1、2021年普通高校招生統(tǒng)一考試江蘇卷(數(shù)學(xué))1. 的最小正周期為，其中，那么 。【解析】本小題考查三角函數(shù)的周期公式。答案102.一個(gè)骰子連續(xù)投2次，點(diǎn)數(shù)和為4的概率為 。【解析】本小題考查古典概型。根本領(lǐng)件共個(gè)，點(diǎn)數(shù)和為4的有、共3個(gè)，故。答案3.表示為，那么= 。【解析】本小題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算， ，因此=1。答案14. 那么的元素個(gè)數(shù)為 。【解析】本小題考查集合的運(yùn)算和解一元二次不等式。由得因?yàn)椋裕虼耍氐膫€(gè)數(shù)為0。答案05.的夾角為，那么 。【解析】本小題考查向量的線形運(yùn)算。因?yàn)?，所以=49。因此7。答案76.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成

2、的區(qū)域，E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨意投一點(diǎn)，那么落入E中的概率為 。【解析】本小題考查古典概型。如圖：區(qū)域D表示邊長為4的正方形ABCD的內(nèi)部含邊界，區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此。 答案 7.某地區(qū)為了解7080歲老人的日平均睡眠時(shí)間單位：h，隨機(jī)選擇了50位老人進(jìn)行調(diào)查。下表是這50位老人日睡眠時(shí)間的頻率分布表。序號i分組睡眠時(shí)間組中值頻數(shù)人數(shù)頻率14,5)6 25,6)1036,7)2047,8)1058,9)4在上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析中，一局部計(jì)算算法流程圖，那么輸出的S的值是 。【解析】本小題考查統(tǒng)計(jì)與算法知識。答案8.直線是曲線的一條切線，那么實(shí)數(shù) 。【解析】本小

3、題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法。，令得，故切點(diǎn)為，代入直線方程，得，所以。答案9.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，點(diǎn)在線段OA上異于端點(diǎn)，設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，直線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，一同學(xué)已正確算出的方程：，請你求OF的方程： 。【解析】本小題考查直線方程的求法。畫草圖，由對稱性可猜測。事實(shí)上，由截距式可得直線，直線，兩式相減得，顯然直線AB與CP的交點(diǎn)F滿足此方程，又原點(diǎn)O也滿足此方程，故為所求的直線OF的方程。答案。10.將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣： 按照以上排列的規(guī)律，第行從左向右的第3個(gè)數(shù)為 。【解析】本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式。前行共用了 個(gè)數(shù)，因此第行

4、從左向右的第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中的第個(gè)，即為。答案11.的最小值為 。【解析】本小題考查二元根本不等式的運(yùn)用。由得，代入得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=。答案3。12.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，那么離心率= 。【解析】本小題考查橢圓的根本量和直線與圓相切的位置關(guān)系。如圖，切線互相垂直，又，所以是等腰直角三角形，故，解得。 答案13.假設(shè)，那么的最大值 。【解析】本小題考查三角形面積公式及函數(shù)思想。因?yàn)锳B=2定長，可以以AB所在的直線為軸，其中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，那么，設(shè)，由可得，化簡得，即C在以3，0為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動。又。答案14.

5、對于總有成立，那么= 。【解析】本小題考查函數(shù)單調(diào)性及恒成立問題的綜合運(yùn)用,表達(dá)了分類討論的數(shù)學(xué)思想。要使恒成立，只要在上恒成立。當(dāng)時(shí)，所以，不符合題意，舍去。當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，舍去。當(dāng)時(shí) 假設(shè)時(shí)在和 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。所以 當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，不符合題意，舍去。綜上可知a=4.答案4。15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊做兩個(gè)銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，A，B的橫坐標(biāo)分別為。（1） 求的值； 2 求的值。【解析】本小題考查三角函數(shù)的定義、兩角和的正切、二倍角的正切公式。由條件得， 為銳角，故。同理可得，因此。1。2，從而。16在四面體ABCD中，CB=CD，且E

6、，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，求證I直線； II。證明：IE，F(xiàn)分別為AB，BD的中點(diǎn)。II又，所以17某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B，及CD的中點(diǎn)P處，km, ,為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上含邊界，且A，B與等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO，BO，OP，設(shè)排污管道的總長為ykm。I按以下要求寫出函數(shù)關(guān)系式： 設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式。II請你選用I中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排水管道總長度最短。【解析】本小題考查函數(shù)最值的應(yīng)用。I由條件可知PQ垂直平分AB，那么故，又，所以。，那么，所

7、以，所以所求的函數(shù)關(guān)系式為。（I） 選擇函數(shù)模型。令得，又，所以。當(dāng)時(shí)，是的減函數(shù)；時(shí)，是的增函數(shù)。所以當(dāng)時(shí)。當(dāng)P位于線段AB的中垂線上且距離AB邊處。18.設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C。（1） 求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2） 求圓的方程；（3） 問圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)其坐標(biāo)與無關(guān)？請證明你的結(jié)論。【解析】本小題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、圓的方程的求法。1（2） 設(shè)所求圓的方程為。令得又時(shí)，從而。所以圓的方程為。3整理為，過曲線與的交點(diǎn)，即過定點(diǎn)與。19.I設(shè)是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，且公差，假設(shè)將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列按原來的順序是等比數(shù)列： 當(dāng)時(shí)

8、，求的數(shù)值；求的所有可能值；II求證：對于一個(gè)給定的正整數(shù)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)按原來的順序都不能組成等比數(shù)列。【解析】本小題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運(yùn)用。I當(dāng)時(shí)， 中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否那么等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，那么。假設(shè)刪去，那么有，即，化簡得；假設(shè)刪去，那么有，即，化簡得。綜上可知。 當(dāng)時(shí)， 中同樣不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)。假設(shè)刪去，那么有，即，化簡得；假設(shè)刪去，那么有，即，化簡得，舍去；假設(shè)刪去，那么有，即，化簡得。當(dāng)時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列。事實(shí)上，在數(shù)列中，由于不能刪去首項(xiàng)和末項(xiàng)，假設(shè)刪去，那么必有，這與矛盾；同樣假設(shè)刪去，也有，這與矛盾；

9、假設(shè)刪去中的任意一個(gè)，那么必有，這與矛盾。綜上可知。（3） 略20.假設(shè)為常數(shù)，且(I) 求對所有的實(shí)數(shù)成立的充要條件用表示；(II) 設(shè)為兩實(shí)數(shù)，且，假設(shè)，求證：在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為閉區(qū)間的長度定義為。【解析】本小題考查充要條件、指數(shù)函數(shù)與絕對值、不等式的綜合運(yùn)用。I恒成立假設(shè)，那么，顯然成立；假設(shè)，記當(dāng)時(shí)，所以，故只需；當(dāng)時(shí)，所以，故只需。II如果，那么的圖象關(guān)于直線對稱，因?yàn)椋詤^(qū)間關(guān)于直線對稱。因?yàn)闇p區(qū)間為，增區(qū)間為，所以單調(diào)增區(qū)間的長度和為。如果，結(jié)論的直觀性很強(qiáng)。2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試江蘇卷數(shù)學(xué)參考公式：樣本數(shù)據(jù)的方差一、填空題：本大題共14小題，每題5

10、分，共70分。請把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.1.假設(shè)復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，那么復(fù)數(shù)的實(shí)部為.【答案】【解析】略2.向量和向量的夾角為，那么向量和向量的數(shù)量積 .【答案】3【解析】。3.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 .11Oxy【答案】【解析】，由得單調(diào)減區(qū)間為。4.函數(shù)為常數(shù)，在閉區(qū)間上的圖象如下圖，那么 .【答案】3【解析】，所以， 5.現(xiàn)有5根竹竿，它們的長度單位：m分別為，假設(shè)從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，那么它們的長度恰好相差的概率為 .【答案】【解析】略6.某校甲、乙兩個(gè)班級各有5名編號為1，2，3，4，5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如下表：學(xué)生1號2號3號4號5號甲班6778

11、7乙班67679開始輸出 結(jié)束YN那么以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個(gè)為 .【答案】 【解析】略7.右圖是一個(gè)算法的流程圖，最后輸出的 .【答案】22【解析】略8.在平面上，假設(shè)兩個(gè)正三角形的邊長的比為1：2，那么它們的面積比為1：4，類似地，在空間，假設(shè)兩個(gè)正四面體的棱長的比為1：2，那么它們的體積比為 .【答案】1：8【解析】略9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在曲線上，且在第二象限內(nèi)，曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .【答案】 【解析】略10.，函數(shù)，假設(shè)實(shí)數(shù)滿足，那么的大小關(guān)系為 .【答案】【解析】略11.集合，假設(shè)那么實(shí)數(shù)的取值范圍是，其中 .【答案】4【解析】由得，；由知

12、，所以4。12.設(shè)和為不重合的兩個(gè)平面，給出以下命題：1假設(shè)內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，那么平行于；2假設(shè)外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，那么和平行；3設(shè)和相交于直線，假設(shè)內(nèi)有一條直線垂直于，那么和垂直；4直線與垂直的充分必要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直.上面命題中，真命題的序號 寫出所有真命題的序號.【答案】12 【解析】略13如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)T，線段與橢圓的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，那么該橢圓的離心率為 .【答案】xyA1B2A2OTM【解析】用表示交點(diǎn)T，得出M坐標(biāo)，代入橢圓方程即可轉(zhuǎn)化解得離心率.14設(shè)是公比為的等比數(shù)列，令假設(shè)

13、數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，那么 .【答案】【解析】將各數(shù)按照絕對值從小到大排列，各數(shù)減1，觀察即可得解.二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟.15本小題總分值14分 設(shè)向量1假設(shè)與垂直，求的值；2求的最大值;3假設(shè)，求證：.【解析】由與垂直，即，；，最大值為32，所以的最大值為。由得，即，所以. 16本小題總分值14分如圖，在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，求證：12【解析】證明：1因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又，所以；2因?yàn)橹比庵裕郑裕郑浴?7本小題總分值14分 設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足1求數(shù)

14、列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；2試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng). 1設(shè)公差為，那么，由性質(zhì)得，因?yàn)椋窘馕觥恳裕矗钟傻茫獾茫缘耐?xiàng)公式為，前項(xiàng)和。2，令，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m xyO11.因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以可取的值為，當(dāng)，時(shí)，是數(shù)列中的項(xiàng)；，時(shí)，數(shù)列中的最小項(xiàng)是，不符合。所以滿足條件的正整數(shù)。18本小題總分值16分在平面直角坐標(biāo)系中，圓和圓1假設(shè)直線過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；2設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂的直線，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】(1)

15、或，(2)P在以C1C2的中垂線上，且與C1、C2等腰直角三角形，利用幾何關(guān)系計(jì)算可得點(diǎn)P坐標(biāo)為或。 19.(本小題總分值16分)按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件本錢為元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為元，那么他的滿意度為；如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為元，那么他的滿意度為.如果一個(gè)人對兩種交易(賣出或買進(jìn))的滿意度分別為和，那么他對這兩種交易的綜合滿意度為. 現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件本錢分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件本錢分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為元和元，甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為，乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為求和關(guān)于、的表達(dá)式；當(dāng)時(shí)，求證：=；設(shè)

16、，當(dāng)、分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？記(2)中最大的綜合滿意度為，試問能否適中選取、的值，使得和同時(shí)成立，但等號不同時(shí)成立？試說明理由。求和關(guān)于、的表達(dá)式；當(dāng)時(shí)，求證：=；設(shè)，當(dāng)、分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？記(2)中最大的綜合滿意度為，試問能否適中選取、的值，使得和同時(shí)成立，但等號不同時(shí)成立？試說明理由。【解析】(1) 當(dāng)時(shí)，顯然 (2)當(dāng)時(shí)，由，故當(dāng)即時(shí)，甲乙兩人同時(shí)取到最大的綜合滿意度為 20(本小題總分值16分)設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù).假設(shè)，求的取值范圍；求的最小值；設(shè)函數(shù)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集.

17、【解析】1假設(shè)，那么2當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 綜上(3) 時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，得1時(shí)，2時(shí)， 3時(shí)， 2021江蘇高考數(shù)學(xué)試卷參考公式：錐體的體積公式：，其中是錐體的底面面積，是高.一、填空題：本大題共14小題，每題5分，共計(jì)70答題卡相應(yīng)的位置上.1. 設(shè)集合，那么實(shí)數(shù)的值為 .2. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足其中為虛數(shù)單位，那么的模為 .3. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，假設(shè)從中隨機(jī)地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是 .4. 某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了100根棉花纖維的長度棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)，所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間5,40中，其頻率分布直方圖如下圖，那么其抽樣的100根

18、中，有 根在棉花纖維的長度小于20mm.5. 設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a= .6. 平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線上一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo) 是3，那么M到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是 .第4題圖第16題圖7. 右圖是一個(gè)算法的流程圖，那么輸出S的值是 . 8. 函數(shù)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,k為正 整數(shù)，a1=16，那么a1+a3+a5= . 9. 在平面直角坐標(biāo)系中，圓上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線 的距離為1，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是 .10. 定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像與的圖像的交點(diǎn)為P， 過點(diǎn)P作PP1軸于點(diǎn)P1，直線PP1與的圖像交于點(diǎn)P2,那么線段P1P2的 第7題圖長為 .

19、11. 函數(shù),那么滿足不等式的的范圍是 .12. 設(shè)實(shí)數(shù)滿足，那么的最大值是 .13. 在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，那么= .14. 將邊長為正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,那么S的最小值是 .二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟.15.本小題總分值14分在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)、B(2,3)、C(2,1).1求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；2設(shè)實(shí)數(shù)t滿足()·=0，求t的值.16. 本小題總分值14分如圖，在四棱錐P-ABCD中

20、，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900.1求證：PCBC；2求點(diǎn)A到平面PBC的距離.17. 本小題總分值14分某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：，如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度，仰角 ABE=，ADE=.第17題圖1該小組已經(jīng)測得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請算出H；2該小組分析假設(shè)干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離單位：，使與，試問為多少時(shí)，-最大？18. 本小題總分值16分第18題圖 在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，橢圓的左右頂點(diǎn)為A,B，右頂點(diǎn)為F，設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓分別交于點(diǎn)，其中,.1設(shè)動點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌

21、跡；2設(shè)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；3設(shè),求證：直線必過軸上的一定點(diǎn).其坐標(biāo)與無關(guān)19.本小題總分值16分設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.1求數(shù)列的通項(xiàng)公式用表示2設(shè)為實(shí)數(shù)，對滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立，求證： 的最大值為.20.本小題總分值16分設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有>0，使得，那么稱函數(shù)具有性質(zhì).1設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)求證：函數(shù)具有性質(zhì)；求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2函數(shù)具有性質(zhì)，給定，且，假設(shè)|<|,求的取值范圍.2021江蘇高考數(shù)學(xué)試卷參考公式：（1） 樣本數(shù)據(jù)x1 ,x2 ，xn的方差s2=xi -2,其中.（2） (

22、2)直棱柱的側(cè)面積S=ch ,其中c為底面積，h 為高.3棱柱的體積V= Sh ，其中S為底面積，h 為高.一.填空題：本大題共14小題，每題5分，共計(jì)70分，請把答案填寫在答題卡的相應(yīng)位置上。1、集合 那么2、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_3、設(shè)復(fù)數(shù)i滿足i是虛數(shù)單位，那么的實(shí)部是_4、根據(jù)如下圖的偽代碼，當(dāng)輸入分別為2，3時(shí)，最后輸出的m的值是_Read a，bIf a>b Then maElse mbEnd IfPrint m 5、從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，那么其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍的概率是_6、某老師從星期一到星期五收到信件數(shù)分別是10，6，8，5，6，那么該組數(shù)據(jù)的方差7、 那么的值為_8、在平面直角坐標(biāo)系中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，那么線段PQ長的最小值是_9、函數(shù)是常數(shù)，的局部圖象如下圖，那么10、是夾角為的兩個(gè)單位向量， 假設(shè)，那么k的值為11、實(shí)數(shù)，函數(shù)，假設(shè)，那么a的值為_12、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是函數(shù)的圖象上的動點(diǎn)，該圖象在P處的切線交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作的垂線交y軸于點(diǎn)N，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，那么t的最大值是_13、設(shè)，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，那么q的最小值