1、第十一章 三角形知識要點歸納 1、三角形的概念由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。2、三角形中的主要線段（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。3、三角形的穩定性三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫做三角形的穩定性。三角形的這個性

2、質在生產生活中應用很廣，需要穩定的東西一般都制成三角形的形狀。4、三角形的特性與表示三角形有下面三個特性：（1）三角形有三條線段（2）三條線段不在同一直線上 三角形是封閉圖形（3）首尾順次相接三角形用符號“”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“”，讀作“三角形”。5、三角形的分類三角形按邊的關系分類如下： 不等邊三角形三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等邊三角形三角形按角的關系分類如下： 直角三角形（有一個角為直角的三角形）三角形 銳角三角形（三個角都是銳角的三角形） 斜三角形 鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）把邊和角聯系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩

3、條直角邊相等的直角三角形。6、三角形的三邊關系定理及推論（1）三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。（2）三角形三邊關系定理及推論的作用：判斷三條已知線段能否組成三角形當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。證明線段不等關系。7、三角形的內角和定理及推論三角形的內角和定理：三角形三個內角和等于180°。推論：直角三角形的兩個銳角互余。三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內角的和。三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。三角形的面積=×底×高多邊形知識

4、要點梳理 定義：由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形。 凸多邊形 多邊形 分類1： 凹多邊形正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。分類2： 非正多邊形：1、n邊形的內角和等于180°（2）。 多邊形的定理 2、任意凸形多邊形的外角和等于360°。 3、n邊形的對角線條數等于·n（3）知識點一：多邊形及有關概念1、 多邊形的定義：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形. （1）多邊形的一些要素： 邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊 頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點 內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊

5、形的內角，一個n邊形有n個內角。 外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。（2）在定義中應注意： 一些線段（多邊形的邊數是大于等于3的正整數）； 首尾順次相連，二者缺一不可; 理解時要特別注意“在同一平面內”這個條件,其目的是為了排除幾個點不共面的情況,即空間多邊形. 2、多邊形的分類:(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形. 本章所講的多邊形都是指凸多邊形.(2)多邊形通常還以邊數命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角形是邊數最少的多邊形

6、知識點二：正多邊形各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形。如正三角形、正方形、正五邊形等。 正三角形 正方形 正五邊形 正六邊形 正十二邊形要點詮釋： 各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可. 如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個角也都相等的四邊形才是正方形知識點三：多邊形的對角線多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線. 如圖2，為四邊形的一條對角線。要點詮釋： (1)從n邊形一個頂點可以引(n3)條對角線，將多邊形分成(n2)個三角形。(2)n邊形共有條對角線。證明：過一個頂

7、點有n3條對角線(n3的正整數)，共有n個頂點，共有n(3)條對角線，但過兩個不相鄰頂點的對角線重復了一次，凸n邊形，共有條對角線。知識點四：多邊形的內角和公式：n邊形的內角和為.要點詮釋： (1)注意：以上各推導方法體現出將多邊形問題轉化為三角形問題來解決的基礎思想。(2)內角和定理的應用： 已知多邊形的邊數，求其內角和； 已知多邊形內角和，求其邊數。 知識點五：多邊形的外角和公式1.公式：多邊形的外角和等于360°. 2.多邊形外角和公式的證明：多邊形的每個內角和與它相鄰的外角都是鄰補角，所以n邊形的內角和加外角和為，外角和等于.注意：n邊形的外角和恒等于360°，它與

8、邊數的多少無關。要點詮釋： (1)外角和公式的應用： 已知外角度數，求正多邊形邊數； 已知正多邊形邊數，求外角度數. (2)多邊形的邊數與內角和、外角和的關系： n邊形的內角和等于(n2)·180°(n3，n是正整數)，可見多邊形內角和與邊數n有關，每增加1條邊，內角和增加180°。 多邊形的外角和等于360°，與邊數的多少無關。知識點六：鑲嵌的概念和特征1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。2、實現鑲嵌的條件：拼接在同一點的各個角的和恰好等

9、于360°；相鄰的多邊形有公共邊。 3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：(1)用正多邊形實現鑲嵌的條件：邊長相等；頂點公用；在一個頂點處各正多邊形的內角之和為360°。(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面對于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個平面圖形，且不留一點空隙？解決問題的關鍵在于正多邊形的內角特點。當圍繞一點拼在一起的幾個正多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角360°時，就能鋪成一個平面圖形。因而，用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用。注意：任意四邊形的內角和都等于360°。所以用一批形狀、大小完全相同但不規則的四

10、邊形地磚也可以鋪成無空隙的地板，用任意相同的三角形也可以鋪滿地面。(3)用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面用兩種或兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，關鍵是相關正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個周角”的問題。例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，見下圖：又如，用一個正三角形、兩個正方形、一個正六邊形結合在一起恰好能夠鋪滿地面，因為它們的交接處各角之和恰好為一個周角360°。規律方法指導1內角和與邊數成正比：邊數增加，內角和增加；邊數減少，內角和減少. 每增加一條邊，內角的和就增加180°（反過來也成立

11、），且多邊形的內角和必須是180°的整數倍.2多邊形外角和恒等于360°，與邊數的多少無關.3多邊形最多有三個內角為銳角，最少沒有銳角（如矩形）；多邊形的外角中最多有三個鈍角，最少沒有鈍角.4在運用多邊形的內角和公式與外角的性質求值時，常與方程思想相結合，運用方程思想是解決本節問題的常用方法.5在解決多邊形的內角和問題時，通常轉化為與三角形相關的角來解決. 三角形是一種基本圖形，是研究復雜圖形的基礎，同時注意轉化思想在數學中的應用.經典例題透析類型一：多邊形內角和及外角和定理應用1一個多邊形的內角和等于它的外角和的5倍，它是幾邊形？總結升華：本題是多邊形的內角和定理和外角和

12、定理的綜合運用. 只要設出邊數，根據條件列出關于的方程，求出n的值即可，這是一種常用的解題思路.舉一反三：【變式1】若一個多邊形的內角和與外角和的總度數為1800°，求這個多邊形的邊數.【變式2】一個多邊形除了一個內角外，其余各內角和為2750°，求這個多邊形的內角和是多少？ 【變式3】一個多邊形的內角和與某一個外角的度數總和為1350°，求這個多邊形的邊數。類型二：多邊形對角線公式的運用【變式1】一個多邊形共有20條對角線，則多邊形的邊數是（ ）.A6 B7 C8 D9【變式2】一個十二邊形有幾條對角線。總結升華：對于一個n邊形的對角線的條數，我們可以總結出規律

13、條，牢記這個公式，以后只要用相應的n的值代入即可求出對角線的條數，要記住這個公式只有在理解的基礎之上才能記得牢。類型三：可轉化為多邊形內角和問題【變式1】如圖所示，1+2+3+4+5+6. 【變式2】如圖所示，求ABCDEF的度數。類型四：實際應用題4如圖，一輛小汽車從P市出發，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，這輛小汽車共轉了多少度角？思路點撥：根據多邊形的外角和定理解決. 類型五：鑲嵌問題5分別畫出用相同邊長的下列正多邊形組合鋪滿地面的設計圖。(1)正方形和正八邊形；(2)正三角形和正十二邊形；(3)正三角形、正方形和正六邊形。點撥：只要在拼接處各多邊形的內角的和能構成一個周角，

14、那么這些多邊形就能作平面鑲嵌。解析：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形的每一個內角分別是60°、90°、120°、135°、150°。 (1)因為902×135360，所以一個頂點處有1個正方形、2個正八邊形，如圖(1)所示。(2)因為602×150360，所以一個頂點處有1個正三角形、2個正十二邊形，如圖(2)所示。(3)因為602×90120360，所以一個頂點處有1個正三角形、1個正六邊形和2個正方形，如圖(3)所示。總結升華：用兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，實質上是相關正多邊形“交

15、接處各角之和能否拼成一個周角”的問題。【變式1】分別用形狀、大小完全相同的三角形木板；四邊形木板；正五邊形木板；正六邊形木板作平面鑲嵌，其中不能鑲嵌成地板的是( )A、B、C、D、解析：用同一種多邊形木板鋪地面，只有正三角形、四邊形、正六邊形的木板可以用，不能用正五邊形木板.【變式2】用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起并相交于一點的各邊完全吻合，其中兩塊木板的邊數都是8，則第三塊木板的邊數應是( )A、4B、5C、6D、8【答案】 A（提示：先算出正八邊形一個內角的度數，再乘以2，然后用360°減去剛才得到的積，便得到第三塊木板一個內角的度數，進而得到第三塊木板的邊數）練習1多邊形的

16、一個內角的外角與其余內角的和為600°，求這個多邊形的邊數 2n邊形的內角和與外角和互比為13：2，求n 第十二章 全等三角形知識要點歸納一、全等三角形:1、定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。變換方式：一個三角形經過平移、翻折、旋轉可以得到它的全等形。全等變換：只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。全等變換包括一下三種：（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對稱變換。（3）旋轉變換：將圖形繞某點旋轉一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉變換。2、全等三角形的性質

17、：全等三角形的對應邊相等、對應角相等。全等三角形的周長相等、面積相等。3、全等三角形的判定：邊邊邊：三邊對應相等的兩個三角形全等 （可簡寫成“”)邊角邊:兩邊和它們的夾角對應相等兩個三角形全等 （可簡寫成“”)角邊角:兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等 （可簡寫成“”)角角邊:兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“”)斜邊.直角邊：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等 （可簡寫成 “” )、.邊邊邊：三邊對應相等的兩個三角形全等。（）幾何語言： 如圖所示：、.邊角邊：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。（）幾何語言： 如圖所示：、.角邊角：兩角和它們的夾邊

18、對應相等的兩個三角形全等。（）幾何語言： 如圖所示：、.角角邊：兩角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等。（）幾何語言： 如圖所示：、.斜邊、直角邊：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。（H L）幾何語言： 如圖所示：4、證明兩個三角形全等的基本思路：二、角的平分線：第十三章 軸對稱知識要點歸納一、軸對稱圖形:1. 把一個圖形沿著一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。這時我們也說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱。2. 把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個圖形完全重合，那么就說這兩個圖關于這條直線對稱。這條直

19、線叫做對稱軸。折疊后重合的點是對應點,叫做對稱點3、軸對稱圖形與兩個圖形關于一條直線成軸對稱有什么區別與聯系？兩個圖形關于一條直線成軸對稱軸對稱圖形區別 是指兩個圖形的位置關系 對兩個圖形而言指一個圖形的性質對一個具有特殊形狀的圖形而言聯系 都有“沿某直線翻折”和“圖形重合” 如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形。反過來，把軸對稱圖形中位于對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，那么它們就是兩個圖形關于一條直線成軸對稱。 4.軸對稱的性質 關于某直線對稱的兩個圖形是全等形。 如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。 軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。 如果兩個圖形的對應點連線被同條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。二、線段的垂直平分線 ( 重點 )1. 經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫中垂線。2.性質：線段垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等 符號語言： 3.判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在線段的垂直平分線上。符號語言： 點P在線段的垂直平分線上 經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線符號語言：，垂直