1、數值計算方法試題一一、 填空題（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程在區間內的根精確到三位小數，需對分（ ）次。2、迭代格式局部收斂的充分條件是取值在（）。3、已知是三次樣條函數，則=( )，=（ ），=（ ）。4、是以整數點為節點的Lagrange插值基函數，則( )，( )，當時( )。5、設和節點則 和。6、5個節點的牛頓-柯特斯求積公式的代數精度為 ，5個節點的求積公式最高代數精度為 。7、是區間上權函數的最高項系數為1的正交多項式族，其中，則 。8、給定方程組，為實數，當滿足，且時，SOR迭代法收斂。9、解初值問題的改進歐拉法是 階方法。10、設，當（ ）時，必有分解式，其中為

2、下三角陣，當其對角線元素滿足（ ）條件時，這種分解是唯一的。二、 選擇題（每題2分）1、解方程組的簡單迭代格式收斂的充要條件是（ ）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛頓-柯特斯求積公式：中，當系數是負值時，公式的穩定性不能保證，所以實際應用中，當（ ）時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。（1）， （2）， （3）， （4），3、有下列數表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數是（ ）。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次4、若用二階中點公式求解初值問題，試問為保證該公式絕對穩定，步長的取值范圍為（ ）。(1)

3、, (2), (3), (4)三、1、（8分）用最小二乘法求形如的經驗公式擬合以下數據：1925303819.032.349.073.32、（15分）用的復化梯形公式（或復化 Simpson公式）計算時，(1) 試用余項估計其誤差。（2）用的復化梯形公式（或復化 Simpson公式）計算出該積分的近似值。四、1、（15分）方程在附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）對應迭代格式；(2)對應迭代格式；（3）對應迭代格式。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計算附近的根，精確到小數點后第三位。選一種迭代格式建立Steffensen迭代法，并進行計算與前一種結果比較，說明是否有加速效果。2、

4、（8分）已知方程組，其中，（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2） 求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑，寫出SOR迭代法。五、1、（15分）取步長，求解初值問題用改進的歐拉法求的值；用經典的四階龍格庫塔法求的值。2、（8分）求一次數不高于4次的多項式使它滿足,六、（下列2題任選一題，4分）1、 數值積分公式形如 （1） 試確定參數使公式代數精度盡量高；（2）設，推導余項公式，并估計誤差。2、 用二步法 求解常微分方程的初值問題時，如何選擇參數使方法階數盡可能高，并求局部截斷誤差主項，此時該方法是幾階的。數值計算方法試題二一、判斷題：（共16分，每小題分）、

5、若是階非奇異陣，則必存在單位下三角陣和上三角陣，使唯一成立。（）、當時，Newtoncotes型求積公式會產生數值不穩定性。（）3、形如的高斯（Gauss）型求積公式具有最高代數精確度的次數為。 （）、矩陣的范數。（）5、設，則對任意實數，方程組都是病態的。（用） （ ）6、設，且有（單位陣），則有。（ ）7、區間上關于權函數的直交多項式是存在的，且唯一。（ ）8、對矩陣A作如下的Doolittle分解：，則的值分別為2，2。（ ）二、填空題：（共20分，每小題2分）1、設，則均差 _，_。2、設函數于區間上有足夠階連續導數，為的一個重零點，Newton迭代公式的收斂階至少是 _階。、區間上的

6、三次樣條插值函數在上具有直到_階的連續導數。4、向量,矩陣，則 _，_。5、為使兩點的數值求積公式：具有最高的代數精確度，則其求積基點應為_，_。6、設，則（譜半徑）_。（此處填小于、大于、等于）7、設，則_。三、簡答題：（9分）1、 方程在區間內有唯一根，若用迭代公式： ，則其產生的序列是否收斂于？說明理由。2、 使用高斯消去法解線性代數方程組，一般為什么要用選主元的技術？3、 設，試選擇較好的算法計算函數值。四、（10分）已知數值積分公式為： ，試確定積分公式中的參數，使其代數精確度盡量高，并指出其代數精確度的次數。五、（8分）已知求的迭代公式為： 證明：對一切，且序列是單調遞減的，從而迭

7、代過程收斂。六、（9分）數值求積公式是否為插值型求積公式？為什么？其代數精度是多少？七、（9分）設線性代數方程組中系數矩陣非奇異，為精確解，若向量是的一個近似解，殘向量，證明估計式：（假定所用矩陣范數與向量范數相容）。八、(10分)設函數在區間上具有四階連續導數，試求滿足下列插值條件的一個次數不超過3的插值多項式，并導出其余項。012012-1133九、(9分)設是區間上關于權函數的直交多項式序列，為的零點， 是以為基點的拉格朗日(Lagrange)插值基函數，為高斯型求積公式，證明：（1） 當時， （2） （3）十、（選做題8分）若，互異，求的值，其中。數值計算方法試題三一、（24分）填空題

8、(1) (2分)改變函數 ()的形式，使計算結果較精確 。(2) (2分)若用二分法求方程在區間1,2內的根，要求精確到第3位小數，則需要對分 次。(3) (2分)設，則 (4) (3分)設是3次樣條函數，則a= , b= , c= 。(5) (3分)若用復化梯形公式計算，要求誤差不超過，利用余項公式估計，至少用 個求積節點。(6) (6分)寫出求解方程組的Gauss-Seidel迭代公式 ，迭代矩陣為 ，此迭代法是否收斂 。(7) (4分)設,則 ， 。(8) (2分)若用Euler法求解初值問題，為保證算法的絕對穩定，則步長h的取值范圍為 二. (64分)(1) (6分)寫出求方程在區間0

9、,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(2) (12分)以100,121,144為插值節點，用插值法計算的近似值，并利用余項估計誤差。(3) (10分)求在區間0,1上的1次最佳平方逼近多項式。(4) (10分)用復化Simpson公式計算積分的近似值，要求誤差限為。(5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程組： (6) (8分)求方程組 的最小二乘解。(7) (8分)已知常微分方程的初值問題： 用改進的Euler方法計算的近似值，取步長。三(12分，在下列5個題中至多選做3個題)(1) (6分)求一次數不超過4次的多項式p(x)滿足：，(2) (6分)構造代數精度最高的如下形式的求

10、積公式，并求出其代數精度：(3) (6分)用冪法求矩陣的模最大的特征值及其相應的單位特征向量，迭代至特征值的相鄰兩次的近似值的距離小于0.05，取特征向量的初始近似值為。(4) (6分)推導求解常微分方程初值問題 的形式為 ,i=1,2,N的公式，使其精度盡量高，其中, , i=0,1,N,(5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的邊值問題 所得到的三對角線性方程組。數值計算方法試題一答案一、 填空題（每空1分，共17分）1、（ 10 ） 2、（） 3、=( 3 )，=（ 3 ），=（ 1 ）4、( 1 )、 ( )、( ) 5、 6 、 6、 9 7、 0 8、9、 2 10、（ ）、（

11、 ）二、 選擇題（每題2分）1、（(2)） 2、（1） 3、（1） 4、（3）三、1、（8分）解： 解方程組 其中 解得： 所以 ， 2、（15分）解：四、1、（15分）解：（1），故收斂；（2），故收斂；（3），故發散。選擇（1）：， ，Steffensen迭代：計算結果：， 有加速效果。2、（8分）解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：， SOR迭代法：五、1、（15分）解：改進的歐拉法：所以；經典的四階龍格庫塔法：，所以。2、（8分）解：設為滿足條件的Hermite插值多項式，則 代入條件得：六、（下列2題任選一題，4分）1、解：將分布代入公式得：構造Hermite插值

12、多項式滿足其中則有：， 2、解：所以 主項： 該方法是二階的。數值計算方法試題二答案一、 判斷題：（共10分，每小題分） 1、（） 2、（） 3、（ ） 4、（） 5、（ ） 6、（ ）7、（） 8、（ ）二、 填空題：（共10分，每小題2分） 1、0 2、_二_ 3、_二_4、_16 、90_5、6、 = 7、0三、 簡答題：（15分）1、 解：迭代函數為 2、 答：Gauss消去法能進行到底的條件是各步消元的主元素全不為0，如果在消元過程中發現某個主元素為0，即使，則消元過程將無法進行；其次，即使主元素不為0，但若主元素的絕對值很小，用它作除數，將使該步消元的乘數絕對值很大，勢必造成舍入誤

13、差的嚴重擴散，以致于方程組解的精確程度受到嚴重影響，采用選主元的技術，可避免主元素=0或很小的情況發生，從而不會使計算中斷或因誤差擴大太大而使計算不穩定。3、 解：四、 解：顯然精確成立； 時，；時，；時，；時，；所以，其代數精確度為3。 五、 證明： 故對一切。又 所以，即序列是單調遞減有下界，從而迭代過程收斂。六、 解：是。因為在基點1、2處的插值多項式為 。其代數精度為1。七、 證明：由題意知： 又 所以。八、解：設 所以由得：所以令，作輔助函數則在上也具有4階連續導數且至少有4個零點：反復利用羅爾定理可得：，所以 九、 證明：形如的高斯（Gauss）型求積公式具有最高代數精度2n+1次

14、，它對取所有次數不超過2n+1次的多項式均精確成立1）2）因為是n次多項式，且有 所以()3）取，代入求積公式：因為是2n次多項式， 所以 故結論成立。十、 解：數值計算方法試題三答案一.(24分)(1) (2分) (2) (2分) 10(3) (2分) (4) (3分) 3 -3 1 (5) (3分) 477(6) (6分) 收斂(7) (4分) 9 91 (8) (2分) h<0.2二. (64分)(1) (6分)，n=0,1,2, 對任意的初值,迭代公式都收斂。(2) (12分) 用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0

15、.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555(3) (10分)設， ,=0.873127+1.69031x(4) (10分) 或利用余項： ，(5) (10分) 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.0000 0.0000 1.9375 9.6875(6) (8分) ， 若用Householder變換，則：最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T.(7) (8分)，三. (12分)(1) 差分表：11122151515575720204272152230781其他方法：設令，求出a和b(2) 取f(x)=1,x，