1、時間-月-日星期-課題§3.5 函數(shù)的極值與最值教學目的1、 使學生理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)極值的方法。2、 使學生掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。教學重點求函數(shù)的極值教學難點求函數(shù)的極值課 型 基礎(chǔ)課備課組教法選擇 講 授 教 學 過 程教法運用及板書要點 引言：復(fù)習函數(shù)單調(diào)性判別法 講解新課： 一、函數(shù)的極值及其求法上節(jié)例3中，用X=-1，和X=1兩點將的定義域（-，+）分為三小區(qū)間（-，-1），-1，1，使用分別在這三個小區(qū)間上單減，單增，單減（見圖），從圖中不難看出，在X=-1的一個較小范圍內(nèi)，在X=1點的最小區(qū)間都是慮的局部情況，而不是整體，這就是將討論的極

2、值。定義1：設(shè)函數(shù)在點的某鄰域上有定義，若對有，（）則稱是的極大值點（極小值點），就是的極大值（極小值）。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值, 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點. 說明：函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的. 如果是函數(shù)的一個極大值, 那只是就附近的一個局部范圍來說, 是的一個最大值; 如果就的整個定義域來說, 不一定是最大值. 對于極小值情況類似. 極值與水平切線的關(guān)系: 在函數(shù)取得極值處, 曲線上的切線是水平的. 但曲線上有水平切線的地方, 函數(shù)不一定取得極值. 由費馬引理可得定理1（極值的必要條件）： 若函數(shù)在點可導(dǎo)，且點取得 極值，則。 注： 1、一般地，在處有，就稱為的駐

3、點或穩(wěn)定點，上定理1即是可導(dǎo)函數(shù)的極點必為駐點。2、駐點未必是極點，及例：在=0處的情況。3、定理1只對可導(dǎo)函數(shù)而言，對導(dǎo)數(shù)不存在的點，函數(shù)也可能取及極值，例：=x，在x=0點的導(dǎo)數(shù)不存在，但取得極小值。如何判別在x0點取得極值，有下二個定理：定理2（第一充分條件），若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且。1) 若當時而時則是極大值。2) 若當時而時則是極小值。3) 若當及時均有（或均有），則不是極值。注：定理條件改為：若函數(shù)在可導(dǎo)（可以不存在），其他條件不變定理也成立。求極值的步驟：1） 求出導(dǎo)數(shù)；2） 求出的全部駐點和不可導(dǎo)點；3） 按照定理2考察每個駐點和不可導(dǎo)點左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號，確定是否為極值點。4）

4、求出各極值點處的函數(shù)值，即得的全部極值。 【例1】求函數(shù)的極值. 解(1) f(x)在(-¥, +¥)內(nèi)連續(xù), 除x=-1外處處可導(dǎo), 且 ; (2)令f ¢(x)=0, 得駐點x=1; x=-1為f(x)的不可導(dǎo)點; (3)列表判斷 x(-¥, -1)-1(-1, 1)1(1, +¥)f ¢(x)+不可導(dǎo)-0+f(x)0 (4)極大值為f(-1)=0, 極小值為. 當在駐點處的二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零時，則有以下定理：定理3（第二充分條件）設(shè)在的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，那么1） 若，則在點取得極大值；2） 若，則在點取得

5、極小值。 證明 在情形(1), 由于f ¢¢(x0)<0, 按二階導(dǎo)數(shù)的定義有. 根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性, 當x 在x0的足夠小的去心鄰域內(nèi)時, . 但f ¢(x0)=0, 所以上式即 . 從而知道, 對于這去心鄰域內(nèi)的x來說, f ¢(x)與x-x0符號相反. 因此, 當x-x0<0即x<x0時, f ¢(x)>0; 當x-x0>0即x>x0時, f ¢(x)<0. 根據(jù)定理2, f(x)在點x0處取得極大值. 類似地可以證明情形(2). 定理3 表明, 如果函數(shù)f(x)在駐點x0處的二導(dǎo)

6、數(shù)f ¢¢(x0) ¹0, 那么該點x0一定是極值點, 并且可以按二階導(dǎo)數(shù)f ¢¢(x0)的符來判定f(x0)是極大值還是極小值. 但如果f ¢¢(x0)=0, 定理3就不能應(yīng)用。 【例2】 求函數(shù)的極值。 解：，令，可得； 由于，由定理3可知在處取得極小值，極小值為0；由于，定理3不能應(yīng)用，但是在處左右兩值不變號，所以由定理2可知，在處沒有極值（如P158：圖3-15）。 【例3】討論的極值點。 解：，可見在內(nèi)可微，且無駐點，也無使不存在的點，所以此函數(shù)無極值。二、最大值最小值問題 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學實驗中, 常

7、常會遇到這樣一類問題: 在一定條件下, 怎樣使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等問題, 這類問題在數(shù)學上有時可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標函數(shù)）的最大值或最小值問題. 極值與最值的關(guān)系: 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù)的最大值和最小值一定存在. 函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點取得, 如果最大值不在區(qū)間的端點取得, 則必在開區(qū)間(a, b)內(nèi)取得, 在這種情況下, 最大值一定是函數(shù)的極大值. 因此, 函數(shù)在閉區(qū)間a, b上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中最大者. 同理, 函數(shù)在閉區(qū)間a, b上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和

8、函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中最小者. 最大值和最小值的求法:1） 求出的全部駐點和不可導(dǎo)點；2） 求出每個駐點、不可導(dǎo)點和端點的函數(shù)值；3） 比較得出最大值與最小值。 【例4】 求函數(shù)f(x)=|x2-3x+2|在-3, 4上的最大值與最小值. 解 , 在(-3, 4)內(nèi), f(x)的駐點為; 不可導(dǎo)點為x=1和x=2. 【例5】 工廠鐵路線上AB段的距離為100km. 工廠C距A處為20km, AC垂直于AB. 為了運輸需要, 要在AB線上選定一點D向工廠修筑一條公路. 已知鐵路每公里貨運的運費與公路上每公里貨運的運費之比3:5. 為了使貨物從供應(yīng)站B運到工廠C的運費最省, 問D點應(yīng)選在何處？

9、解 設(shè)AD=x (km), 則 DB=100-x , . 設(shè)從B點到C點需要的總運費為y, 那么 y=5k×CD+3k×DB (k是某個正數(shù)), 即 +3k(100-x) (0£x£100). 現(xiàn)在, 問題就歸結(jié)為: x 在0, 100內(nèi)取何值時目標函數(shù)y的值最小. 先求y對x的導(dǎo)數(shù): . 解方程y¢=0, 得x=15(km). 由于y|x=0=400k, y|x=15=380k, 其中以y|x=15=380k為最小, 因此當AD=x=15km時, 總運費為最省. 注意: f(x)在一個區(qū)間(有限或無限, 開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個駐點x0 ,

10、并且這個駐點x0 是函數(shù)f(x)的極值點, 那么, 當f(x0)是極大值時, f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值; 當f(x0)是極小值時, f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值. f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y 應(yīng)當指出, 實際問題中, 往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值, 而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得. 這時如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個駐點x0, 那么不必討論f(x0)是否是極值, 就可以斷定f(x0)是最大值或最小值. d hb 【例6 】 把一根直徑為d 的圓木鋸成截面

11、為矩形的梁. 問矩形截面的高h和寬b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W ()最大? 解 b 與h 有下面的關(guān)系: h 2=d 2-b 2, 因而 (0<b<d). 這樣, W就是自變量b的函數(shù), b的變化范圍是(0, d). 現(xiàn)在, 問題化為: b等于多少時目標函數(shù)W 取最大值？為此, 求W對b 的導(dǎo)數(shù): . 解方程W ¢=0得駐點. 由于梁的最大抗彎截面模量一定存在, 而且在(0, d)內(nèi)部取得; 現(xiàn)在, 函數(shù)在(0, d)內(nèi)只有一個駐點, 所以當時, W 的值最大. 這時, , 即 . . 解: 把W表示成b的函數(shù): (0<b<d). 由, 得駐點. 由于梁的最大抗彎截面模量一定存在, 而且在(0, d)內(nèi)部取得; 現(xiàn)在函數(shù)W在(0, d)內(nèi)只有一個駐點, 所以當時, 抗彎截面模量W最大, 這時.【例7】 某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去當租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20