1、 數碼相機定位 摘要本文要求對靶標上的點在像平面上的像坐標的確定問題建立數學模型和算法，確定其像的坐標，以及兩部相機的相對置。針對問題一，先采用了針孔成像模型，在具體的求解過程中，為了便于計算又采用了攝相機標定線性模型。針對問題二，即對模型的求解，根據射影變換的不變性（幾何元素點、線、面等變換后仍保持原先的種類），找出實物中圓的公切線與像片中像的公切線上相對應的點，把這些點帶入模型中，通過最小二乘法求出的投影矩陣，再求得靶標上圓、的圓心在像平面上的像坐標分別為、（582,502）、，此處像平面以像片左上角頂點為坐標原點，以像素為單位。針對問題三，以圖像平面上的所有圓的像點，通過原模型計算出它在

2、物平面上的坐標，判斷這些坐標點落在靶標圓上的點的多少，計算出能落靶標圓上的點與總的像點的比值，即精確率為93.6%，；再選取特殊的特征點，檢驗模型計算的值是否存在整體的偏移，其計算結果為：在物平面的水平方向向左偏移0.4個像素,垂直方向向上偏移1.7個像素，便可以用此偏移位移對像平面上圓心的位置進行較正。對于問題四，先利用問題一、二的方法得到左攝像機與右攝像機像面上的對應的匹配點（二者是空間同一點在左、右攝像機像面上的點），采用雙目立體視覺測量數學模型，求出兩部攝像機坐標系之間的旋轉矩陣和原點之間的平移矢量，從而找出兩部固定相機相對位置。在模型的推廣與改進中，不僅考慮到了攝像機畸變問題，利用畸

3、變系數標定原理建立方程，解得畸變參數。還設計出了一個比原靶標更好的靶標，使得確定像的坐標更容易、更精確。從而實現對模型的推廣與改進。關鍵詞：旋轉矩陣切點平移矢量投影矩陣偏移位移 精確率一、 問題的重述數碼相機定位是指用數碼相機攝制物體的相片確定物體表面某些特征點的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機來定位。對物體上一個特征點，用兩部固定于不同位置的相機攝得物體的像，分別獲得該點在兩部相機像平面上的坐標。通過兩部相機精確的相對位置，用幾何的方法得到該特征點在固定一部相機的坐標系中的坐標，即確定了特征點的位置。于是對雙目定位，精確地確定兩部相機的相對位置就是關鍵，這一過程稱為系統標定。標

4、定的一種做法是：在一塊平板上畫若干個點，同時用這兩部相機照相，分別得到這些點在它們像平面上的像點，利用這兩組像點的幾何關系就可以得到這兩部相機的相對位置。然而，無論在物平面或像平面上都無法直接得到沒有幾何尺寸的“點”。實際的做法是在物平面上畫若干個圓（稱為靶標），它們的圓心就是幾何的點了。而它們的像一般會變形，所以必須從靶標上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標定就可實現。有人設計靶標如下，取1個邊長為100mm的正方形，分別以四個頂點（對應為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓，如圖1所示。圖1 靶標示意圖用一位置固定的數碼

5、相機攝得其像，如圖2所示圖2 靶標的像要求：（1） 建立數學模型和算法以確定靶標上圓的圓心在該相機像平面的像坐標, 這里坐標系原點取在該相機的光學中心，x-y平面平行于像平面；（2） 對由圖1、圖2分別給出的靶標及其像，計算靶標上圓的圓心在像平面上的像坐標, 該相機的像距（即光學中心到像平面的距離）是1577個像素單位(1毫米約為3.78個像素單位)，相機分辨率為1024×768；（3） 設計一種方法檢驗你們的模型，并對方法的精度和穩定性進行討論；（4） 建立用此靶標給出兩部固定相機相對位置的數學模型和方法。二、模型的假設及符號說明問題假設：1用于攝像的透鏡是理想的透鏡成像，因透鏡的

6、不規則產生的影響可以忽略的；2假設數碼相機所成的圖像不產生枕形失真與桶形失真；3假設圖像的輪廓清晰，能找出圖像輪廓；4相機凸透鏡的主光柱垂直通過像平面的中心；符號說明：-攝像機坐標系與世界坐標系的旋轉矩陣-表示以像素為單位的圖像坐標系的坐標-在，坐標系中的坐標-從世界坐標系的原點到光心的矢量-為一問中攝像機的焦距，即光學中心到像平面的距離-物點在攝像機坐標下的坐標-從世界坐標系到像平面坐標系的投影矩陣-精確率（能返回到靶標上的像點個數與總體像點個數的比值）-左攝像機的有效焦距-左攝像機的有效焦距-右攝像機拍攝圖像在對應圖像坐標系中的坐標-左攝像機拍攝圖像在對應圖像坐標系中的坐標-點在右攝像機坐

7、標系中的坐標-實際像平面坐標三、問題的分析1）、問題一的分析首先，空間中的一點通過光學透鏡在像平面上成一個像點，將像點和物點都置于以光學中心為原點的相機坐標系中，根據已知的像距和成像原理，建立起像點與物點的轉換關系。其次，在像坐標系中，因數碼相機的CCD感光材料上的像是由已知個數的像素點構成，那像的大小與像素點也存在一個轉換關系。再次，空間中的任意一點，同時存在于世界坐標系與相機坐標系中，所以此點在兩個坐標系中的坐標必然存在一下的轉換關系。最后，已知在世界坐標系中的一點的坐標，可以通過世界坐標系與相機坐標系的轉換關系，可求得它在相機坐標系中的坐標，再通過像點坐標與物點坐標的轉換關系，便可求得點

8、在相機坐標下的像點的坐標，因為相機的主光柱垂直通過像平面的中心，且焦距已知，所以像點在相機平面上的坐標的中的兩個坐標量便是點在像平面的坐標。2）問題二的分析將像經數字圖像處理后，再求像中不規則圓的邊界。首先，因為已經假設相機成像無枕形失真與桶形失真，所以在靶標中的三點一線，那在像平面中對應的三點也一定一線，可以證明（證明見后）靶標中圓上相切的點一定也是在像中的不規則園上的切點，即圖3中點與圖4中點一一對應。然后，將這些點在像坐標系中的坐標代入問題一所得的像坐標與世界坐標的轉換關系中，只要找的點足夠多（實際上轉換關系（1.9）中可以看出只需要六個點，而這樣的切點實際上能找到18個以上），就可以通

9、過方程組的最小二乘法可解得像坐標與世界坐標的轉換矩陣，如（1.5）式。最后，再將世界坐標系中的五個圓心的世界坐標帶入上已經解得的像坐標與世界坐標的轉換關系中，便可求得五個圓心在像坐標系中的位置為、（582,502）、。實際上經過問題三的誤差分析與穩定性分析，可知這樣求得的精確率為93.6% 。3）問題三分析對于一、二問中模型的精確度討論，從兩個方面對其進行討論。首先對像平面上的每個像點通過原模型計算其在物平面的坐標，并判斷它是否落在物平面的靶標上，用能落在物平面上的靶標的個數與總的像平面上像點個數的比值作為精確率；因可能存在系統誤差，使像點在同一方向上發生移位，故在相互垂直兩個方向，在物平面的

10、水平和垂直方向上分別取值幾個特征點，通過原模型計算出相應的像坐標，再用計算出的坐標與計算機對圖像直接讀取的坐標進行比較、判斷。4）問題四分析因在此問題中的靶標為確定的，用兩部固定相機對此靶標攝得其像，又在對問題一、二的求解過程中可知投影矩陣可以求解出，故靶標上的每個點在每張相片上的相應點的像坐標均能得到。即左攝像機像面上的點都能在右攝像機中找到對應的匹配點（二者是空間同一點在左、右攝像機像面上的點），故可以建立匹配點之間的關系，從而找出兩部固定相機相對位置。四、模型的建立與求解問題一1、像素坐標系與物理坐標系之間的轉換關系由于本問題中數碼相機分辯率為，也就是此數碼相機的CCD感光器是由個像素點

11、構成，所以得到的靶的像也是由個點構成。因此，需要建立像素與以物理單位（mm）表示的坐標的轉換關系。 圖3 圖像坐標系建立圖像坐標系如圖3。其中表示以像素為單位的圖像坐標系上的坐標，表示以mm為單位的圖像坐標系的坐標。并且在坐標系中，原點定義在數碼相機的主光柱與圖像的垂直交點處，即坐標系中的點，每一個像素點在軸與軸方向上的物理尺寸分別為、，則圖像中的任意一個像素在兩個坐標系下的坐標有如下關系： (1.1)因為式中出現了坐標量加上一個常量，所以如果在二維坐標系中用矩陣表示它們之間的轉換關系為顯然此矩陣表示法因后面加了一常量列，所以并不會對坐標轉換帶來方便，可能還會使變得更復雜。因此為了方便后面坐標

12、系之間的轉換，需用齊次坐標l表示法表示兩個圖像坐標系中的點，分別表示為和，再將（1.1）的轉換關系用齊次坐標系表示即為 （1.2）這樣去掉了后面的常量列，方便點集從一個坐標系到另外一個坐標系的轉換。2、世界坐標系與相機坐標系的旋轉關系又根據數碼相機成像原理圖，如圖4dcbaDACBSbcda圖4 數碼相機成像原理圖1其中平面ABCD表示物平面，平面abcd表示像平面，矩形abcd表為ABCD所成的倒立的像，表示相機的光學中心，表示鏡頭的主光柱與像平面的交點。根據假設，點為像平面abcd的幾何中心，且垂直于像平面abcd，根據成像原理。、分別物點、所對應的像，分別將、繞光學中心點旋轉，成新的平面

13、abcd，與原像平面abcd平行，其中、分別與像點、對應，這樣以新的平面abcd代替原像平面abcd，便使像平面與物平面成正立的對應的關系，且從物點到光學中心的連線與平面abcd的交點便是像點。圖5 世界坐標系與相機坐標系由于相機可放在環境中的任意位置，所以可以在環境中選一個坐標系來描述相機的位置和其它任何點的位置，以此坐標系為世界坐標系，由軸構成，所以相機坐標系可與世界坐標系之間的關系可以用旋轉矩陣與平移向量來描述，令空間中的一點在齊次世界坐標系下的坐標為，在齊次相機坐標系下的坐標為，于是存在如下的關系 (1.3)其中為正交單位矩陣；為三維平移向量；; 為矩陣。3、在相機坐標系中像點坐標與物

14、點坐標的對應關系。由透鏡成像的坐標關系圖如下圖6圖6：透鏡成像的坐標關系圖中點為物點，為像點，光學中心，為焦距，則顯然物點到主光柱的距離與像點到主光柱的距離有如下關系當然此關系在相機坐標系中也成立，即有其中表示點的圖像坐標，表示空間中的點在相機下的坐標。用齊次線性關系組表示此成像關系為 (1.4)其中為成像的透視投影矩陣。4、求以世界坐標系1表示的點與其在像坐標系中的像素位置的對應關系將（1.3）式和（1.2）式代入（1.4）式，便可得到以世界坐標系表示的點與其在像坐標系中的像素位置的對應關系 （1.5）其中，如圖6中從物點做到主光柱的垂線，便表示垂點到在相機的光學中心的距離。5、求（1.5）

15、式中的M矩陣的算法5.1、建立世界系與圖像坐標系從（1.5）中知M為一的矩陣，現忽略其中元素間的關系，將M視為含12個未知數的矩陣得（1.5）式如下 （1.6）因為表示世界坐標系中的一個坐標，所以可以將世界坐標系的坐標原點置于靶標上A圓與C圓的上切線與A圓和E圓的左切線的交點上，且以靶標平面為平面，以縱柱往下為的正方向，橫柱往右方向為的正方向，如圖7。并得到坐標柱與圓的五個切點，。圖7 以靶標平面為世界坐標系的平面建立的世界坐標系以圖像的左上角為坐標原點建立圖像坐標系，以像素為單位，以向下為的正方向，向右為的正方向，如圖8圖8 圖像坐標系現將（1.6）式展開，得到以下三個方程 (1.7)將（1

16、.7）中的第一式除第三式，第二式除第三式分別消去后，可得到兩個關于的線性方程組 (1.8)在此式中可知，如果靶標上有個特征點，并且知道它們在像中的坐標，就可以直接代入便得式（1.9） （1.9）根據靶標平面建立的世界坐標系，所以；實際上從（1.9）式可得知道只要，那它為其它任意實數值并不影響與的關系，從而取定，從而得到關于矩陣其他元素的個線性方程，這些未知元素的個數為11個，記為11維向量，將上式簡寫成 （2.0）其中，為式（1.9）左邊矩陣；為未知的11維向量；為式（1.9）右邊的維向量；為已知向量。對于式（2.0），可以利用線性方程組的常規解法求出矩陣。當時，可用最小二乘法求出上述線性方程

17、的解為： （2.1）向量與構成了所求解的矩陣。由上可見，由空間6個以上已知點與它們的圖像點坐標就可以求出矩陣。問題二1、找世界坐標系與像坐標系中能夠確切對應的點1.1、證明平面上任意兩圓的切線的切點與平面上的相應的不規則圓的切線的切點有一一對應的關系為了方法說明，此處僅以假設的像的上方的公切線上的切點為例。將圖像進行數字化處理，找出各圓的像的邊界，如圖9。圖9 各圓的邊界實際上，如圖10，假設靶標中的兩個圓有一條都位于圓心上方的切線，在圓邊界上的任一點（除切點與切線的距離為零外）都與切線有垂直距離，且都在切線下方。而數碼相機的成像只會縮小的大小，而極限就是，當的所成像的長度小于一個像素單位的物

18、理的長度時，則顯示出來的圖像有多個切點，如圖10所示，但決不會出現在切線的上方。所以在靶標上的圓A和圓C與它們公切線的切點，在所成的圖像中還是圓A的像與圓C的像與它們公切線的切點。但在圖像中，同一個圓的圖像與切線的切點個數可能不唯一，如圖10圖10 連續的切點與數字化后切點的結果1.2、尋找圖像中任意兩個圓的公切線上的切點的方法我為了使敘述方便，以下僅以求圓A和圓C的上切線的切點為例。從圓A和圓C的像的邊界上各取一相坐標點和，如圖11圖11 從圓A和圓C的像的邊界上找點做直線方程然后連接與點，如圖11，建立直線方程為 （2.2）將此直線向上移動一個像素單位，即變成 （2.3）將代入（2.3）的

19、直線方程，解出，將向小方取整記為，再判定中是否還有圓A與C圖像的邊界點，如果還有，記相應的點為，用它來替換（2.3）式中，點，重復此過程一直到某一個，使中不再有圓A與C圖像的邊界點，那，即為所要求的切點。同理可得切線為圓的下方、左方、右方的迭代方程如下 （2.4）當求左右切線時代入（2.3）的直線方程，解出，將向小方取整記為，再判定，可得切線為圓的左方的迭代方程如下 （2.5）同理可得切線為圓的右方的迭代方程如下 （2.6）1.3、尋求減少求切點的迭代次數的方法通過matlab數字圖像處理將像變矩陣后，通過程序（附錄見附錄）求得每個圓的像的水平切線的切點的坐標，從其中選取（2.3）式需要的初始

20、點，可很好地減小迭代次數和迭代速度。1.4、用matlab程序求像坐標系上的圓的像的水平方向、豎直方向的切線上的切點如表一（程序見附錄）表一 部份圓的部分邊界點（由于頁面限制，只選取部分數據錄入）A上u317318319320321322v149149149149149149下u316317318319320321322323324325326v231231231231231231231231231231231左u282282282282282282282282282282282282282v182183184185186187188189190191192193194C上u637638639

21、640641642643644645646647648649v176176176176176176176176176176176176176下u635v252左u604604604604604604604604604604604604604v210211212213214215216217218219220221222D上u580581582583584585586587588589590591592v471471471471471471471471471471471471471下u570571572573574575576577578579580581582v5365365365365365

22、36536536536536536536536左u549549549549549549549549549549549549549v501502503504505506507508509510511512513E上u282283284285286287288289290291292293294v467467467467467467467467467467467467467下u280281v538538左u246246246246246246246246246246246246v500501502503504505506507508509510511在以上數據表中選取邊界點坐標，根據選取的方向代入

23、（2.3）（2.6）中相應的表達式中計算得世界坐標系中與像坐標系中幾個水平與豎直切線上的切點之間的對應關系如下表二（程序見附錄）表二 幾個水平與豎直切線的之間的切點對應關系坐標B圓上切點420157429C圓上切點1120176653A圓左切點012182282E圓左切點0112500246C圓左切點10012210604D圓左切點100112501549A圓下切點1224231316C圓下切點11224252635E圓上切點12100476296D圓上切點112100471598E圓下切點12124538281D圓下切點1121245365831.5、利用表二代入（1.9）式得矩陣如下表三表

24、三（1.9）式中矩陣的值M矩陣3.7995-0.10990284.72620.43193.65970143.23530.00080.00101將表三中數據代入（1.6）得 （2.7）1.6將世界坐標系中的靶標上的五個圓心的坐標代入（2.7）式，可得五個圓的圓心如表四對應關系表四 五個圓的圓心在像坐標系中的坐標ZA322188-50.6614 51.8519 417.1958B424196-23.6772 49.7354417.1958C64321334.2593 45.2381417.1958D58250218.1217 -31.2169417.1958E285500-60.4497 -30.

25、6878417.1958表四中第二、三列為像的圓心在（像坐標系）上的坐標，即像素的位置；第四、五、六列表示像的圓心在相機坐標系下的坐標，即坐標系原點取在該相機的光學中心，像的圓心在該相機像平面的像坐標，再將求得的坐標標于像中如下圖12所示圖12 靶標圓的圓心在像坐標系中的位置問題三因攝相機采集的圖像經數字圖像處理后，其圖像的取值不再具有連續性，在圖像的邊緣部分可能會產生模糊的現像（把像片放大后可以觀察到圖像邊緣有的點成一條直線），在對一、二問討論的過程中，利用了上邊緣上的點找切線點，故對一問中的模型的精度進行檢驗是有必要的。1、首先從整體上對所做模型的精確率進行討論。若計算出的投影矩陣的值是絕

26、對精確的，顯然物平面上的靶標的點在像平面內幾乎均能找到與之對應的點（靶標邊界點可能找不么），反之，像平面上的點均能在物平面上找到相對應的靶標的點，即越多的像平面上的點通過計算落在物平面的靶標上，其精確率越高。由問題一中式），靶標上的點在世界坐標系中的坐標與相應像點在圖像坐標系的坐標滿足關系式（3.1）其中為投影矩陣中的元素，均為已知量；像平面上的點在圖像坐標系的坐標也均為已知值，故將像平面中像點的所有的圖像坐標代入式（3.1）,從而得到物平面中與每個與像點相對應的點。若點在靶標上，則此坐標點滿足不等式（3.2）（3.3）（3.4）（3.5）（3.6）中的一個，反之，若五個方程均不滿足，則該點在

27、靶標外。通過此方法，可以利用找出的己知的點對問一、二中的模型的精度加以提高。首先逐步增加點的對數，經上述思想對模型進行對比，其結果如下表 表五 精確度討論所取點的對數n誤碼率偏移量(單位：像素)X方向Y方向6 0.0682 -0.20 -2.10 7 0.0639 -0.40 -1.70 8 0.0642 -0.40 -1.70 9 0.0654 0.20 -0.70 10 0.0669 1.40 -0.50 11 0.0642 1.10 -0.50 12 0.0671 1.30 -0.20 用用計算機搜索求解可知，像平面上的像點個數22618個，代入其中七對已知點的坐標(如表六) ，求得與像

28、點相對應的物點在靶標上的有20073個。表六XYvu42015742911201766530121822820112500246100122106041001125015491224231316故其精確率為即精確率為93.6%。2、 從整體上對所做模型的精確率的討論，只檢驗了模型的初步精度，因為模型可能存在系統誤差，使像點在同一方向上發生移位。所以設計以下方法對模型進行進一步討論在物像平行于軸和軸的方向分別找出幾個特征點（此處找的是平行于軸和軸的公切線與靶標的交點，即切點），如下圖所示圖13 世界坐標系中水平切線與豎直切線在物平面的水平上別取值10個特征點（圖13中第110個點），把這些點通過

29、原模型計算出相應的像坐標，用計算出的坐標與計算機對圖像直接讀取的坐標進行比較、判斷，即用的平均值來檢驗在水平方向上的移位量。同理，在物平面的垂直方向上別取值8個特征點（圖13中第1118個點），把這些點通過原模型計算出相應的像坐標，用計算出的坐標與計算機對圖像直接讀取的坐標進行比較、判斷，即用的平均值來檢驗在垂直方向上的偏移量。，得到結果為：在物平面的水平方向向左偏移0.106mm,垂直方向向上偏移0.449。問題四在此問題中的靶標為確定的，用兩部固定相機對此靶標攝得其像，又在對問題一、二的求解過程中可知投影矩陣可以求解出，故靶標上的每個點在每張相片上的相應點的像坐標均能得到。即左攝像機像面上

30、的點都能在右攝像機中找到對應的匹配點（二者是空間同一點在左、右攝像機像面上的點），故可以建立匹配點之間的關系。設左攝像機位于世界坐標系的原點處且無旋轉，圖像坐標系為。有效焦距為；右攝像機坐標系為，圖像坐標系為，有效焦距為，圖14 雙目立體視覺測量中空間點三維重建由（1）、（2）問中建立的攝像機透視變換模型有（4.1）（4.2）坐標系與坐標系之間的相互位置關系可通過空間轉換矩陣表示為（4.3）其中，分別為坐標系與坐標系之間的旋轉矩陣和原點之間的平移矢量。由式（4.1）（4.3）可知，對于坐標中的空間點，兩攝像機像面點之間的對應關系為（4.4）式中，即為一個比例因子。因點與點為匹配點（空間同一點在

31、左、右攝像機像面上的點），它們為已知量，也為已知量，由圖形()可知也為已知量。即當取定一對匹配點與后均為已知量。此時的方程式（4.4）與方程式（3.）類似，故可以用問題三的解法（此處不再祥細說明其解法），即找出多于對匹配點（建議用對匹配點）在Matlab中編程對其進行求解即可解得矩陣，即得到坐標系與坐標系之間的旋轉矩陣和原點之間的平移矢量。五、模型的優缺點分析優點：本文對靶標上的點在相機像平面的像坐標問題采用了針孔成像模型，在具體的求解過程中為了便于計算再采用攝相機標定線性模型，根據射影變換的不變性（幾何元素點、線、面等變換后仍保持原先的種類），找出了對應的切點，并給出了較好的實際可行的算法，

32、給出了精確度達到93.6%的解靶標上圓的圓心在該相機像平面的像坐標。在對模型的的精度和穩定性進行討論過程中，從兩個角度對模型進行討論，得出模型效果好結論。對用此靶標給出兩部固定相機相對位置的確定給出了實際可行的數學模型和方法。并且在模型的推廣和改進中主要考慮到攝像機畸變問題，利用畸變系數標定原理建立方程，解得畸變參數，從而實現對模型的推廣與改進。缺點：該模型主要是在假設用于攝像的透鏡是理想的透鏡成像，即因透鏡的不規則產生的影響可以忽略的條件下進行的，而實際上，實際的鏡頭并是理想的透視成像，而是帶有不同程度的畸變，使空間點所成點的像并不在線性模型所描述的位置，而本文沒深入討論畸變對像坐標的影響。

33、六、模型的推廣和改進推廣和改進一在前面的討論過程中都是在理想的透視成像的條件下進行的，實際上，實際的鏡頭并是理想的透視成像，而是帶有不同程度的畸變，使空間點所成點的像并不在線性模型所描述的位置，而是在受到鏡頭失真影響而仿移的實際像平面坐標。由射影變換性可知點列交比是射影變換中的基本不變量，且共線四點交比具有特性，其中表示一條直線上的四個點中兩個簡比的性質，如圖所示對于空間同一直線上的四個點，其交比可以寫成如下形式：（1）根據透視原理，空間點與對應圖像點的坐標關系為（2）空間四點、對應的圖像點分別為、，根據交比的不變性質有（3）一般情況下，一階向徑畸變已足夠描述非線性畸變，所以可以只考慮徑向畸變

34、。其畸變模型如下：（4）其中，則可以得到如下的表達式：（5）將式（5）代入已知條件（3）,便可解得畸變參數。故按問題一、二中提供的方法計算得到的像坐標代入式（4）便得到了更精確的解。推廣和改進二實際上，按照題中所給的靶標標定方法，在求取世界坐標系與像坐標系中對應切點是比較復雜的，如果將靶標設計成如圖15，三個全等等邊三角形的三個頂角分別在一條直線上，很容易與像中的三個三角形的頂定對應，便可直接將像中與世界坐標系中對應的9個點的坐標代入（19）式，算出投影矩陣，從而確定世界坐標系三個全等等邊三角形的中心在靶標中的像。圖15 等邊三角形標定法七、參考文獻1 張廣軍，視覺測量，北京：科學出版社，20

35、08年；2朱肇光、孫護、崔炳光，攝影測量學，北京：測繪出版社,2004；3張祖勛，數字攝影測量研究30年，武昌：武漢大學出版社，2007；4王之卓，攝影測量原理，武昌：武漢大學出版社，2008；5張祖勛、張劍清，數字攝影測量學，武昌：武漢大學出版社，2002；6陳利紅、毛劍飛，諸靜，CCD攝像機標定與修正的簡便方法，浙江大學學報（工學報），第卷第四期：407409頁，2003年7月；7 宋良君、譚光宇、宋龍，結構光目測系統標定方法，哈爾濱理工大學學報，第12卷第5期：13頁，2007年；8譚永基、萘志杰，數學模型，上海：復旦大學出版社，2005年；9 石博強、趙金，Matlab 數學計算與工程

36、分析范例教程，北京：中國鐵道出版社，2005年10朱仁峰，精通Matlab 7,北京：清華大學出版社，2006年。附錄(1)、第一、二問所設計的程序：getImageEdge.m %圖像處理，獲得圖像的邊界clearI=imread('shumo.bmp');% shumo.bmp為靶標圖像文件level = graythresh(I);BW = im2bw(I,level);%轉化為二值圖象：0黑1白rowNum,columnNum=size(BW);BW1=uint8(BW);BW2 = edge(BW1,'sobel');BW3=ones(rowNum,c

37、olumnNum)-BW2;%BW3為邊界圖像，且0代表黑、1代表白imshow(BW3);downsheft.m %通過（x1,y1）(x2,y2)建立直線方程，求得線的往下切線方向的是否還有邊界點function downsheft(bw,x1,y1,x2,y2) Y=;downsheft=;for y=1:1024; x=(y-y1)*(x2-x1)/(y2-y1)+x1; %直線方程 x=ceil(x); %往坐標為增大的方向取整 if x>2; %防止產生x為零的情況 if bw(x,y)=0 %判斷（x,y）是否為邊界點 downsheft=downsheft;x,y; %交

38、直線上的邊界點組成一個數組 end endenddownsheft %輸出結果fin_f_ll.m %找出每個圓的下水平切線位置function fin_f_ll(bw,y1,y2) for i=500:580 a=bw(500+(580-i),y1:y2); border=find(a=0); num1,num2=size(border); break; endendborder=border+y1-1 i=580-(i-500)fin_hl.m %找出每個圓的上水平切線位置function fin_hl(bw,y1,y2,y) for i=y:768; a=bw(i,y1:y2); bor

39、der=find(a=0); num1,num2=size(border); if num2>=1; break; endendborder=border+y1-1 i fin_rl.m %找出每個圓的左水平切線位置function fin_rl(bw,x1,x2,x) for i=x:1024; a=bw(x1:x2,i); border=find(a=0); num1,num2=size(border); if num1>=1; break; endendborder=border+x1-1 i leftsheft.m %通過（x1,y1）(x2,y2)建立直線方程，求水平切點

40、function leftsheft(bw,x1,y1,x2,y2) Y=;leftsheft=;for x=2:768; y=(x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1)+y1; y=floor(y); if y>2; if bw(x,y)=0 ; leftsheft=leftsheft;x,y; end endendleftsheftudsheft.m %通過（x1,y1）(x2,y2)建立直線方程，求得有圓的下切線上的切點function udsheft(bw,x1,y1,x2,y2) Y=;upsheft=;for y=1:1024; x=(y-y1)*(x2-x1)/(y2-y

41、1)+x1; x=floor(x); if x>2; if bw(x,y)=0 upsheft=upsheft;x,y; end endendupsheftgetM.m %根據模型求得M矩陣的函數function M=getM %I(Image)-代表像，O(Object)代表物 %可在這里隨意改變I、O的值，進而獲取不同的結果O=42 0;112 0;0 12;0 112;100 12;100 112;12 24;I=157 429;176 653;182 282;500 246;210 604;501 549;231 316;r,c=size(I);Z=0;K=;U=;for i=1

42、:r A=O(i,1) O(i,2) Z 1 0 0 0 0 -I(i,2)*O(i,1) -I(i,2)*O(i,2) -I(i,2)*Z 0 0 0 0 O(i,1) O(i,2) Z 1 -I(i,1)*O(i,1) -I(i,1)*O(i,2) -I(i,1)*Z*O(i,1); K=K;A; B=I(i,2);I(i,1); U=U;B;end%m=KU;m= pinv(K'*K)*K'*U;m=m;1;m=m'M=m(1:4);m(5:8);m(9:12);getImagePoint.m %根據物點坐標求像坐標的函數function firstPoint l

43、astPoint=getImagePoint(M,X,Y)Z=0;u=round(X*M(1,1)+ Y*M(1,2)+ Z*M(1,3) +M(1,4)/(X*M(3,1) +Y*M(3,2)+ Z*M(3,3)+ M(3,4);v=round(X*M(2,1)+Y*M(2,2)+ Z*M(2,3) +M(2,4)/(X*M(3,1)+ Y*M(3,2) +Z*M(3,3)+ M(3,4);firstPoint=u,v;x=(u-1027/2)/3.78;y=(-v+768/2)/3.78;lastPoint=x,y;getFivePoint.m %求得AE五個圓的圓心坐標clear %求五

44、個圓的圓心的坐標clcM=getM;Object=12,12;42,12;112,12;112,112;12,112;result1=;result2=;for i=1:5 pointFirst,pointLast=getImagePoint(M,Object(i,1),Object(i,2); result1=result1;pointFirst; result2=result2;pointLast;endz=1577/3.78;disp('A、B、C、D、E圓的圓心在像上的坐標分別為：(以像素個數為單位)')disp(result1);disp('A、B、C、D、E

45、圓的圓心在空間坐標系的坐標分別為：(以毫米為單位)')disp(result2,z*ones(5,1);getAnyPoint.m %求得物體中任意點在像中的坐標cleardisp('請輸入物體的坐標：')X=input('X軸坐標：');Y=input('Y軸坐標：'); M=getM;pointFirst,pointLast=getImagePoint(M,X,Y);disp('特征點在像上的坐標為：(以像素個數為單位)')disp(pointFirst);disp('特征點在空間坐標系的坐標為：(以毫米為單位)')disp(pointLast(1),pointLast(2),1577/3.78);第三問所設計的程序：getObjectPoint.m %根據像點