1、2003高等數(shù)學(xué)競賽試題及參考解筨一、選擇題（40分）1.設(shè)，且，則（ C ）(A) 存在且等于零;(B) 存在但不一定等于零；(C) 不一定存在；(D) 一定不存在.2.設(shè)是連續(xù)函數(shù)，的原函數(shù)，則（ A ）(A) 當(dāng)為奇函數(shù)時(shí),必為偶函數(shù)；(B) 當(dāng)為偶函數(shù)時(shí),必為奇函數(shù)；(C) 當(dāng)為周期函數(shù)時(shí),必為周期函數(shù)；(D) 當(dāng)為單調(diào)增函數(shù)時(shí),必為單調(diào)增函數(shù).3.設(shè)，在內(nèi)恒有，記，則有（ B ）(A) ;(B) ;(C) ;(D) 不確定.4.設(shè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，是同階無窮小，則（ B ）(A) 4；(B) 3；(C) 2；(D) 1.5.設(shè)，則在點(diǎn)（ D ）(A) 不連續(xù)；(B) 連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)

2、不存在；(C) 可微；(D) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微.6.設(shè)，則以向量、為邊的平行四邊形的對(duì)角線的長度為（ A ）(A) ；(B) 3, 11；(C) ；(D) .7.設(shè)是包含原點(diǎn)在內(nèi)的兩條同向閉曲線，的內(nèi)部，若已知（k為常數(shù)），則有（ D ）(A) 等于k； (B) 等于； (C) 大于k；(D) 不一定等于k，與L2的形狀有關(guān).8.設(shè)在處收斂，則在處（ D ）(A) 絕對(duì)收斂；(B) 條件收斂；(C) 發(fā)散；(D) 收斂性與an有關(guān).二、（8分）設(shè)，試確定、的值，使都存在.解：當(dāng)時(shí)，故；當(dāng)時(shí)，。三、（8分）設(shè)的一個(gè)原函數(shù)，且，求.解：，由知，四、（10分）設(shè)，S為的邊界曲面外側(cè)，計(jì)算解：

3、（下側(cè)），（上側(cè)），七、（10分）已知，.求證：（1）數(shù)列收斂；（2）的極限值a是方程的唯一正根.解一：（1），； 又收斂，收斂，收斂，又因，故收斂。（2）令，且，即a是的根，令，故根唯一。解二：由已知，由此可見， （用歸納法證明偶數(shù)項(xiàng)單調(diào)減少，奇數(shù)項(xiàng)單調(diào)增加）。設(shè)，。， 由知、收斂，令，；由，知，。對(duì)兩邊取極限得，對(duì)兩邊取極限得，由得，解得由知收斂，且為方程的根（再證唯一性）。八、（12分）設(shè)在單位圓上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且在邊界上取值為零，求證： , 其中D為圓環(huán)域：解一：令，。由已知當(dāng)時(shí)，故解二：令，令為（逆時(shí)針），為（順時(shí)針），。九、（12分）如圖所示，有一圓錐形的塔，底半徑為R，高為，現(xiàn)

4、沿塔身建一登上塔頂?shù)臉翘荩髽翘萸€在每一點(diǎn)的切線與過該點(diǎn)垂直于平面的直線的夾角為，樓梯入口在點(diǎn), 試求樓梯曲線的方程.解：設(shè)曲線上任一點(diǎn)為，曲線參數(shù)方程為（*），在點(diǎn)的切向量為，垂線方向向量為。，化簡得，由實(shí)際問題應(yīng)，解得，由，得，故，將此式代入?yún)?shù)方程（*）即得樓梯曲線。A河南科技大學(xué)第一屆高等數(shù)學(xué)競賽第三類試題A卷答案解析一、 填空題（本題共10小題，每小題6分，滿分60分. 把答案填在題中橫線上） 若，則a = 1 ，b = 4 【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.【詳解】因?yàn)椋?，所以，得a = 1. 極限化為，得b = -4.因此，a = 1，b = -4.【評(píng)注】一般地，已

5、知 A，(1) 若g(x) ® 0，則f (x) ® 0；(2) 若f (x) ® 0，且A¹ 0，則g(x) ® 0. 設(shè), 則的間斷點(diǎn)為 0 【分析】本題屬于確定由極限定義的函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn).對(duì)不同的,先用求極限的方法得出的表達(dá)式, 再討論的間斷點(diǎn).【詳解】顯然當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), ,所以 ,因?yàn)?故 為的間斷點(diǎn). 曲線y=lnx上與直線垂直的切線方程為 【分析】 本題為基礎(chǔ)題型，相當(dāng)于已知切線的斜率為1，由曲線y=lnx的導(dǎo)數(shù)為1可確定切點(diǎn)的坐標(biāo)?！驹斀狻?由，得x=1, 可見切點(diǎn)為，于是所求的切線方程為， 即 .【評(píng)注】 本題也可先設(shè)切點(diǎn)

6、為，曲線y=lnx過此切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為，得，由此可知所求切線方程為， 即 . 已知，且f (1) = 0, 則f (x) = 【分析】 先求出的表達(dá)式，再積分即可?！驹斀狻?令，則，于是有， 即 積分得 . 利用初始條件f(1)=0, 得C=0，故所求函數(shù)為f(x)= .【評(píng)注】 本題屬基礎(chǔ)題型，已知導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)一般用不定積分。 設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程 確定, 則曲線向上凸的取值范圍為 【分析】判別由參數(shù)方程定義的曲線的凹凸性，先用由 定義的 求出二階導(dǎo)數(shù),再由 確定的取值范圍.【詳解】,令 .又 單調(diào)增, 在 時(shí), 。(時(shí)，時(shí)，曲線凸.) 設(shè)，則【詳解】因?yàn)椋裕?【評(píng)注】 本題屬基本題型，主要考

7、查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 若時(shí)， 與是等價(jià)無窮小，則a= 4 .【分析】 根據(jù)等價(jià)無窮小量的定義，相當(dāng)于已知，反過來求a. 注意在計(jì)算過程中應(yīng)盡可能地應(yīng)用無窮小量的等價(jià)代換進(jìn)行化簡.【詳解】 當(dāng)時(shí)，.于是，根據(jù)題設(shè)有 ，故a=4. 設(shè)，則【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：x- 1 = t，再利用對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)即可.令x- 1 = t，.【評(píng)注】一般地，對(duì)于分段函數(shù)的定積分，按分界點(diǎn)劃分積分區(qū)間進(jìn)行求解. 由定積分的定義知，和式極限 【詳解】 【分析】利用變量代換法和形式上的牛頓萊布尼茲公式可得所求的廣義積分值.【詳解1】.【詳解2】二、 單項(xiàng)選擇題 （本題共8小題，每小題5分，滿

8、分40分. 把答案填在括號(hào)內(nèi)）11把時(shí)的無窮小量，使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小，則正確的排列次序是 【 B 】 (A) . (B) . (C) . (D) . 【分析】對(duì)與變限積分有關(guān)的極限問題，一般可利用洛必塔法則實(shí)現(xiàn)對(duì)變限積分的求導(dǎo)并結(jié)合無窮小代換求解.【詳解】,即 .又 ,即 .從而按要求排列的順序?yàn)? 故選（B）.12設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且則存在，使得 【 C 】 (A) f(x)在（0，內(nèi)單調(diào)增加. （B）f(x)在內(nèi)單調(diào)減少.（C）對(duì)任意的有f(x)>f(0) . (D) 對(duì)任意的有f(x)>f(0) . 【分析】可借助于導(dǎo)數(shù)的定義及極限的性質(zhì)討論函數(shù)在附近的局部性

9、質(zhì).【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義知,由極限的性質(zhì), , 使時(shí), 有即時(shí), ，時(shí), ,故選（C）. 13 . 設(shè), 則 【 C 】（A）是的極值點(diǎn), 但不是曲線的拐點(diǎn).（B）不是的極值點(diǎn), 但是曲線的拐點(diǎn).（C）是的極值點(diǎn), 且是曲線的拐點(diǎn).（D）不是的極值點(diǎn), 也不是曲線的拐點(diǎn). 【分析】求分段函數(shù)的極值點(diǎn)與拐點(diǎn)， 按要求只需討論兩方, 的符號(hào).【詳解】,從而時(shí), 凹, 時(shí), 凸, 于是為拐點(diǎn).又, 時(shí), , 從而為極小值點(diǎn).所以, 是極值點(diǎn), 是曲線的拐點(diǎn), 故選（C）. 14 . 等于 【 B 】（A）. （B）. （C）. （D）【分析】將原極限變型，使其對(duì)應(yīng)一函數(shù)在一區(qū)間上的積分和式。作變換后

10、,從四個(gè)選項(xiàng)中選出正確的.【詳解】故選（B）. 15 . 函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界. 【 A 】(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). 【分析】如f (x)在(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在(a , b)內(nèi)有界.【詳解】當(dāng)x¹ 0 , 1 , 2時(shí)，f (x)連續(xù)，而，所以，函數(shù)f (x)在(-1 , 0)內(nèi)有界，故選(A). 16 . 設(shè)f (x)在(-¥ , +¥)內(nèi)有定義，且，則【 D 】(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn). (B) x = 0必是g(x)的第二類間斷

11、點(diǎn).(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn). (D) g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān).【分析】考查極限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通過換元，可將極限轉(zhuǎn)化為.【詳解】因?yàn)? a(令)，又g(0) = 0，所以，當(dāng)a = 0時(shí)，即g(x)在點(diǎn)x = 0處連續(xù)，當(dāng)a¹ 0時(shí)，即x = 0是g(x)的第一類間斷點(diǎn)，因此，g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選(D).17 . 設(shè)在a , b上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是【 D 】 (A) 至少存在一點(diǎn)，使得> f (a). (B) 至少存在一點(diǎn)，使得> f (b). (C) 至少存在一點(diǎn)

12、，使得. (D) 至少存在一點(diǎn)，使得= 0.【分析】利用介值定理與極限的保號(hào)性可得到三個(gè)正確的選項(xiàng)，由排除法可選出錯(cuò)誤選項(xiàng).【詳解】首先，由已知在a , b上連續(xù)，且，則由介值定理，至少存在一點(diǎn)，使得；另外，由極限的保號(hào)性，至少存在一點(diǎn)使得，即. 同理，至少存在一點(diǎn)使得. 所以，(A) (B) (C)都正確，故選(D).【評(píng)注】 本題綜合考查了介值定理與極限的保號(hào)性，有一定的難度. 18 . 設(shè)，則【 B 】 (A) F(x)在x = 0點(diǎn)不連續(xù). (B) F(x)在(-¥ , +¥)內(nèi)連續(xù)，但在x = 0點(diǎn)不可導(dǎo). (C) F(x)在(-¥ , +¥)

13、內(nèi)可導(dǎo)，且滿足. (D) F(x)在(-¥ , +¥)內(nèi)可導(dǎo)，但不一定滿足.【分析】先求分段函數(shù)f (x)的變限積分，再討論函數(shù)F(x)的連續(xù)性與可導(dǎo)性即可.【詳解】當(dāng)x < 0時(shí)，；當(dāng)x > 0時(shí)，當(dāng)x = 0時(shí)，F(xiàn)(0) = 0. 即F(x) = |x|，顯然，F(xiàn)(x)在(-¥ , +¥)內(nèi)連續(xù)，但在x = 0點(diǎn)不可導(dǎo). 故選(B).28、設(shè)函數(shù)可微，, 且滿足 求 . 分析：利用重要極限公式求出已知極限的左邊，再與右邊進(jìn)行比較得到一個(gè)微分方程，求此微分方程。解： ，對(duì)y積分得代入，26、設(shè)在0，1上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，求證：.證三，有，在

14、0，1上，即， （令）故 19、（2004年上海交通大學(xué)）計(jì)算下述積分：，其中D是矩形區(qū)域，。分析：被積函數(shù)帶有絕對(duì)值的定積分的計(jì)算關(guān)鍵在于去掉絕對(duì)值，要去掉絕對(duì)值就要將積分區(qū)域分塊。解： 記，20、求曲線積分 ，其中與為正常數(shù)，L為從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的弧。分析：沿曲線積分的關(guān)鍵在于將所有變量都轉(zhuǎn)化成某一變量，因此將曲線寫成參數(shù)方程就可以了。也可利用格林公式來解。解：因 故而L的參數(shù)方程為所以因此21、設(shè)函數(shù)f具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，存在，且，（1）確定，使處處連續(xù)；（2）對(duì)以上所確定的，證明具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).分析：分段函數(shù)的連續(xù)和導(dǎo)數(shù)，在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)一般用定義來求.解：（1）因?yàn)槿籼幪庍B續(xù)，則在處連續(xù)

15、. 于是，且（2）因于是 顯然，當(dāng)時(shí)，連續(xù)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗栽谔庍B續(xù)，故具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).17、（2003高數(shù)一）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零，其中，(1) 討論F(t)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.(2) 證明當(dāng)t>0時(shí)，分析：要判定一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，往往要求它的導(dǎo)數(shù)。這是一個(gè)變限的積分，可以利用變限積分的求導(dǎo)法則。由于是一個(gè)重積分，因此先要計(jì)算重積分。解：(1) 因?yàn)椋栽谏?，故F(t) 在內(nèi)單調(diào)增加.（2） 因，要證明t>0時(shí)，只需證明t>0時(shí)，即令 ，則 ，故g(t)在內(nèi)單調(diào)增加.因?yàn)間(t)在t=0處連續(xù)，所以當(dāng)t>0時(shí)，有g(shù)(t)>g(0).又g(0)=0, 故當(dāng)

16、t>0時(shí)，g(t)>0,因此，當(dāng)t>0時(shí)，15、設(shè). 證明：，使 .證明：將在點(diǎn)處展開泰勒公式，得（在與之間）令得 .令得 .因?yàn)?，所?令 ， 則 ，代入，得.14、（浙江師范大學(xué)2004）設(shè)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足條件，其中都是非負(fù)常數(shù)，是內(nèi)的任一點(diǎn)，證明。分析：如果函數(shù)高階可導(dǎo)，并給定了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或函數(shù)的值，要求估計(jì)一個(gè)函數(shù)的界，往往要用Taylor展開式。證明：因在上具有二階導(dǎo)數(shù)，故存在使得同理存在使得將上面的兩個(gè)等式兩邊分別作差，得即因此而，故。13、設(shè)f在上二階可微，則方程在內(nèi)至少有一個(gè)根 .分析；方程在一個(gè)區(qū)間有根的問題往往要用零點(diǎn)存在定理去判斷，因此驗(yàn)證該方程

17、在兩端點(diǎn)值的符號(hào)是解決問題的關(guān)鍵。證明： 因?yàn)?，不妨設(shè)，因，故，使，從而，使。因，故，使，從而，使得。又因在上可微，所以在上連續(xù)，由零點(diǎn)存在定理知，使.于是在及上分別利用Rolle定理得，存在，使得. .再在上用Rolle定理得，使.即方程在內(nèi)至少有一個(gè)根.11、設(shè)是定義在上的函數(shù)，.且證明：在上可導(dǎo)，且 .分析：由于已知條件：是一個(gè)很廣的條件，要充分利用它；另外要用導(dǎo)數(shù)的定義。證明： 由已知條件得.因?yàn)椤Ｋ栽谏峡蓪?dǎo)，且.8、設(shè)在上二階可導(dǎo)，求證：使.分析：洛爾定理、拉格朗日定理和柯西中值定理是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，往往也是研究生考試和數(shù)學(xué)競賽的命題的重點(diǎn)。平時(shí)練習(xí)時(shí)，采用多種方法去解決，能有

18、效地提高解題能力。這種題目難點(diǎn)是構(gòu)造出一個(gè)合適的函數(shù)。證1 令則由洛爾定理知, , 由洛爾定理知證2 令由拉格朗日定理知由洛爾定理知證3 在展開為一階泰勒公式因故證4 令, 用兩次洛爾定理。證5 令, 用一次洛爾定理。9、設(shè)f在上可微，且a與b同號(hào)，證明：存在，使（1）；（2）.證：（1）令，顯然在上滿足Cauchy中值定理的條件，所以，即 .（2）令，顯然在上滿足Cauchy中值定理的條件，所以，即 10、設(shè)二階可微，證明：存在，使.證明：令，則。顯然在上滿足Rolle定理的條件，從而，使. 又 ，于是在上滿足Rolle定理的條件，故，使，即存在，使.6、計(jì)算三重積分。其中是橢球體。分析：計(jì)算二重積分和三重積分是數(shù)學(xué)競賽