1、第四章 不定積分一、知識小結1.原函數 定義1 如果對任一，都有 或 則稱為在區間I 上的原函數。原函數存在定理：如果函數在區間I 上連續，則在區間I 上一定有原函數，即存在區間I 上的可導函數，使得對任一，有。注1：設是的原函數，則也為的原函數，其中為任意常數。注2：如果與都為在區間I 上的原函數，則 （C為常數）(1) 若f(x)的導函數是sinx,則f(x)有一個原函數為 ( )。A. B. C. D. 2.什么是不定積分？的全體原函數。(2) ( )。A. B. C. D. 3.兩者的聯系與區別？聯系：它們的導數相同，都是 f (x).區別：不定積分是函數族；原函數是不定積分中的一個函

2、數。4.由原函數與不定積分的概念可得：1)2)3)4)5)5.積分公式1) (為常數)；2) ()3) ；4) 5) ；6）7）；8）9）；10）11）；12）13）； 14),15),16),17),18),19),20),21), 22)6.不定積分的性質性質1性質2，（為常數，）二、要點解析1. 直接積分法通過簡單變形, 利用基本積分公式和運算法則求不定積分的方法 .（1） 求。解：原式=1nm+1xnm+1+C=mm+nxm+nn+C（2）求。解：原式=sec2xdx-secxtanxdx=tanx-secx+C(3) 設 ,則（ ）。A. ; B. ;C.; D. （4）求。解：（5

3、）求。解：(6) ( )。A. B. C. D. (7) ( )。A. B. C. D. (8) 。2.第一類換元積分法設為的原函數，可微，則 稱為第一類換元積分公式（湊微分）.例： =+=+。例： =-ln|cos x|+C . 即 . 類似地可得. 例：當a>0時, . 即 .例： . 即 .（1）求。解：原式=-12e-x2d-x2=-12e-x2+C（2） 求。解：設u=tanx2，則dx2+sinx=12+2u1+u221+u2du=1u2+u+1du=1(u+12)2+(32)2du=23arctan2u+13+C=23arctan2tanx2+13+C（3）求解：原式=12

4、d(x2+2x+5)x2+2x+5=12lnx2+2x+5+C（4）= 。（5）求。解：（6）求。 解：（7）求解 = = 。3.第二類換元積分法設是單調的可導函數，且在區間內部有，又設 具有原函數，則 其中為的反函數，稱為第二類換元積分公式。（1） 求。解：設x=asinu-2<u<2，則a2-x2=acosu，dx=acosudu，于是x2dxa2-x2=a2sin2udu=a21-cos2u2du=a22(u-sin2u2)+C=a22arcsinxa-xa2-x22+C（2）求。令x=tanu-2<u<2，則x2+1=secu，dx=sec2udu，于是dx(x2+1)3=cosudu=sinu+C=x1+x2+C4.分部積分法稱為不定積分的分部積分公式。例1：求 解： 例2：求 解： 例 3：求 解： 因此得即例4： 求. 解 令x =t 2 , 則 , dx=2tdt. 于 . （1）求。解：原式=ln2xdx22=x22ln2x-xlnxdx=x22ln2x-lnxdx22=x22ln2x-x22lnx+x2dx=x242ln2x-2lnx+1+C （2）求。解：（3）求不定積分 。解 令，= =(4) 求。解：原式=xar