.5426 6.2993 -3.0098 3.5729 -2.2372 6.2191 -4.1338 6.0797 -6.9115 2.3228stats =0.9824 111.4792 0.0000附錄二excel表格所求線性回歸方程表格SUMMARY OUTP

14、UT回歸統計Multiple R0.991149R Square0.982376Adjusted R Square0.973563標準誤差2.446008觀測值13方差分析dfSSMSFSignificance F回歸分析42667.899666.9749111.47924.76E-07殘差847.863645.982955總計122715.763Coefficients標準誤差t StatP-valueLower 95%Upper 95%下限 95.0%上限 95.0%Intercept62.4053770.070960.8906020.399134-99.1786223.9893-99.1

15、786223.9893X Variable 11.5511030.744772.082660.070822-0.166343.268545-0.166343.268545X Variable 20.5101680.7237880.7048580.500901-1.158892.179226-1.158892.179226X Variable 30.1019090.7547090.1350310.895923-1.638451.842272-1.638451.842272X Variable 4-0.144060.709052-0.203170.844071-1.779141.491016-1.779141.491016RESIDUA