1、聯(lián)系生活實(shí)際，重視考查數(shù)學(xué)應(yīng)用能力福建省2005年中考數(shù)學(xué)試題（課改卷）選析福建省南安市教師進(jìn)修學(xué)校 潘振南（注：本文發(fā)表在CN211487/G中學(xué)數(shù)學(xué)教育（初中版）2005年第9期）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授對數(shù)學(xué)的各種應(yīng)用有著精辟闡述：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之迷，日用之繁等各個方面，無處不有數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)”。數(shù)學(xué)是社會生活和生產(chǎn)實(shí)踐活動的產(chǎn)物，它來源于現(xiàn)實(shí)生活，又應(yīng)用于指導(dǎo)實(shí)踐活動。隨著時代的發(fā)展，能用數(shù)學(xué)的眼光去看待生活，去認(rèn)識世界，并綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法處理周圍的問題，將成為每個公民應(yīng)具備的基本素養(yǎng)。縱觀2005年我省課改實(shí)驗區(qū)初中畢業(yè)、升學(xué)考試數(shù)

2、學(xué)試卷，都能依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，聯(lián)系生活實(shí)際，重視考查學(xué)生從簡單的實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力與應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，題材取自學(xué)生熟識的生活實(shí)際，應(yīng)用性較強(qiáng)，具有時代氣息與教育價值。下面從中遴選部分試題進(jìn)行評析，與同行交流探討。一、利用數(shù)式模型解題例1（泉州、寧德聯(lián)考）：據(jù)泉州統(tǒng)計局網(wǎng)上公布的數(shù)據(jù)顯示，2005年第一季度泉州市完成工業(yè)總產(chǎn)值約為61 400 000 000元，用科學(xué)記數(shù)法表示約為 元。例2（福州）：據(jù)法制日報2005年6月8日報道，1996年至2004年八年間全國耕地面積共減少114000000畝，用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）。A1.14×10畝； B1.14×10畝

3、； C1.14×10畝； D0.114×10畝.【評注】在實(shí)際生活、生產(chǎn)實(shí)踐中，存在著大量的“大數(shù)”與“小數(shù)”，為了便于書寫，引進(jìn)了“科學(xué)記數(shù)法”。例1、例2的問題背景來自于媒體的真實(shí)報道，其素材不是命題者憑空想像的，該題材具有愛國、愛鄉(xiāng)的教育功能，且學(xué)生只要利用已掌握的“科學(xué)記數(shù)法”的數(shù)式模型就能順利解題（例1答案：6.14×10，例2選：C）。例3（福州）：吐魯番盆地低于海平面155m，記作 155m，福州鼓山絕頂峰高于海平面919m，記作 m。【評注】本題以地理知識為背景，體現(xiàn)了學(xué)科之間的整合，考查了學(xué)生利用數(shù)學(xué)“相反意義的量”的數(shù)式模型來解決地理問題（答案

4、：+919）。例4（福州）：瑞士中學(xué)教師巴爾末成功地從光譜數(shù)據(jù)，, 中得到巴爾末公式，從而打開了光譜奧妙的大門。請你按這種規(guī)律寫出第七個數(shù)據(jù)是 。【評注】本題提供了物理光學(xué)中的一組數(shù)據(jù)作為背景材料，讓學(xué)生從中尋找規(guī)律，探索構(gòu)建數(shù)式模型，利用探索到的規(guī)律或模型即可解決問題（答案：）。二、構(gòu)建方程（組）模型解題例5（廈門）：一根蠟燭在凸透鏡下成一實(shí)像，物距u，像距v和凸透鏡的焦距f滿足關(guān)系式：. 若f6厘米，v8厘米，則物距u 厘米。【評注】本題利用物理光學(xué)中的一個公式作為背景材料，學(xué)生只要把已知條件f、v的值代入該公式，就可構(gòu)建一個未知數(shù)為u的方程模型進(jìn)行求解（答案：24） 三、構(gòu)建不等式（組）

5、模型解題例10（福州）：請你替小健同學(xué)解答以下問題：學(xué)校準(zhǔn)備用2000元購買名著和辭典作為科藝節(jié)獎品，其中名著每套65元，辭典每本40元。現(xiàn)已購買名著20套，問最多還能買辭典多少本？【評注】在生活實(shí)際與生產(chǎn)實(shí)踐中存在著大量的不等關(guān)系，因此構(gòu)建不等式（組）模型解決實(shí)際問題已成為一種基本的數(shù)學(xué)解題能力。本題可設(shè)買辭典x本,依題意得40x + 65×202000, 解得x 17.5, 根據(jù)實(shí)際意義x只能取最大的整數(shù)，所以答案是17。四、構(gòu)建函數(shù)模型解題例6（泉州、寧德聯(lián)考）：一輛客車從泉州出發(fā)開往寧德，設(shè)客車出發(fā)t小時后與寧德的距離為s千米，下列圖象能大致反映s與t之間的函數(shù)關(guān)系的是（ ）

6、A. B. C. D.【評注】05年寧德市的課改卷與泉州市的課改卷聯(lián)合命題，命題人員為了體現(xiàn)兩地聯(lián)手合作精神，故以“一輛客車從泉州出發(fā)開往寧德”為背景材料，具有紀(jì)念意義。本題考察了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的函數(shù)思想，學(xué)生可通過構(gòu)建“函數(shù)S=S v t”模型來解題，其中S表示泉州與寧德的距離，V表示客車速度，這里的S與V都是常量，所以s與t之間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)，根據(jù)該函數(shù)S隨著t的增大而減少，排除D。再根據(jù)S、t表示的實(shí)際意義所確定的取值范圍是S 0，t 0, 排除B、C。故選A。例8（福州）百舸競渡，激情飛揚(yáng)。端午節(jié)期間某地舉行龍舟比賽。甲、乙兩支龍舟隊在比賽時的路程y（米）與時間x（分鐘）之間的函數(shù)

7、圖象如下圖所示。根據(jù)圖象回答下列題： （1）1.8分鐘時，哪支龍舟隊處于領(lǐng)先位置？（2）在這次龍舟賽中，哪支龍舟隊先到達(dá)終點(diǎn)？提前多少時間到達(dá)？（3）求乙隊加速后，路程y（米）與時間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式。【評注】端午節(jié)舉行龍舟賽，是學(xué)生耳聞目睹的民間傳統(tǒng)項目，題材親切有趣，生動活潑，具有教育意義。本題很好地考查了學(xué)生從函數(shù)圖像中獲取信息的能力，第（1）、（2）題學(xué)生直接從給出的圖像就可觀察到答案【（1）答案：甲；（2）答案：乙，0.5分鐘】，第（3）題學(xué)生要根據(jù)圖中提供的數(shù)據(jù)信息構(gòu)建函數(shù)模型【答案：y =300x300 (2 x 4.5 ) 】例9（泉州、寧德聯(lián)考23）如圖，一架梯子AB

8、斜靠在一面墻上，底端B與墻角C的距離BC為1米，梯子與地面的夾角為70°，求梯子的長度（精確到0.1米）。【評注】梯子斜靠在墻上是日常生活中常見的“景觀”，此時此景一個直角三角形的圖形自然而然地映入眼簾，因此構(gòu)建一個三角函數(shù)模型也就水到渠成了，由cos70° =，再利用計算器即可求得梯子AB2.9米。五、綜合利用各種模型解題例10（廈門) 某軟件公司開發(fā)出一種圖書管理軟件，前期投入的開發(fā)、廣告宣傳費(fèi)用共50000元，且每售出一套軟件，軟件公司還需支付安裝調(diào)試費(fèi)用200元.（1）試寫出總費(fèi)用y(元)與銷售套數(shù)x(套)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果每套定價700元，軟件公司至少要

9、售出多少套軟件才能確保不虧本？【評注】本題材來源于市場經(jīng)濟(jì)活動中的投資與盈利問題，要解決這兩個問題，必須綜合利用函數(shù)模型與不等式模型，問題（1）構(gòu)建函數(shù)模型y =50000 + 200 x, 問題（2）構(gòu)建不等式模型700x 50000 + 200 x ,求得x 100，故至少要售出100套軟件才能確保不虧本。例11（泉州、寧德聯(lián)考）：如圖，在一個橫截面為RtABC的物體中，ACB=90°，CAB=30°，BC=1米。工人師傅要把此物體搬到墻邊，先將AB邊放在地面（直線）上，再按順時針方向繞點(diǎn)B翻轉(zhuǎn)到ABC的位置（在上），最后沿的方向平移到的位置，其平移的距離為線段AC的長

10、度（此時恰好靠在墻邊）。（1） 請直接寫出AB、AC的長；（2） 畫出在搬動此物的整個過程中A點(diǎn)所經(jīng)過的路徑，并求出該路徑的長度（精確到0.1米）。【評注】在實(shí)際生活中，搬動物體時常通過翻轉(zhuǎn)、平移把物體放靠在墻邊。本題設(shè)計巧妙，富有創(chuàng)意，讓人耳目一新。學(xué)生解答問題（1）時，要利用三角函數(shù)模型，解答問題（2）時要利用課標(biāo)新增加的“旋轉(zhuǎn)”與“平移”的知識內(nèi)容。例12（泉州、寧德聯(lián)考）某校初一、初二兩年段學(xué)生參加社會實(shí)踐活動，原計劃租用48座客車若干輛，但還有24人無座位坐。（1）設(shè)原計劃租用48座客車x輛，試用含x的代數(shù)式表示這兩個年段學(xué)生的總?cè)藬?shù)；（2）現(xiàn)決定租用60座客車，則可比原計劃租48座

11、客車少2輛，且所租60座客車中有一輛沒有坐滿，但這輛車已坐的座位超過36位。請你求出該校這兩個年段學(xué)生的總?cè)藬?shù)。【評注】在實(shí)際生活中，租車包車時其座位常不恰好坐滿，空位、缺位現(xiàn)象常有發(fā)生，本題抓住“空位、缺位”這種現(xiàn)象大做文章。學(xué)生解答本題時，認(rèn)真審題，謹(jǐn)慎理解題意非常關(guān)鍵，題中“還有24人無座位坐”要特別注意，不要變成“還有24座位無人坐”；另一句“已坐的座位超過36位”不要變成“超過36人無座位坐”。問題（1）構(gòu)建數(shù)式模型即可解決（答案：48x+24）。而問題（2）要構(gòu)建不等式（組）模型才便于解決，例如可由48x+2460（x 2）和48x+2460（x 3）36組合成不等式組，當(dāng)然也可以

12、列出其它的不等式組合，甚至可以用一個不等式、一個方程來解決等多種方法，可見學(xué)生的解決問題能力在此表現(xiàn)得淋漓盡致。例15（泉州、寧德聯(lián)考.）如圖是某居民小區(qū)的一塊直角三角形空地ABC，其斜邊AB=100米， 直角邊AC=80米。現(xiàn)要利用這塊空地建一個矩形停車場DCFE，使得D點(diǎn)在BC邊上，E、F分別是AB、AC邊的中點(diǎn)。（1） 求另一條直角BC的長度；（2） 求停車場DCFE的面積；（3） 為了提高空地利用率，現(xiàn)要在剩余的BDE中，建一個半圓形的花壇，使它的圓心在BE邊上，且使花壇的面積達(dá)到最大，請你在原圖中畫出花壇的草圖，求出它的半徑（不要求說明面積最大的理由），并求此時直角三角形空地ABC的

13、總利用率是百分之幾（精確到1%）？【評注】隨著時代發(fā)展，當(dāng)今居民的生活水平不斷提高，停車場、花壇已隨處可見。而空地規(guī)劃要合理使用，提高土地利用率，已成為管理者、設(shè)計者所考慮的問題。本題設(shè)計具有現(xiàn)實(shí)意義，形式新穎，層次分明，難度不大。第（1）、（2）題學(xué)生只要利用勾股定理、矩形面積公式的數(shù)式模型即可解決。第（3）題要使半圓面積最大，學(xué)生通過動手實(shí)踐，動腦探索，尋找規(guī)律，即可發(fā)現(xiàn)當(dāng)半圓與BD、DE兩邊都相切時，半圓面積才達(dá)到最大。本題通過綜合利用數(shù)式模型、幾何圖形模型來解決問題，考察了學(xué)生的雙基與綜合應(yīng)用的能力【答案：（1）60，（2）1200，（3）、69%】。綜上所述，可見學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能僅僅停留在掌握知識的層面上，而必須學(xué)會應(yīng)用。教師在教學(xué)中，要增強(qiáng)應(yīng)用意識，滲透數(shù)學(xué)建模思想。新課標(biāo)十分強(qiáng)調(diào)，應(yīng)該結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容采用“問題情境建立模型解釋、應(yīng)用與拓展