1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載Contents差分方程和數(shù)值微分實(shí)驗(yàn)31.1 差分方程的基本定義31.2 一階線性常系數(shù)差分方程41.3 高階線性常系數(shù)差分方程41.4 線性常系數(shù)差分方程組41.5 非線性差分方程52數(shù)值微分5播值與數(shù)值積分51.6 與擬合61.1 插值與擬合的基本概念61.2 三種插值方法62數(shù)值積分82.1 數(shù)值積分的基本思路82.2 三種常用數(shù)值積分方法8常微分方程數(shù)值9常微分方程的初值問題102.初值問題的數(shù)值解法102.1 歐拉方法102.2 龍格-庫塔方法10常微分方程組和高階方程初值問題的數(shù)值方法112.3 龍格-庫塔方法的MATLAB實(shí)現(xiàn)112.4 算法的收斂性、穩(wěn)定性分

2、析12剛性現(xiàn)象與剛性方程12線性代數(shù)方程組數(shù)值解法|12線性代數(shù)方程組的一般形式和解法122 .求解線性代數(shù)方程組的直接法132.1 高斯消元法132.2 LU分解132.3 解的誤差分析P95143 .求解線性代數(shù)方程組的迭代法143.1 雅可比迭代法143.2 高斯-賽德爾迭代法153.3 迭代法的收斂性和收斂速度153.4 超松弛迭代154 .超定線性代數(shù)方程組的最小二乘解154.1 超定線性方程組的概念154.2 最小二乘準(zhǔn)則164.3 最小二乘解164.4 基函數(shù)的選取16MATLAB實(shí)現(xiàn)16非線性方程求解171非線性方程（組）的定義及特點(diǎn)172非線性方程的基本解法174.5 圖形法

3、和二分法174.6 迭代法184.7 牛頓法183非線性方程組的牛頓法、擬牛頓法194用MATLAB工具箱解非線性方程(組)204.8 fzero的基本用法204.9 fsolve的基本用法214.10 roots的基本用法22無約束優(yōu)化|221 .無約束優(yōu)化的基本原理、解法221.1 無約束優(yōu)化的一般形式221.2 最優(yōu)性條件221.3 下降法的基本思想221.4 用MATLAB優(yōu)化工具箱解無約束優(yōu)化問題232 .非線性最小二乘擬合的基本原理、解法242.1 非線性最小二乘擬合問題242.2 非線性最小二乘擬合問題的解法252.3 用MATLAB優(yōu)化工具箱解非線性最小二乘擬合問題25約束優(yōu)化

4、|2711.線性規(guī)劃的基本原理、解法271.1 線性規(guī)劃的圖解法271.2 線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形271.3 基本可行解271.4 線性規(guī)劃的基本性質(zhì)271.5 單純形法的基本思路281.6 線性規(guī)劃解的幾種可能281.7 用MATLAB優(yōu)化工具包解線性規(guī)劃282.非線性規(guī)劃的基本原理、解法302.1 非線性規(guī)劃的一般形式302.2 可行方向與下降方向302.3 最優(yōu)解的必要條件302.4 二次規(guī)劃的一般形式312.5 二次規(guī)劃的有效集方法312.6 用MATLAB優(yōu)化工具包解二次規(guī)劃322.7 非線性規(guī)劃的解法332.8 用MATLAB優(yōu)化工具包解非線性規(guī)劃33數(shù)據(jù)的統(tǒng)計與分獷351統(tǒng)計的基本概念

5、352頻數(shù)表和直方圖353統(tǒng)計量364統(tǒng)計中幾個重要的概率分布364.1 分布函數(shù)、密度函數(shù)和分位數(shù)364.2 統(tǒng)計中幾個重要的概率分布374.3 MATLAB統(tǒng)計工具箱(ToolboxStats)中的概率分布P246375正態(tài)總體統(tǒng)計量的分布386.用隨機(jī)模擬計算數(shù)值積分386.1 兩種方法386.2 重積分的計算396.3 MATLAB實(shí)現(xiàn)39統(tǒng)計推斷391、參數(shù)估計39概述391.1 點(diǎn)估計391.2 點(diǎn)估計的評價標(biāo)準(zhǔn)401.3 總體均值的區(qū)間估計411.4 總體方差的區(qū)間估計421.5 參數(shù)估計的MATLAB實(shí)現(xiàn)432、假設(shè)檢驗(yàn)43概述432.1 均值的假設(shè)檢驗(yàn)432.2 方差（或標(biāo)準(zhǔn)

6、差）的假設(shè)檢驗(yàn)442.3 兩總體的假設(shè)檢驗(yàn)452.4 0-1分布總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)452.5 總體分布正態(tài)性檢驗(yàn)462.6 假設(shè)檢驗(yàn)與Matlab命令匯總47差分方程和數(shù)值微分實(shí)驗(yàn)1.1 差分方程的基本定義差分方程是在離散時段上描述現(xiàn)實(shí)世界中變化過程的數(shù)學(xué)模型。學(xué)習(xí)好資料歡迎下載現(xiàn)實(shí)中的問題通常是連續(xù)變化的，但我們常常只能在離散的時間點(diǎn)上對其進(jìn)行觀測和描述。為了表述這一類的數(shù)學(xué)模型，我們引入了差分方程的方法。1.2 一階線性常系數(shù)差分方程一階線性常系數(shù)差分方程的一般形式=竊+b*Jr0*1,2-差分方程的平衡點(diǎn)代數(shù)方程忑=ax+占的根工=1-a差分方程的解A-4+b-*=Q121an海=cak

7、H，化=0,1,2,1-a其中白=%七由初始值而和烝8確定1 -a平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件若上Too時/T*則平衡點(diǎn)X穩(wěn)定，否則平衡點(diǎn)了不穩(wěn)定*平衡點(diǎn)穩(wěn)定的充要條件是同打1.3 高階線性常系數(shù)差分方程高階線性常系數(shù)差分方程的一般形式地U二瓦太=12,特征方程/T+的兄*1十一十”“JI+%=0特征根4,4,4平衡點(diǎn)bX=陽十%十+氣_1+2差分方程的解無=qg+勺游+%上=L2其中q,/由初始值句，陽確定平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件所有特征值的模均小于1(用roots(c)-c:多項(xiàng)式的系數(shù)(降哥)P125)1.4 線性常系數(shù)差分方程組當(dāng)我們研究的對象是若干變量構(gòu)成的一個向量的離散動態(tài)過程時，就需要引入差分方程組

8、來描述，詳見前面對一階或高階線性常系數(shù)差分方程的描述。平衡點(diǎn)X=Ax+b學(xué)習(xí)好資料歡迎下載穩(wěn)定條件：A的所有特征根小于1(Rg51.5 非線性差分方程對于非線性差分方程；熊十1=)第=0,12平衡點(diǎn)即為代數(shù)方血=的才耐對/在y*點(diǎn)作的Wb展開，保留線性項(xiàng)，可得近似線性方程，A+i=/<(?,*)(A-/)+/%=OJ2若|尸(")|<1/對近似線性方程和原非線性方程都是穩(wěn)定平衡點(diǎn)若/1(/)>1/對近似線性方程和原非線性方程都不是穩(wěn)定平衡點(diǎn)2數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分是用離散方法近似地計算函數(shù)y=f(x)在某點(diǎn)x=a的導(dǎo)數(shù)值。常用公式有:前差公式尸工誤差為5槍中點(diǎn)公式43）三

9、誤差為。解)/三2h誤差為8好)二點(diǎn)公式函數(shù)y二/色)在等間距近的分點(diǎn)皿<一父馬上用離散數(shù)值表示為此,尸卜，八在中間點(diǎn)知產(chǎn)“1/氏)三泡二2r=12,月-12桶在兩個端點(diǎn)的了比維)=2hZa-2-4y+3yx2h情值與數(shù)值積分學(xué)習(xí)好資料歡迎下載1插值與擬合1.6 插值與擬合的基本概念插值與插值函數(shù)：已知由gl）（可能未知或非常復(fù)雜）產(chǎn)生的一批離散數(shù)據(jù)（可，為），=。，1/一”,且科+1個互異插值節(jié)點(diǎn)”瓦。1=b,在插值區(qū)間內(nèi)尋找一個相對簡單的函數(shù)/（1），使其滿足下列插值條件：制二xi二QL4再利用已求得的了（%）計算任一非插值節(jié)點(diǎn)丁的近似值y），這就是插值。其中心）稱為插值函數(shù)，g（x

10、）稱為被插函數(shù)。最小二乘擬合：已知一批離散的數(shù)據(jù)=&互不相同，尋求一個擬合函數(shù)/W,使/（4）與N的誤差平方和在最小二乘意義下最小。在最小二乘意義下確定的稱為最小二乘擬合函數(shù)。1.7 三種插值方法1)Lagrange插值法a.待定系數(shù)法：假設(shè)插值多項(xiàng)式4（1）二%/+%/+的了+。，利用待定系數(shù)法即可求得滿足插值條件4二/=04/，n的插值函數(shù)。關(guān)鍵在于確定待定系數(shù)外,k*a。b.利用基函數(shù)的構(gòu)造方法首先構(gòu)造科+1個滿足條件：4（叮）二%的火次插值基函數(shù)i（羽，再將其線性組合即可得如下的Lagrange插值多項(xiàng)式：j-o（再一3其中一.；1c.Lagrange插值余項(xiàng)（M+1）gH凡=

11、式"。）=g%）w6+1）1旬注：上述兩種構(gòu)造方法所得的Lagrange插值多項(xiàng)式是一樣的，即滿足插值條件4（石）二810，L''，加的Lagrange插值多項(xiàng)式是唯一的。Lagrange插值會發(fā)生Runge現(xiàn)象。2）分段線性插值作分段線性插值的目的在于克服Lagrange插值方法可能發(fā)生的不收斂性缺點(diǎn)。所謂分段線性插值就是利用每兩個相鄰插值節(jié)點(diǎn)作線性插值，即可得如下分段線性插值函數(shù)：j-0其中當(dāng)演7<x<為時，且i=0時舍去當(dāng)不工夫£看+1時，且。=界時舍去特點(diǎn)：插值函數(shù)序列4W）具有一致收斂性，克服了高次Lagrange插值方法的缺點(diǎn)，故可通

12、過增加插值節(jié)點(diǎn)的方法提高其插值精度。但存在于 節(jié)點(diǎn)處不光滑、插值精度低 的缺點(diǎn)。其它3）三次樣條插值三次樣條插值的目的在于克服Lagrange插值的不收斂性和提高分段線性插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的光滑性。所謂三次樣條插值方法就是在滿足下列條件：a.二b.$在每個子區(qū)間L-1通=12濯上是三次多項(xiàng)式的三次樣條函數(shù)中尋找滿足如下插值條件：鼠%）=力工十一及形如S（/）=S（工J=。等邊界條件的插值函數(shù)S（X）的方法。特點(diǎn)：三次樣條插值函數(shù)序列5（了）一致收斂于被插函數(shù)，因此可通過增加節(jié)點(diǎn)的方法提高插值的精度。4）插值方法的Matlab實(shí)現(xiàn)a.對于Lagrange插值必須自編程序b.低次插值的Matlab命

13、令分段線性插值：y=interp1（x0,y0,x）,其中輸入離散數(shù)據(jù)x0、y0、x,輸出對應(yīng)x的插值y。三次樣條插值：y=interp1（x0,y0,'spline'）或y=spline（x0,y0,x）其中，x0、y0、x和y的意義同上。2數(shù)值積分2.1 數(shù)值積分的基本思路我們先來回憶定積分的定義I=I冰=的&4=v/（），工A0jin此處，當(dāng)曾充分大時4就是1的數(shù)值積分本章中各種數(shù)值積分方法研究的是盤如何取值，區(qū)間/峨晌劃分，使得既菖縮證求解的精度，又能使計算量較小。以后介紹的各種數(shù)值積分方法都基于我們在引入撒積分時所采用的矩形公式法,2.2 三種常用數(shù)值積分方法

14、1）梯形公式梯形公式籌=宓十（左+人），其中為=三為積分步長.k12n梯形公式和矩形公式的區(qū)別在于工它在計算面積時不是單純地取左端點(diǎn)或右端點(diǎn)的函數(shù)值，而是將每個小區(qū)間段端點(diǎn)的函數(shù)值取平均。因此和矩形公式檄，它有更好的精度，進(jìn)一步的分析表明，梯形公式q的誤差為層階.2）辛普森公式為了進(jìn)一步提高精度，可以用分段二次插值函數(shù)代蜀（X）。由于每段要用到相鄰兩個小區(qū)間端點(diǎn)的3個函數(shù)值，所以小區(qū)間的數(shù)目必須是偶數(shù)，記扉=2陶代=Q12/對于第上段的兩個小區(qū)間，我們用三個節(jié)點(diǎn)0恥&M叫+i，加1M盯J,A+衣構(gòu)造二次插值函數(shù)外0），積分可得I*奴+4&+1+fk+2）°,X”5求明

15、段之和就得到辛普森公式：朝-1w-1ha尺=”/+4+4±&+*Jh=-3ji-oJt-i2附進(jìn)一步的分析表明，辛普森公式工的誤差是階的。3）高斯求積公式代數(shù)精度用慕函數(shù)作為被積函數(shù)A以近似積分與精確值是否相等作為精度的度量指標(biāo),有如下定義;設(shè)用4=E4/（散計算二（理以若對于上=oj-,耀都有乙=上而當(dāng)上二陽+1JUl'a時乙父，則稱4的代數(shù)精度為快例如模形公式的代數(shù)精度切=L因?yàn)樯?1時力=（"-），看=三6+而，二者相等d22而上=2時1元%#=-內(nèi)n=出/必+/二者不等。"32類似地，我們可以證明辛普森公式的代數(shù)精度為九高斯公式高斯公式取梢

16、了對節(jié)點(diǎn)的限制，按照代數(shù)精度最大的原則，同時確定節(jié)點(diǎn)力和系數(shù)4,對于=八工班，構(gòu)造求積公式5=4Jg）+小以時）。按照定義，我們要求：J1對于加）=1,小的=4六勺）+均六初都成立，將/。）代入計算可得4+也=2j41Kl+4與=0,24町+$君=+$勾=0解出=-專，勺=爰，4=4=1.即得高斯公式烏=人-爰）+/（爰），代數(shù)精度為3,用越個節(jié)點(diǎn)，色的代數(shù)精度可達(dá)2月-1,但是需要斛復(fù)雜的非線性方程組，實(shí)用價值不大.Gauss-Lobatto公式P604）數(shù)值積分的Matlab實(shí)現(xiàn)trapz（x）用梯形公式計算（h=1）,輸入數(shù)組x為各區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值。trapz（x,y）用梯形公式計算，輸

17、入x,y為同長度的數(shù)組，輸出y對x的積分（步長可不相等）。quad（'fun',a,b,tol）用自適應(yīng)辛普森公式計算，輸入被積函數(shù)fun可以自定義如exp（-x.A2）,也可以是fun.m命名的函數(shù)M文件，積分區(qū)間（a,b）,絕對誤差tol,輸出積分值。quadl（'fun',a,b,tol）用自適應(yīng)的Gauss-Lobatto公式計算，其余同上。常微分方程數(shù)值解常微分方程的初值問題常微分方程初值問題是指設(shè)有1/（兩）=%其中已知函數(shù)穴芯y）對1y滿足Lipschitw條件，即存在常數(shù)上使|丁（陽乃再乃）|W上回->/以保證方程組的瞰=武彳）存在且喳一。

18、在滿足Lipschit工條件下求解方程組稱為一階常微分方程的初值問題。所謂求方程組的數(shù)值解，就是計算伴青確）解X。）在一系列離散點(diǎn)叫C/式父與C的近似值,通常我們選取相等的計算步長也于是/=/+“（差=12）。2.初值問題的數(shù)值解法2.1 歐拉方法歐拉方法的基本思想歐拉方法的基本思想是在小區(qū)間區(qū),%J上用差商生城二拉2代替J，麗（工雙初中的X取h的某一點(diǎn)，于是“41）"&）+/（"（砌工£瓦"1。取值，/+/內(nèi)不同的點(diǎn)，可以得到不同的計算公式。向前歐拉公式若中的工取區(qū)間0,的左端點(diǎn)N且次&MX）。將1K演）的近似值記為幾，即居”。J居+i

19、陽則得到向前歐拉公式為+1二八+/（.小）向前歐拉公式為顯式公式，具有一階精度。向后歐拉公式茍（工尸（初中的#取區(qū)間區(qū)的右端點(diǎn)/門類似可得向后歐拉公式心+i=乂+研/+i,%1卜向后歐拉公式實(shí)際上是從小】,丁齡澗后算出當(dāng)函數(shù)大兀對y非線性時，通常只能用迭代法求解方程，故為隱式公式，計算量比向前歐拉公式大得多，它的精度也為一階。改進(jìn)的歐拉公式將前面兩種公式平衡一下，即可得到梯形公式）居+39必）+/（6/鵬）,顯然悌形公式也為隈式公式。但我們不妨用工+1=八+”區(qū)，乂）來預(yù)測等式右邊的?1】，就可以油畫改進(jìn)的歐拉公式，它具有兩階精度口改進(jìn)的歐拉公式：乂+*/（/.乂）+精度歸納：向前1階向后1階

20、梯形2階改進(jìn)歐拉2階O5午+1）p階精度2.2 龍格-庫塔方法龍格-庫塔方法的基本思想在前面的歐拉公式中向前向后歐拉公式各自只用了區(qū)間區(qū),%+J一個端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，而在梯形公式和改進(jìn)歐拉公式中，我們把/,/+/上的兩個導(dǎo)數(shù)取平均，得到了最高的精度。這就啟發(fā)我們用上,小+上若干個點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，對它們作線性組合得到平均斜率，就可能得到更高階的精度，這就是龍格-庫塔方法的基本思想。龍格-庫塔方法一般形式龍格-庫塔方法的一般形式：rX%+1=M+吃站%=/（%+八+e抖J1-1用=/C/+/融入+£*），=工4工IA1其中4內(nèi)和%為待定參數(shù)，在滿足士4=1,0三占三1,：%.=1的條件下使上式的局部

21、截斷誤差方+首項(xiàng)中犧嘉i-1/-I次盡量高,若丁2=鼠小、則棟上式為£級前龍格-庫塔公式.經(jīng)典的龍格-庫塔方法經(jīng)典的龍格-庫塔方法（4級4階龍格-庫塔公式）如下，它具有4階精度，但收斂速度比較慢，%1=”+5密+3+2網(wǎng)+汽）:必），后=（/+:，“+守）與=妝+/+爭）氐&=x+瓦乂+%）常微分方程組和高階方程初值問題的數(shù)值方法P7374高階方程，需要先降階化為一階常微分方程組2.3 龍格-庫塔方法的MATLAB實(shí)現(xiàn)對于救分方程（組的初值問題/«）二.：&#），工二公,五），-f=1'，工）Hg）=砧:x0=龍格一庫塔方法可用如下Matl那命令實(shí)現(xiàn)

22、其計算：t,工=dde23（£ts,kOjoptions）tfi=ode45（*fftSj工options）其中口du23用的是3級2階龍格-庫塔公式.nd國5用的是以Rungc-Kutta-FEhber呂命名的5階4階公式。命令的輸入更符解方程寫成的函數(shù)值件：functiondx=f（t,x）dx=fl;f2p.;fn;若輸入t與二tO,tl,.，tf,則輸出在指定時刻tO,tl,璃,tf的函數(shù)值；若輸入ts=tO:k:tf則輸出在R口J打內(nèi)以k為間隔的等分點(diǎn)處的函數(shù)值,工0為函數(shù)初值（槐向量）,options可用于設(shè)定誤差限ption黑猛時設(shè)定相對誤差1TM絕時誤差10"

23、;）,命令為：options=adeset（'reltol',rt/abstol',at）其中ft,近分別為設(shè)定的相時誤差和絕對誤差.命令的輸出t為由輸入指定的也,工為相應(yīng)的函數(shù)值演向量）.注意：計算步長h是根據(jù)設(shè)定誤差限自動調(diào)整的，并不是輸入中指定的輸出“步長”k.2.4 算法的收斂性、穩(wěn)定性分析收斂性分析P81當(dāng)計算步長力7時，數(shù)值解無限接近微分方程初值問題的解析解向前向后歐拉公式、改進(jìn)歐拉公式.4階龍格-庫塔公式都是收斂的，它們的整體誤差分別為。箭）,0短卜穩(wěn)定性分析P81穩(wěn)定性是討論計算中舍入誤差是否隨步數(shù)的增加無限增大*對于一種數(shù)值算法.若居的誤差7同“|引n

24、算法穩(wěn)定時于一階微分方程/1=/0，尸若在某一點(diǎn)作二元泰勒展開.略去2階及2階以上項(xiàng)得/=）+£。，尸”）"一個）+方,，丁再經(jīng)過簡單的代換，可化成如下的方程進(jìn)行討論：=-Ay,A>0它的解析解走y=%“，其中。是初始條件決定的常數(shù)，鼻>0保證微分方程本身的穩(wěn)定性，向前歐拉公式=以+也/）=（1-網(wǎng)應(yīng)=/+1=。-助此|1|笄/=|1-砌M1=4工：A向后歐拉公式居+i=入-勵M+i=>%=：J=8取任意值均可1+經(jīng)典龍格-庫塔公式羥證明，穩(wěn)定性條件是位名學(xué)向后歐拉公式無條件穩(wěn)定剛性現(xiàn)象與剛性方程精度一一慢穩(wěn)態(tài)解的特征根決定步長一一快穩(wěn)態(tài)解快慢穩(wěn)態(tài)解衰減速

25、度（兩個特征根）相差懸殊一一剛性現(xiàn)象一一剛性方程求解ode23s,ode15s線性代數(shù)方程組數(shù)值解法線性代數(shù)方程組的一般形式和解法含n個未知數(shù)、由n個方程組成的線性方程組可表示為%n瓦+鋁9+“+%/=%口乳國+曰掙勺+=場aF*i/+%勺+-+金柳/二九記=焉，“風(fēng)山。&=也孔則線性方程組也可表示為Ax=b的形式，其中A為系數(shù)矩陣”求解線性方程組的方法一般有兩類直接法和迭代法.直接法名強(qiáng)寸都艮次算術(shù)運(yùn)算能求出精確解（不考慮舍入誤差）或者判定解不存在的方法.主要包括高斯消元法和LU分解.迭代法從某個初始近似解出發(fā)，通過逐次得到的近似解去逼近推瑛解的方法,主要包括雅可比方法和高斯-賽德爾

26、方法.2 .求解線性代數(shù)方程組的直接法2.1 高斯消元法高斯消元法高斯消元法分消元和回代兩個步既，先依次梢元將原方程組版4的系數(shù)矢轉(zhuǎn)化成上三角矩陣，再依次回代求出方程組的所有解。高斯港元法的第一次造元過程如下的1與十%向+-十%/=”，%十蜷昆十+%；%;媾，3/十為內(nèi)+十%=,盤曷+*/=妒.產(chǎn)Ml+%必+,-1+%/=4碳/+十點(diǎn)/=礙L類似如上步驟，依次進(jìn)行消元（每次消元過程相當(dāng)于在方程組兩邊左乘了一個對角線為1的下三角矩陣），最后可以得到這樣的形式工城與+咽均+或k=中,理.+項(xiàng)工=皆,解該方程組中第n個方程，得到/的值，再依次向上回代即可解出方程組的所有解。值得注意的是在消元過程中要

27、保證磁，h口供=12.冷等價于H的所有順序主子式不為0,列主元消去法實(shí)際上，在用高斯悄元法解線性方程組的過程中，即使或0體=12E）,但是其絕對值很小時,用它作除數(shù)也會導(dǎo)致較大的舍入誤差。所以在進(jìn)行第k步消元時，不論是否為0,若陳第k列選擇展。=總，用最大的一個作為主元（稱為列主元），將其所在行與第k行交換后再按上述方法進(jìn)行下去，稱為列主元消去法.2.2 LU分解LU分解和Cholesky分解由上面對高斯消元法的討論知，若A可逆且順序主子式不為0,則A可分解為一個單位下三角陣L和一個上三角陣U的積，BPA-LU.這種分解是唯一的，稱為矩陣的1吩解.對應(yīng)地，若A可逆，則存在交換陣P使PA=LU,

28、其中L為單位下三角陣，U為上三角陣。對于某些特殊矩陣，例如正定對稱矩陣A,它可分解成對角元素為正下三角陣L與它的轉(zhuǎn)置矩陣之枳,即A=Ll7或A=LDL）其中L是單位下三窗陣，D是元素為正的對角陣.這種分解稱為三角分解或Chmsky分解。求解三對角線性方程組的追趕法學(xué)習(xí)好資料歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載在三次樣條插值和其他一些計算中，露各函正羲后麗值看三對角的形式，這種矩陣的L吩解可表示為：F-=4其中L和口的計算公式為%=a7=2,3,k4=a-kj-it=2.%，界線性方程組A由f可通過等價的兩個三角形線性方程組L尸f和取可求解如下:乃工z：=Z4招.卜工=2戶號二內(nèi)一白Ez,J=w_l，.i

29、這種方法稱為求解三對角線性方程組的追趕法,2.3 解的誤差分析P95病態(tài)是解的固有性質(zhì)，與解法無關(guān)。由實(shí)際問題導(dǎo)出的線性方程組4走=瓦系數(shù)矩陣W和右端向量力住柱帶有誤差。解的誤差分析是討論工或溯微小變化對解x的影響.一般地，若線性方程組系數(shù)矩陣或右端頂?shù)娜鲂_動引起解的很大變化，就稱之為病態(tài)線性方程組，系數(shù)矩陣稱為病態(tài)矩陣。反之，稱為良態(tài)線性方程組和良態(tài)支解。在具體計算時，工對白擾動的敏感程度取決于卜-,同，定義cmdU）二MT|M|,稱加4的條件數(shù)。條件數(shù)反映了線性方程組的性態(tài)，力的條件數(shù)越大，解x對右端項(xiàng)方和系數(shù)矩陣上擾動的敏感程度越大，即解的相對誤差就可能越大。向量范數(shù)和矩陣范數(shù)P96相

30、容性條件3 .求解線性代數(shù)方程組的迭代法3.1 雅可比迭代法將月分解為刃=D-L-Uf其中。二血班再卜如二,)05a2100.：z=.21.，u=-.-%-Ijt_*i5-A1°Jo設(shè)對角陣。非奇異(即/wO,"LAx-b=Dx-(L+U)x=b=x=D"L(Z4-C7)z4-Dlb記4二zr】(£+P),工=。-4得雅各比迭代式鏟t二名”)+工力3.2 高斯-賽德爾迭代法將為分解為為二口一£一5其中。二嬴igl/i，町0_%0L-二上.J.41Aa設(shè)對角陣。非奇異（即為=0尸=1/）/工=石=(D-L)x-Ux=b=x=(D-LY1Ux+(D

31、-Ly1b記“二D飛+U)Ti=h%，得高斯-賽德爾迭代式氏i)=N+條高斯賽德爾收斂快于雅可比3.3 迭代法的收斂性和收斂速度本節(jié)介紹的兩種送代法在求解線性方程組時，都能寫成形式鏟期二取網(wǎng)+3有-丁=4（工網(wǎng)-）曷知有以下結(jié)果.1t00時序歹此”）收斂于£Q爐趨于0O3的所有特征根的模小于1，即以3尸max（4）l其中兩個最常用的結(jié)論如下若力是嚴(yán)格對角占優(yōu)的，即|叫£耳|g=l,則雅可比迭代和高斯-賽德爾迭代均收斂.若不對稱正定，則高斯賽德爾迭代法收斂，迭代公式U斂一一B的譜半徑P（B）1。譜半徑不超過任一種范數(shù)p（B）|B|3.4 超松弛迭代超松弛迭代（SOR）迭代法是

32、對高斯-賽德爾迭代的一腳改進(jìn)，它把高斯-賽德爾迭代計算出的鏟科作為中間結(jié)果#卬匕再和原有的#刖作加權(quán)平均得出鏟叫即節(jié)理=Q-1（上鏟理+U陰）+M聲理=G評相+。-勸朋其中W為加權(quán)因子，GA1時稱為超松弛迭代，時稱為低松弛迭代，6=1時退化為高斯賽德爾迭代.so嗨代法可以看做是帶參數(shù)的高斯-賽德爾迭代法，是解大型稀疏矩陣方程組的有效方法之一。它的收斂性和上面討論的兩種迭代法類似。關(guān)于£0磁代法收斂性的一個很有用的結(jié)論是；若謝稱正定，則迭代公式收斂的充要條件是0厘2,4.超定線性代數(shù)方程組的最小二乘解4.1 超定線性方程組的概念方程個數(shù)超過了未知數(shù)個數(shù)的方程組稱為超定線性方程組。一般來

33、說，超定線性方程組在普通意義下是無解的，只能在新設(shè)定的準(zhǔn)則下定義它的解。求解超定線性方程組的一個重要實(shí)際應(yīng)用背景是數(shù)據(jù)擬合，我們下面的討論也將就這個問題展開學(xué)習(xí)好資料歡迎下載4.2最小二乘準(zhǔn)則數(shù)據(jù)擬合問題的提法是，已知一組數(shù)據(jù)為j&=12尋求一個函數(shù)y使將再代入得到領(lǐng)區(qū))在某種準(zhǔn)則下與屏最為接近g幾何上看可以看作是找一條曲線y=(現(xiàn)與平面上已知的n個點(diǎn)®2)在某種準(zhǔn)則下最為接近，稱為曲線擬合口一般的擬合函數(shù)y=/(用具有如下形式：=一(籃)+凡的"+乩”其中用5),仍。);式#)是事先選定的一組函數(shù)，稱為基函數(shù)，用照，一，耳是待定系數(shù)，而且待定系數(shù)個數(shù)n件1小于數(shù)據(jù)

34、容量m若我們強(qiáng)令*不)=MG=12，就有自物(近)+4*1。1)+凡穌(瓦)二71，A孰)g)+瓦仍X)+耳科式/)=乂(利5)-巴氏4記中=:"：產(chǎn)=(自應(yīng)一，乩)尸=5J*)r阿3)%(/)L戰(zhàn)川則上述方程可寫為中產(chǎn)=y,它在一般意義下無解*數(shù)據(jù)擬合不要求汽/)=乂(1=12-：M，而是確定一個/1)與用最為接近的準(zhǔn)則，最常用的港則是使丁(&)與乂(1.2劉之差的平方和最小，稱為最小二乘準(zhǔn)則。4.3 最小二乘解當(dāng)用回(。,見a港性無關(guān)射，中列滿秩，中可逆，可得到擬合問題在最小二乘準(zhǔn)則下的最小二乘解為的力尸4.4 基函數(shù)的選取數(shù)據(jù)擬合時常用的曲線：直線"母十公2,

35、3次曲線丁二片+同茶+方湘雙曲線的一支小=扁+民X指數(shù)曲線7=MATLABx=Ab;%求解方程Ax=b。若A為可逆方陣，輸出原方程組的解；若A列多于行，輸出最小二乘解n=norm(x,1);n=norm(x);n=norm(x,inf);%輸出x的1、2、無窮范數(shù)c=cond(x,1);c=cond(x);c=cond(x,inf);%輸出x的1、2、無窮條件數(shù)r=rank(x);%輸出向量x的秩e=eig(x);%輸出矩陣x的全部特征值v=diag(x);v=diag(diag(x);%提取對角矩陣v=triu(x);v=tril(x);%輸出矩陣x的上三角陣、下三角陣v=triu(x,1)

36、;v=tril(x,-1);%輸出矩陣x的上三角陣、下三角陣，對角元素為0學(xué)習(xí)好資料歡迎下載h=hilb（n）;p=pascal（n）;%n階希爾伯特矩陣、Pascal矩陣S=sparse（i,j,s,m,n）%稀疏矩陣，在第i行，第j列輸入s,矩陣共m行，n列SS=full（S）;%輸出S的滿矩陣tic;x=ab;t1=toc;%計算求解時間a=eye（3）%矩陣Ia=inv（b）%矩陣求逆a=polyfit（x,y,m）;%完全多項(xiàng)式擬合，x,y要擬合的數(shù)據(jù)，m多項(xiàng)式的次數(shù),a為擬合系數(shù)（降哥排列）y=polyval（a,x）;%計算上述多項(xiàng)式在x處的值關(guān)鍵是列出Ax巾的式子，其中x為包含

37、要求量的矩陣，即列出方程后把包含要求量的項(xiàng)挪到一邊，把其系數(shù)整理成A,剩下的部分就是bo通常需要用稀疏矩陣整理A:A=sparse（i,j,s,m,n）%稀疏矩陣，在第i行，第j列輸入s,矩陣共m行，n列x=Ab即可求解實(shí)驗(yàn)考點(diǎn)是雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法的相關(guān)理論和迭代范圍等非線性方程求解1非線性方程（組）的定義及特點(diǎn)n（2）次代數(shù)方程（a0xn+a1xn-1+an=0）和超越方程（包含超越函數(shù)（如sinx,lnx）的方程）通稱為非線性方程。方程中的未知數(shù)也稱為變量或變元，只含一個未知數(shù)的方程（即一元方程或單變量方程）可以記作JW二°,該方程的解也稱為方程的根（或函數(shù)/W的零

38、點(diǎn)）。n次代數(shù)方程有且只有n個根（包括復(fù)根、重根）；5次以上的代數(shù)方程無求根公式；超越方程有無根，有幾個根通常難以判斷。這里僅討論方程的實(shí)根。包含n個未知數(shù)的m個方程稱為方程組，可以記作=。，其中工二（為，/）是一個向量，5/式或是一個向量值函數(shù)。當(dāng)中至少有一個非線性函數(shù)時，尸稱為非線性方程組。多數(shù)情況下，方程組中包含的方程的個數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù)（即m=n）。求解非線性方程（組）的一般方法是迭代法，會出現(xiàn)分岔一一混沌現(xiàn)象。2非線性方程的基本解法2.1圖形法和二分法解方程/（城二°的第一步通常是確定根的近似位置或大致范圍。有兩種方法：圖形法和二分法。圖形法是利用MATLAB勺函數(shù)圖形功

39、能作f（x）的圖形，觀察f（x）與x軸的交點(diǎn)，確定根的個數(shù)和范圍。二分法是基于連續(xù)函數(shù)/的零點(diǎn)存在定理，通過試探,，確定函數(shù)值異號的區(qū)間（巴力）后，可以用簡單的二分法海區(qū)間縮小，具體步驟如下：取的中點(diǎn)天二（"，若彌二。，%）'/）0,令4=入，4=6。在口也）內(nèi)至少有一個根，且（%也） , - '1,"： 如此進(jìn)行下去，包含根的區(qū)間的長度每次縮小一半 （n=1,2,再取的中點(diǎn)），n足夠大時即可達(dá)則丁即是根。否則，如/（辦/（幻°,令飛二°，二七；如到滿意的精度。圖形法和二分法都可提供迭代法的初始迭代點(diǎn)。學(xué)習(xí)好資料歡迎下載2.2迭代法迭代法

40、的基本思想是將原方程/（1）=0改寫成等價形式工二觀了）,選擇適當(dāng)?shù)某踔刀。凑盏蕉︴竓上二。工計算，若迭代序列卜J收斂到八則工滿足了、3（7）,稱為迭代函數(shù)3的不動點(diǎn)，即為原方程f（x）=0的根。迭代法的關(guān)鍵在于如何構(gòu)造迭代函數(shù)伊，使迭代序列以較快速度收斂。迭代法是否收斂取決于曲線妍電的斜率。（P118）關(guān)于迭代法的收斂性，理論上有如下的所謂局部收斂性定理：設(shè)3（1）在工的一個鄰域內(nèi)連續(xù)、可微，且阿。則對于該鄰域內(nèi)的任意初值Z,序列xn收斂于XOf'Um-7”=c>C對迭代序列苗J,記/=h-工，若E*11%II,P為一個正數(shù)，其中|表示某種范數(shù)（對實(shí)數(shù)可以認(rèn)為就是絕對

41、值），則稱序列工J為P階收斂。特別地，1階收斂稱線性收斂，二階收斂稱平方收斂；若p=1,c=0,則稱O為超線性收斂。P越大收斂越快。利用認(rèn)R在/的泰勒展開:雙乙）=觀/）+必/）阮-/）+-川可得若/（1）h。,則為i階收斂（線性收斂）；若）=嚴(yán)）=0.爐"（工”口，則由）為P階收斂。2.3牛頓法將一（X）在Z作泰勒展開，去掉2階及2階以上項(xiàng)（即線性化）后得/區(qū)寸8）+/功（工-4）。設(shè)/8）=。,_他）z*/令上面的匚二,用代替右端的x,就得到迭代公式Y(jié)X河。對應(yīng)的迭代函數(shù)為始）二彳有，其幾何意義是過（4，/（4）點(diǎn)的曲線/二的切線與X軸的交點(diǎn)即為工W（點(diǎn)擊看圖1）,稱為牛頓切線法

42、。由研工'）=公知,若?是/二。的單根，即少/ JMnQ,：租二1,這時牛頓切線法2階收斂。當(dāng)？是圖2割線法的幾何意義/W=o的重根時，爐（/）工o,牛頓切線法只是i階收斂，并且重數(shù)越高收斂越慢/（一）-/（5）、=x_八一）（一I用差商入工1代替/E）,迭代公式變?yōu)椤盠1,其幾何意義是用割線代替了收斂速度比切線法稍慢（對于單根其收斂階數(shù)是1.618 ),原來的切線（點(diǎn)擊看圖2）,稱為割線法（或稱弦截法）其且需要兩個初值X0,x1開始迭代。3非線性方程組的牛頓法、擬牛頓法將求解非線性方程的牛頓切線法推廣到解方程組F（x）=0，其中工一仇而。設(shè)產(chǎn)二（甲，壯是第E步近似解，在”作泰勒展開，

43、線性化后用/制代替工可得巴冊項(xiàng)）二也嗎+以聲）（*憶泗），其中（產(chǎn)）為F的雅可比（Jacobi）矩陣-組叟在工處的值。若尸（了）可逆，則可得求解方程組F（x）=o的牛頓迭代公式父剛二”）一/（”）】打了的）實(shí)際計算中，在計算過程的第k步，通常是先計算打了閭）和（朋），再解線性方程組尸WW=-網(wǎng)舟得到A產(chǎn)后，令產(chǎn)忡二產(chǎn)十加尚即可。牛頓迭代公式是超線性收斂的（即收斂階不小于1）,稍加條件就至少是平方收斂的。當(dāng)函數(shù)F比較復(fù)雜時計算雅可比矩陣尸（X）很不方便,所以希望能用較簡單的矩陣a近似,即M_（4）A-A仿照割線法中用差商W代替/（d）的作法，使胖滿足型（嚴(yán)一產(chǎn)"）=/（嚴(yán)）一/（嚴(yán)）和

44、工闞二川口）+.（同計算之。這種方法稱為擬牛頓法。至于如何確定A4出，又有不同的構(gòu)造方法，例如DFRBFGS4用MATLABEL具箱解非線性方程（組）4.1 fzero的基本用法fzero命令用于求單變量方程的根，所采用的算法主要是二分法、割線法和逆二次插值法等的混合方法。其最簡單的調(diào)用方式為x=fzero（f,x0）函數(shù)簡單可以用句柄形式：fzero（inline（'xA3-2*x-5'）,0）%初值取0或fzero（inline（'xA3-2*x-5'）,1,3）%有根區(qū)間取1,3或fzero（x）xA3-2*x-5,0）fzero求的可能只是變號點(diǎn)而不是零

45、點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)近似零點(diǎn)，不連續(xù)函數(shù)，間斷點(diǎn)；連續(xù)沒變號找不到其最一般的調(diào)用方式為x,fv,ef,out=fzero（f,x0,opt,P1,P2,）輸出參數(shù)輸入?yún)?shù)注意事項(xiàng)（控件）4.1.1 命令的輸出參數(shù)其中fzero命令輸出參數(shù)的含義為：x：變號點(diǎn)的近似值fv:x點(diǎn)所對應(yīng)的函數(shù)值ef:程序停止時的狀態(tài)l1:找到異號點(diǎn)1-1:沒有找到異號點(diǎn)Out:包含以下數(shù)據(jù)的一個結(jié)構(gòu)變量lIterations:迭代次數(shù)lfuncCount:函數(shù)被調(diào)用的次數(shù)lalgorithm:實(shí)際使用的算法4.1.2 命令的輸入?yún)?shù)其中fzero命令輸出參數(shù)的含義為：1. f函數(shù)名（必須輸入的參數(shù)）2. x0迭代初值（或有

46、根區(qū)間）（必須輸入的參數(shù)）3. opt控制參數(shù)的結(jié)構(gòu)變量，設(shè)定（或顯示）控制參數(shù)的命令為Optimset（參見約束優(yōu)化實(shí)驗(yàn)）,用戶不指定或指定為口時將采用缺省值。對fzero命令可選擇的參數(shù)只有Display和TolX（含義見約束優(yōu)化實(shí)驗(yàn)）4. P1,P2,.是傳給f函數(shù)的參數(shù)（如果需要的話）4.1.3 命令注意事項(xiàng)1 .對簡單函數(shù)f（x）可直接用MATLAB提供的inline函數(shù)輸入（inline函數(shù)返回一個字符串表示的函數(shù)的句柄）2 .fzero實(shí)際上求得的不一定是函數(shù)的零點(diǎn)，而只是函數(shù)值發(fā)生變號的點(diǎn)。對于連續(xù)函數(shù)，這個點(diǎn)就是近似零點(diǎn)；但對于不連續(xù)的函數(shù)，這個點(diǎn)很可能只是一個間斷點(diǎn)（且在該

47、點(diǎn)兩邊，函數(shù)值異號）。4.2 fsolve的基本用法fsolve命令用于非線性方程組的求解（當(dāng)然也可以用于方程求根，但效果一般不如fzero程序），最一般的調(diào)用方式是：x,fv,ef,out,jac=fsolve（F,x0,opt,P1,P2,.）輸出參數(shù)輸入?yún)?shù)（控件）4.2.1 命令的輸出參數(shù)其中fsolve命令輸出參數(shù)的含義為：1. x：方程組的解2. fv：解所對應(yīng)的向量函數(shù)值3. ef:程序停止時的狀態(tài)l1:收斂l-1:不收斂l0:達(dá)到了迭代或函數(shù)調(diào)用的最大次數(shù)4. out:包含以下數(shù)據(jù)的一個結(jié)構(gòu)變量lIterations:迭代次數(shù)lfuncCount:函數(shù)被調(diào)用的次數(shù)lalgori

48、thm:實(shí)際使用的算法lfirstorderopt:結(jié)果處梯度向量的1-范數(shù)5. jac：x點(diǎn)所對應(yīng)的雅可比矩陣4.2.2 命令的輸入?yún)?shù)其中輸入?yún)?shù)的含義為：1. f函數(shù)名（必須輸入的參數(shù)）2. x0迭代初值（必須輸入的參數(shù)）3. opt控制參數(shù)的結(jié)構(gòu)變量，設(shè)定（或顯示）控制參數(shù)的命令為Optimset,有以下一些用法：Optimset/顯示控制參數(shù)optimsetoptfun/顯示程序'optfun的控制參數(shù)opt=optimset/控制參數(shù)設(shè)為（即缺省值opt=optimset（optfun）/設(shè)定為程序'optfun的控制參數(shù)缺省值Opt=optimset（'p

49、ar1',val1,'par2',val2,.）Opt=optimset（oldopts,'pan',val1,）opt=optimset（oldopts,newopts）對fsolve命令可選擇的常用參數(shù)有Diagnostics是否顯示診斷信息（on'或'off）Display顯示信息的級別（'off1,'iter','final,'notify）LargeScale是否采用大規(guī)模算法（'on'或'off）缺省值為offMaxIter最大迭代次數(shù)TolFun函數(shù)計算的誤差限

50、TolX決策變量的誤差限Jacobian目標(biāo)函數(shù)是否采用分析Jacobi矩陣（on','off）MaxFunEvals目標(biāo)函數(shù)最大調(diào)用次數(shù)4. P1,P2,是傳給f函數(shù)的參數(shù)（如果需要的話）4.3 roots的基本用法Roots命令用于一元多項(xiàng)式求根。兩個相關(guān)的命令是：lr=roots（c）輸入多項(xiàng)式的系數(shù)c（按降哥排列），輸出r為/0）二°的全部根（包括復(fù)根）；lc=poly（r）輸入J（1）二口的全部根r,輸出c為多項(xiàng)式的系數(shù)（按降哥排列）。無約束優(yōu)化1 .無約束優(yōu)化的基本原理、解法1.1 無約束優(yōu)化的一般形式無約束非線性規(guī)劃問題為訓(xùn)八球葭二工廠無出J.其最優(yōu)解通

51、常都是局部最優(yōu)解，尋找全局最優(yōu)解需要對局部最優(yōu)解進(jìn)行比較以后得到（如果能夠求出所有局部最優(yōu)解的話）。1.2 最優(yōu)性條件X二工'是最優(yōu)解的必要條件為）二。;充分條件為）二°,且"底）正定。1.3 下降法的基本思想在迭代的第k步，確定一個搜索方向和一個步長，使沿此方向、按此步長走一步到達(dá)下一點(diǎn)時，函數(shù)值1）下降。其基本步驟為1）選初始解1°112）對于第攵次迭代解工，確定搜索方向d£&i并在此方向確定搜索步長a£凡令”二工'+a廣,使I.*川3）若支符合給定的迭代終止原則，停止迭代，最優(yōu)解I=1;否則，轉(zhuǎn)2。學(xué)習(xí)好資料歡迎下

52、載搜索方向婕的選擇（不同方向產(chǎn)生不同的算法）：1）最速下降法（梯度法）匚:二:2）牛頓法屋=一（/（力弓）（P142）牛頓法的優(yōu)點(diǎn)是在接近最優(yōu)解時具有2階收斂性局部收斂性3）擬牛頓法：利用第尢和上+1步得到的犬,丁川W河（產(chǎn)）,用BFG鏤式，DFP公式，G必式等迭代公式構(gòu)造正定矩陣G陰近似代替或直接構(gòu)造中期近似代替（丁/（/），從而由y小二-演產(chǎn)），1得到下降方向dk+1。搜索步長的確定一一線性搜索：用二分法、黃金分割法（即0.618法）、Fibonacci法，牛頓切線法和割線法，插值方法等近似方法求一維優(yōu)化問題：面17（犬+曲'）來確定步長al1.4用MATLAB優(yōu)化工具箱解無約束優(yōu)

53、化問題用MATLA就化工具包求解無約束非線性規(guī)劃時必須先化為如下形式：Minf（x）（NLP）求解程序名為fminunc,其最簡單的調(diào)用格式為：x=fminunc（'fun',x0）其最復(fù)雜的調(diào)用格式為：x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fminunc（f,x0,options,P1,P2,）輸出參數(shù)輸入?yún)?shù)注意事項(xiàng)1.4.1 程序fminunc輸出變量其中輸出變量的含義為：1） x：最優(yōu)解2） fval:最優(yōu)解處的函數(shù)值3） exitflag:程序結(jié)束時的狀態(tài)指示： >0:收斂 0:函數(shù)調(diào)用次數(shù)或迭代次數(shù)達(dá)到最大值（該值在optio

54、ns中指定） <0:不收斂4） Output:包含以下數(shù)據(jù)的一個結(jié)構(gòu)變量 funcCount函數(shù)調(diào)用次數(shù) iterations實(shí)際迭代次數(shù) cgiterations實(shí)際PCG迭代次數(shù)（大規(guī)模計算用） algorithm實(shí)際使用的算法 stepsize最后迭代步長（中等規(guī)模計算用）5） grad:目標(biāo)函數(shù)梯度6） hessian:目標(biāo)函數(shù)的hessian矩陣1.4.2 程序fminunc輸入?yún)?shù)其中輸入變量的含義為： x0為初始解（缺省時程序自動取x0=0） fun.m給出目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)GradObj='on時必須給出其梯度，當(dāng)Hessian='on時還必須給出其Jacobi

55、矩陣，一般形式為 functionf,g,H=fun（x）學(xué)習(xí)好資料歡迎下載f = . % objective function value ifnargout>1 g=.%gradientofthefunction ifnargout>2 H=.%Hessianofthefunction end options:包含算法控制參數(shù)的結(jié)構(gòu)設(shè)定(或顯示)控制參數(shù)的命令為Optimset,有以下一些用法：Optimset/顯示控制參數(shù)optimsetoptfun/顯示程序'optfun的控制參數(shù)opt=optimset/控制參數(shù)設(shè)為(即缺省值opt=optimset(optfun)/設(shè)定為程序'optfun的控制參數(shù)缺省值Opt=optimset('par1',val1,'par2',val2,.)Opt=optimset(oldopts,'par1',val1,.)opt=optimset(oldopts,newopts)可以設(shè)定的參數(shù)比較多，對fminunc,常用的有以下一些參數(shù)：Diagnostics是否顯示診斷信息('on'或'off)Displa