1、排列組合問題的常見模型一、相異元素不許重復的排列組合問題這類問題有兩個條件限制，一是給出的元素是不同的，即不允許有相同的元素；二是取出的元素也是不同的，即不允許重復使用元素。這類問題有如下一些常見的模型。模型：從個不同的元素中每次取出個不同元素作排列或組合，規定某個元素都包含在內，則：組合數：排列數：例全組有個同學，其中有個女同學，現要選出個，如果個女同學都必須當選，試問在下列情形中，各有多種不同的選法？（）組成一個文娛小組；（）分別擔任不同的工作解：（）由于要選出的人中，個女同學都必須當選，因此還需要選人這可從個男同學中選出，故不同的選法有：（）在上述組合的基礎上，因為還需要考慮選出人的順序

2、關系，故不同的選法有：模型從個不同的元素中每次取出個不同元素作排列或組合，規定某個元素都不包含在內，則：組合數：排列數：例某青年突擊隊有名成員，其中有名女隊員，現在選出人，如果名女隊員都不當選，試問下列情形中，各有多少種不同的選法？ (1)組成一個搶修小組；（）分別但任不同的搶修工作解：（）由于名女隊員都不當選，因此只能從名男同學選出，故不同的選法有：（種）（）由于還需考慮選出的個人的順序問題，故不同的選法有：（種）模型從個不同的元素中每次取出個不同元素作排列或組合，規定每一個排列或組合，都只包含某個元素中的某個元素。則組合數：排列數：例3全組個同學，其中有個女同學，現要選出人，如果個女同學中

3、，只有甲當選，試問在下列情形中，各有多少種不同的選法？（）組成一個數學小組；（）分別擔任不同的工作解：（）由于女同學中只有甲當選，所以還需人，這人要從男同學中選，因此不同選法有：（）由于選出的人要分別擔任不同的工作，所以不同的選法有：模型從個不同的元素中每次取出個不同元素作排列或組合，規定每一個排列或組合，都只包含某個元素中的個元素。則：組合數：排列數：例全組個同學，其中有個女同學，現要選出人，如果個女同學中，只有人當選，試問在下列情形中，各有多少種不同的選法？（）組成一個數學小組；（）分別擔任不同的工作解：（）由于女同學中只有人當選，所以從個女同學中選人，從個男同學中選人，不同的選法有：（）

4、由于選出的人要分別擔任不同的工作，所以不同的選法有：模型從個不同的元素中每次取出個不同元素作排列或組合，規定每一個排列或組合，都至少包含某個元素中的個元素則：組合數：排列數：例全組個同學，其中有個女同學，現要選出人，如果個女同學中至少有人當選，試問在下列情形中，各有多少種不同的選法？（）組成一個數學小組；（）分別擔任不同的工作解：，模型從個不同的元素中每次取出個不同元素作排列或組合，規定每一個排列或組合，都至多包含某個元素中的個元素則：組合數：排列數：例全組個同學，其中有個女同學，現要選出人，如果個女同學中至多有人當選，試問在下列情形中，各有多少種不同的選法？（）組成一個數學小組；（）分別擔任

5、不同的工作解：，模型從個不同的元素中每次取出個不同元素作排列，規定某個元素都包含在內，并且分別占據指定的位置則例用1;2;3;4;5這五個數字，能組成多少個沒有重復數字且能被25整除的四位數？解：能被25整除的數的末兩位能被25整除，又1;2;3;4;5四個數字中沒有要求四位數能被25整除，最后兩位只能是25能組在被25整除的四位數只要選取前兩位數就可以，所以有（個）模型8從個不同的元素中每次取出個不同元素作排列，規定某個元素不能占據某個位置則例用0;1;2;3;4;5這六個數字，能組成多少個沒有重復數字的四位數？解：不能排在首位，能組成四位數有（個）模型從個不同的元素中每次取出個不同元素作排

6、列，規定某個位置的元素只能從某個元中選取則例9用1;2;3;4;5這五個數字，能組成多少個沒有重復數字的四位偶數？解：個位只能排2或5，能組成四位偶數有（個）模型10從個不同的元素中每次取出個不同元素作排列，規定某個位置的元素只能從某個元中選取，而其余位置的元素只能從其余元素中選取則例10用這九個數字，能組成多少個沒有重復數字并且奇數位（從右邊起）是奇數，偶數位是偶數的五位數？解：奇數位的個位，百位和萬位只能從1;3;5;9這四個數中選取，偶數位的十位和千位只能從2;4;6;8這四個數中選取，能組成五位數共有模型11把個不同的元素作全排列，規定某個元素連排在一起，則例11用1;2;3;4;5這

7、五個數字，能組成多少個沒有重復數字并且兩個偶數字連在一起的五位數？解：先把兩個偶數字看成一個整體，作為一個數字來參加排列，然后再考慮這兩個數字的前后順序關系，因此能組面符合條件的五位數有模型12把個不同的元素作全排列，規定某個元素中的任意兩個元素都不連排在一起，（）則例12用1;2;3;4;5;6這六個數字，能組成多少個沒有重復數字并且任意兩個奇數字都不連在一起的六位數？解：先排好三個偶數字，然后在三個偶數字之間的四個空位中，任選三個來排奇數字，因此能組成合條件的六位數有 例13某天的課表要排入語文、數學、英語、物理、化學、體育六門課，如果第一節不排體育，最后一節不排數學，一共有多少不同的排法

8、？ 解法（一）把六門課看成元素，把課表節次看成位置，元素找位置 由于數學體育這兩個元素有附加條件，為此優先加以考慮，若以數學課排法進行分類；則 數學排在第一節，；數學排在第二節，；數學排在第三節， 數學排在第四節，；數學排在第五節， 根據加法原理，共有不同排法 解法（二）用位置分析法，先安排有約束條件的位置，位置選元素 若以第一節排法進行分類： 第一節排數學，；第一節排語文；第一節排英語， 第一節排物理，；第一節排化學， 根據加法原理，共有不同排法 解法（三）考慮用間接法不考慮任何限制條件，共有種不同的排法，但其中所括（）數學排在最后一節的排法種；（）體育排在第一節的排法種；這兩種情況下，都包

9、含了數學排在最后一節，體育排在第一節的情況，這種情況共有種不同的排法因此，不同的排法共有 說明(1)有約束條件的排列問題,應先排好有約束條件的元素或位置,然后再排沒有約條件的元素或位置.也可用間接法解,先排不考慮約束條件,求出所有的排列種數,然后減去不合題目要求的排列種數. (2)本的一般模型是:把個不同的小球入入個有編號的盒中,每盒一個,但其中的甲球不能放入A盒,乙球不能放入B盒,共有不同的放法種. 例14A、五人站成一排，（）如果、兩人要站在兩端，有多少種站法？（）如果、兩人不站在兩端，有多少種站法？（）如果、兩人相鄰，有多少種站法？（）如果、兩人不相鄰，有多少種站法？（）如果在的左邊（可以不相鄰），有多少種站法？ 解（）因為、排在兩端的的不同方法有種方法，第二步排中間三人共有種不同的排法，所以根據乘法原理不同的排法共有種不同的排法（）第一步由C、D、E三人中任選兩人排在兩端的不同排法有種不同的排法，第二步由余下的三人排中間位置共有不同的排法種。所以符合要求的不同排法總數為種（3）把A、B視為一個整體（AB），則（AB），C，C，D，E的全排列數是種，再排AB則有種方法因此符合要求的排法共有種（）、B兩人不相鄰，有兩種思考：用間接法，=72種先排好C、D、E，然后現讓A、B站到C、D、E