1、第十七講 平面幾何中的定值問題定值問題的證明或計(jì)算，一般是通過圖形的定量，如線段和定角來討論的如果問題中已明確給出定值，那么一般通過線段和角的和、差、倍、分的推導(dǎo)或計(jì)算來解決；如果問題中未給出定值，可以利用特殊的方法推測(cè)出定值，然后再加以一般化的證明下面舉幾個(gè)例題，說明上述思考方法例1 如圖380已知ABC中，AB=AC，P是其底邊BC上任一點(diǎn)，設(shè)AP交ABC的外接圓于Q點(diǎn)，求證：AP·AQ為定值分析 欲證AP·AQ為定值，我們先用特殊化方法找出這個(gè)定值是什么，然后再給以一般化的證明為此，我們?nèi)與B(或C)重合，則Q點(diǎn)也必與B(或C)重合，則AP·AQ應(yīng)等于AB

2、2(定值)，以下證明這個(gè)推測(cè)證連結(jié)BQ因?yàn)锳B=AC，所以ABC=ACB又因?yàn)锳CB=AQB，所以ABC=AQB又因?yàn)锽AQ=PAB，所以所以 AP·AQ=AB2(定值)注意 如果連結(jié)QC，將怎樣證明？請(qǐng)讀者思考例2 如圖381已知ABC中，AB=AC，如果直線EF，MN都垂直于BC，試證明：不論MN，EF怎樣平行移動(dòng)，只要MN，EF之間的距離不變，五邊形AMNFE的周長是一個(gè)定值分析 從圖381中可以發(fā)現(xiàn)，如果引ADBC于D，由已知條件可知AB(或AC)，AD，NF，BD(或CD)都為定值，因此，若五邊形AMNFE的周長轉(zhuǎn)化為以上各線段的表達(dá)式，則可判定其為定值證 作ADBC于D，

3、則所以所以又因?yàn)樗运运杂捎贏BC為確定的等腰(AB=AC)三角形，所以AD，BD，CD，AB為定值，又因?yàn)镋F，MN之間距離為定長，所以NF為定值所以五邊形AMNFE的周長為定值例3 設(shè)OA，OB是已知圓O的任意兩條半徑，過B引BEOA于E，過E作EPAB于P求證：OP2+EP2為定值(圖382)分析 由已知A，B為O上任意兩點(diǎn)，如果固定A，讓B在圓上移動(dòng)，當(dāng)B點(diǎn)移動(dòng)到半圓中點(diǎn)時(shí)，BE變成了半徑r，E與O重合，證 延長OP交O于C，D(圖382)因?yàn)樵谥苯侨切蜛EB中，AEB=90°，EPAB于P，所以EP2=AP·PB=CP·PD(OC-OP)·

4、;(OD+OP)r2-OP2，所以EP2+OP2=r2(定值)例4 若P為圓O內(nèi)一定點(diǎn)，過P任作一弦AC，分別過A，C引圓的切線，再過P分別作兩切線的垂線，垂足為Q，R(如圖384)，分析 根據(jù)已知，AC為過圓O內(nèi)定點(diǎn)P的任意一弦，為了找定值，使AC特殊化，令A(yù)C為直徑，則P是直徑AC上的一個(gè)定點(diǎn)，這時(shí)由于PC，PQ同時(shí)垂直于切線，所以Q，C兩點(diǎn)重合同理A，R也重合(圖385)于是， 下面證明這個(gè)推測(cè)結(jié)論證 在圖384中，作直徑AB，連BC，并過OP作直徑EF由于ACB=90°，于是ABCAPR又因?yàn)锳BCPCQ，所以因此 例5 設(shè)d1，d2，d3是單位圓O的三條直徑，且兩兩交角為6

5、0°，在圓周上任一點(diǎn)P向d1，d2，d3作垂線，垂足分別為A，B，C證明：ABC為定三角形(圖386)分析 因?yàn)镻為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到d1的一個(gè)端點(diǎn)D時(shí)(P與D重合，見圖3-86)，因?yàn)镈Fd3于F，DEd2于E，而FOD=EOD=60°，所以EDF=60證 連OP，作BMOA于M因?yàn)镻AO=PBO=90°，所以，A，P，B，O四點(diǎn)共圓，且OP=1因此，在ABM與OPB中，MAB=BPO，BMA=OBP=90°，所以AMBPBO，所以 例6 相交的兩圓的交點(diǎn)為A，B，經(jīng)過B點(diǎn)所作的任意直線與兩圓的交點(diǎn)分別是C，D，那么ACAD是定值(圖387

6、)分析 因CD是過B點(diǎn)的任意直線，為確定ACAD，使CD特殊化，令其垂直于AB，這時(shí)因?yàn)锳BC=CAD=90°，那么AC，AD必定是兩圓直徑若設(shè)d1，d2為兩圓直徑，則ACAD=d1d2(定值)下面對(duì)以上推測(cè)做一般性證明證 在圖388中，設(shè)CD是過B點(diǎn)交兩圓于C，D的任一直線，過B作CD交兩圓于C，D，且使ABCD于B，連AD，DD，AC，CC，易知ADD=ACC=90°又ADD=ABD =ACC，所以ADDACC，所以ACAD=ACAD=d1d2(定值)練習(xí)十七 1如圖389直線l1l2l3，A，B是l2上兩定點(diǎn)，P，Q分別為l1和l3上的動(dòng)點(diǎn)求證：四邊形PAQB的面積為定值2如圖390ABC是正三角形，由其中任一點(diǎn)P，向三邊引垂線，設(shè)垂足分別為M，N，Q，求證：PM+PN+PQ為定值3已知正方形ABCD，以A為圓心，AB為半徑在正方形內(nèi)作圓別交BC，CD于E，F(xiàn)求