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1、數(shù)理統(tǒng)計考試試卷一、填空題(本題15分,每題3分)1、總體的容量分別為10,15的兩獨立樣本均值差_;2、設(shè)為取自總體的一個樣本,若已知,則=_;3、設(shè)總體,若和均未知,為樣本容量,總體均值的置信水平為的置信區(qū)間為,則的值為_; 4、設(shè)為取自總體的一個樣本,對于給定的顯著性水平,已知關(guān)于檢驗的拒絕域為2,則相應(yīng)的備擇假設(shè)為_;5、設(shè)總體,已知,在顯著性水平0.05下,檢驗假設(shè),,拒絕域是_。1、; 2、0.01; 3、; 4、; 5、。二、選擇題(本題15分,每題3分)1、設(shè)是取自總體的一個樣本,是未知參數(shù),以下函數(shù)是統(tǒng)計量的為()。(A) (B) (C) (D)2、設(shè)為取自總體的樣本,為樣本
2、均值,則服從自由度為的分布的統(tǒng)計量為( )。(A) (B) (C) (D)3、設(shè)是來自總體的樣本,存在, ,則( )。(A)是的矩估計(B)是的極大似然估計(C)是的無偏估計和相合估計(D)作為的估計其優(yōu)良性與分布有關(guān)4、設(shè)總體相互獨立,樣本容量分別為,樣本方差分別為,在顯著性水平下,檢驗的拒絕域為( )。(A) (B)(C) (D) 5、設(shè)總體,已知,未知,是來自總體的樣本觀察值,已知的置信水平為0.95的置信區(qū)間為(4.71,5.69),則取顯著性水平時,檢驗假設(shè)的結(jié)果是( )。(A)不能確定 (B)接受 (C)拒絕 (D)條件不足無法檢驗 1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B.
3、三、(本題14分) 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為:,其中未知參數(shù),是來自的樣本,求(1)的矩估計;(2)的極大似然估計。解:(1) ,令,得為參數(shù)的矩估計量。(2)似然函數(shù)為:,而是的單調(diào)減少函數(shù),所以的極大似然估計量為。四、(本題14分)設(shè)總體,且是樣本觀察值,樣本方差,(1)求的置信水平為0.95的置信區(qū)間;(2)已知,求的置信水平為0.95的置信區(qū)間;(,)。解:(1)的置信水平為0.95的置信區(qū)間為,即為(0.9462,6.6667);(2)=;由于是的單調(diào)減少函數(shù),置信區(qū)間為,即為(0.3000,2.1137)。五、(本題10分)設(shè)總體服從參數(shù)為的指數(shù)分布,其中未知,為取自總體的樣本,
4、若已知,求:(1)的置信水平為的單側(cè)置信下限;(2)某種元件的壽命(單位:h)服從上述指數(shù)分布,現(xiàn)從中抽得容量為16的樣本,測得樣本均值為5010(h),試求元件的平均壽命的置信水平為0.90的單側(cè)置信下限。解:(1) 即的單側(cè)置信下限為;(2)。六、(本題14分)某工廠正常生產(chǎn)時,排出的污水中動植物油的濃度,今階段性抽取10個水樣,測得平均濃度為10.8(mg/L),標(biāo)準(zhǔn)差為1.2(mg/L),問該工廠生產(chǎn)是否正常?()解: (1)檢驗假設(shè)H0:2=1,H1:21; 取統(tǒng)計量:; 拒絕域為:2=2.70或2=19.023,經(jīng)計算:,由于2,故接受H0,即可以認(rèn)為排出的污水中動植物油濃度的方差
5、為2=1。 (2)檢驗假設(shè); 取統(tǒng)計量: ;拒絕域為;<2.2622 ,所以接受,即可以認(rèn)為排出的污水中動植物油的平均濃度是10(mg/L)。綜上,認(rèn)為工廠生產(chǎn)正常。七、(本題10分)設(shè)為取自總體的樣本,對假設(shè)檢驗問題,(1)在顯著性水平0.05下求拒絕域;(2)若=6,求上述檢驗所犯的第二類錯誤的概率。 解:(1) 拒絕域為;(2)由(1)解得接受域為(1.08,8.92),當(dāng)=6時,接受的概率為。八、(本題8分)設(shè)隨機(jī)變量服從自由度為的分布,(1)證明:隨機(jī)變量服從自由度為的分布;(2)若,且,求的值。證明:因為,由分布的定義可令,其中,與相互獨立,所以。當(dāng)時,與服從自由度為的分布,
6、故有,從而 。數(shù)理統(tǒng)計試卷參考答案一、填空題(本題15分,每題3分)1、; 2、0.01; 3、; 4、; 5、。二、選擇題(本題15分,每題3分)1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B.三、(本題14分)解:(1) ,令,得為參數(shù)的矩估計量。(2)似然函數(shù)為:,而是的單調(diào)減少函數(shù),所以的極大似然估計量為。四、(本題14分)解:(1)的置信水平為0.95的置信區(qū)間為,即為(0.9462,6.6667);(2)=;由于是的單調(diào)減少函數(shù),置信區(qū)間為,即為(0.3000,2.1137)。五、(本題10分)解:(1) 即的單側(cè)置信下限為;(2)。六、(本題14分)解: (1)檢驗假設(shè)H0:2=1,H1:21; 取統(tǒng)計量:; 拒絕域為:2=2.70或2=19.023,經(jīng)計算:,由于2,故接受H0,即可以認(rèn)為排出的污水中動植物油濃度的方差為2=1。 (2)檢驗假設(shè); 取統(tǒng)計量: ;拒絕域為;<2.2622 ,所以接受,即可以認(rèn)為排出的污水中動植物油的平均濃度是10(mg/L)。綜上,認(rèn)為工廠生產(chǎn)正常。七、(本題10分)解
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