1、04183概率論與數理統計(經管類) 一、單項選擇題1 .若 E(XY尸E(X)E(Y)，則必有( B )。A . X與丫不相互獨立C . X與丫相互獨立B. D(X+Y尸D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y2. 一批廣品共有18個正品和2個次品, 則第二次抽出的是次品的概率為A 。任意抽取兩次，每次抽一個，抽出后不再放回,A. 0.1B, 0.2 C, 0.3 D, 0.43 .設隨機變量 X的分布函數為F(x),下列結論錯誤的是 DoA. Fg=1B. F(-«)=0C. 0 < F(x) <14 .當X服從參數為n, p的二項分布時，P(X=k)= (

2、 B )。D. F(x)連續八 k k n八 k k n_k_n _kA. CmP qB. Cn p qC. pqD.k n_kp q5.設X服從正態分布 N(2,4), Y服從參數為1/2的指數分布，且X與Y相互獨立，則D(2X Y 3) =CA. 8B. 16C. 20D. 2413 / 126.設X1X2Xn獨立同分布，且EX=N&DX =仃2都存在，則當n充分大時，用中一 n '心極限定理得P4£ Xi占a "a為常數)的近似值為Bon。7.設二維隨機變量則 F(0,1)=CA. 0.28.9./a - nN ) B-1 :ll如仃C.F (x, y

3、),其聯合分布律為(X,Y)的聯合分布函數為B. 0.4C. 0.6D. 0.8設X1,X2，Xk是來自正態總體N(0,1)的樣本，則統計量 X； +X； +X；服從分布A.正態分布B. t分布C.F分布2 .D. £分布設兩個相互獨立的隨機變量X與Y分別服從N(0,1)和 N(1,1),則 BoA. P(X +Y <0) =1/2B.P(X Y 三 1) =12C. P(X -Y < 0) =1 2D. P(XYE1)=1210.設總體XN (，二),2仃為未知,通過樣本 X1,X2Xn檢3敘H 0 : N =卜0時，需要用統計量(C= E°B.X - 口0C

4、.X -口0D.11. A,B為二事件，則A B 二(A. AUBB. ABC. ABD. AB12.設A、B表示三個事件，則 AB表示( B )。A. A、B中有一個發生；B. A、B都不發生；C. A、B中恰好有兩個發生；D. A、B中不多于一個發生X X13.設隨機變量X的概率密度為f(X)=ce 5, x*0;則常數c等于(C )0, X ： 0,A. -0.5B, 0.5C. 0.2 D. -0.214設隨機變量X的概率密度為f (X)=ax3,0 ,0< x <1甘/山，則常數a= ( A)。其他A. 4B, 1/2C. 1/4 D. 315.設 P(A) =1/2 ,

5、 P(B)=1/3, P(B A)=1/6,則 P(AB)=GA. 1/1816.隨機變量 FF(n1A. N(0,2)17.對任意隨機變量A. 0B. 7/18,n2)，貝U (B. x2 X ,若E(X)存在,B. E(X)C. 1/12D )。D. F(n1, n2) 則E(E(X)等于( _3C. (E(X)E. 1/4D. F(n2,1)oD. X18.設X N(0,2 ), Y N(0,1),且X與Y相互獨立，則隨機變量 Z = X 丫或A. N(0,1)B. N(0,2)19.拋一枚不均勻硬幣，正面朝上的概率為 上的概率是AA. 8/81B. 8/27C. N(0,3)D. N(

6、0,4)2/3,將此硬幣連拋4次，則恰好3次正面朝C. 32/81D. 3/420、設A,B,C為三事件，則(A=C)B=B。A. ABCB. (AC)=BC. (A = B)= CD. (A= B) = C21.已知 P(A)=0.7, P(B)=0.6,P(A B) = 0.3 ,則 P(AB) =A。A. 0.1B. 0.2C.0.3D. 0.422.設隨機變量X服從正態分布N(科,2)g則隨b的增大，概率P1X -葉<a(A )。A.保持不變C.單調增大D.不能確定23.對正態總體的數學期望科進行假設檢驗，如果在0.05的顯著水平下拒絕那么在0.01的顯著水平下，( C)。A .

7、必接受HoB不接受也不拒絕 HoH0： j-t = j-t 0,C.必拒絕H0D.可能接受，也可能拒絕24.設F (x)和f (x)分別為某隨機變量的分布函數和概率密度，則必有(Cf(x)單調不減 B.-beJF(x)dx=1 C. F(-«) = 0-beD. F(x) = j f (x)dx.jod.joO25.設A.X的方差為2,則根據切比雪夫不等式有估計P(X -EX >2) <Do0.1B. 0.2C, 0.4D. 0.526.設二維隨機變量則 P(X Y _1)=DOA. 0.2B, 0.4C. 0.6D. 0.827.已知隨機變量X的概率密度為fX(x),令

8、Y=-2X ,則Y的概率密度£丫(丫)為(C )。A- fx2y)B. fX)C.28.設隨機變量 X服從參數為 九的指數分布，且A. 0.2B. 0.3 C, 0.4D.1yfX (-)22E(X +1)=3, 0.51yD .二 fX (-)22則，二D。29.設二維隨機變量(X,Y)的分布函數為F(x, y),則F(x,+ oo )=(A. Fx(x)B. Fy(y)C. 0AD. 1)o30.設A與B互為對立事件，且P(A)>0, P(B)>0,則下列各式中正確的是 ( D )。a. p(ba)=1b. p(aUb)=i C. P(BA)=1D.P(AB) =0.

9、531.設隨機變量X的分布函數是F (x),下列結論中不一定成立的是A. FO =1 B. F(-°°) =0 C.32.設隨機變量XU (2, 4),則P(3<X<4)=(A. P (2.25<X<3.25) B . P (1.5<X<2.5) C.0三F(x)三1A )。P (3.5<X<4.5)(D.D.D )。F (x)為連續函數P (4.5<X<5.5)33.設隨機變量X的概率密度為f (x)=)2x,0,0 二 x ：二 1甘，則 P(-2<X <3)=a。其匕一A. 1B. 2C. 3D.

10、 4X+YB 。34.設XN (-1,2), YN(1,3),且X與Y相互獨立，則A . N(0, 14)35.設隨機變量B. N(0, 5)C. N (0, 22)D . N (0, 40)XB (36, 1 ),則 D (X) = ( D1A.一6二、填空題65B.一625C.6)oD. 51 . 100件產品，有10件次品，不放回地從中接連取兩次，每次取一個產品，則第二次取到次品的概率是 01。2 .袋中有5個黑球，2個白球，一次隨機地摸出 3個球，其中恰好有 2個白球的概率為 0.3 。,33 .已知隨機變量 X服從參數為 九的泊松分布，則 P(X=3)=e九 3!4 .設隨機變量 X

11、N(0,1) , YN(0,1),且X與Y相互獨立，則 X2+Y2 2(2)。5 .設總體X服從正態分布 N(N,。2), Xi,X2，Xn來自總體X的樣本，X為樣本_ 2均值，則D(X) = on6 .設隨機變量X的分布律為X-101P0.250.50.25則 P(2X -1 <2) =1o7 .設隨機變量X服從參數為九的泊松分布，且E(X -1)(X-2) = 1 ,則九=。8 .設Fi (x )與F2 (x )分別為隨機變量Xi與X2的分布函數，為使F (x )=aE (x )bF2 (x )是某一隨機變量的分布函數，則 a,b滿足a-b=1。29 .設 X N(1,4),則 (*

12、(1)。42X10 .設X1,X2, ,Xn來自正態總體 N(N,。2 )(仃>0)的樣本，則一服從N(0,1)。二 n11 .已知 P(A)=P(B) = 13, P(AB) =1/6,則 P(AB) =7/18012 .拋硬幣5次，記其中正面向上的次數為X,則P(X < 4)= 5/32。x _ 0,y _ 0其他，則 C= 113設 D(X)=1,D(Y)=4,相關系數 Pxy=0.12，則 COV(X,Y)= 0.24Cex4y)14. (X,Y)f(x, y尸015若隨機變量X的方差存在，由切比雪夫不等式可得P(X - E(X) >1) <D(X) o.一,2

13、16總體XN(N2),XhX2Xn為其樣本，未知參數 科的矩估計為X2x,0<x<117 .設隨機變量X的概率密度為f(x) =，升，以Y表不對X的三次獨立“， 其它重復觀察中事件X W1/2出現的次數，則 EY =3/4o18 .樣本來自正態總體 N(p , J),當b 2未知時，要檢驗 H):科=小，采用的統計量是X - 1 -° S n19 .在一次考試中，某班學生數學和外語的及格率都是0.7,且這兩門課是否及格相互獨立?，F從該班任選一名學生，則該生數學和外語只有一門及格的概率為0.42。%'2, 0<x< 220 .設連續型隨機變量 X的密度為

14、f(x)=，則P( 1 MX W1) =1/4。0,其它一21 .設 X 服從 N(2,4)，則 P(X <2)=022 .設X1,X2,|l|,Xn是來自于總體服從參數為九的泊松分布的樣本，則 九的一無偏估計為X。19.設隨機變量Xi(i =1,2)的分布律為-1Xi141214且 X1,X2獨立，則 PX1 =0,X2 =1=18。23.設兩個相互獨立的隨機變量X與Y分別服從 N(0,1)和N(1,1),則X+2Y服從N(2.5)24.設X為連續型隨機變量，C為常數，則P(X =c)=。25.設隨機變量X的分布律為X012P0.10.40.5記X的分布函數為F(x),則F(1)=0.

15、5。26 .把3個不同的球隨機放入 3個不同的盒中，則出現2個空盒的概率為1/27。27 .設A, B為隨機事件，則(AUB)A=A。28 .設 A, B 為隨機事件，且 P (A) = 0.8P (B)=0.4 P(B A) = 0.25，貝 U P( A B)="。229 .若已知 E(X)=2 , D(X)=4,則 E(2X )= 16o30 .設隨機變量 X N (1, 9), D(2X + 3) = 36。31 .設兩個相互獨立的事件A和B都不發生的概率為1/9 , A發生但B不發生的概率與B發生但A不發生的概率相等，則 P(A)= 4/9 。32Xi,X2Xn為總體X的樣

16、本，X服從0,日上的均勻分布，日>0是未知參數，記1 nx = £ xi ,則e的無偏估計是2X。n i 4233若E(X)=內D(X)=(t>0,由切比雪夫不等式可估計P(N»<X <卜+3仃)之8/9o34.設二維隨機變量(X,Y)的分布函數為F(x, y),則F(x,+ oo)= F(x)。35隨機變量 FF(n1 , n2)，則(通知小三、計算題1 .設X與Y為相互獨立的隨機變量，X在-2,2上服從均勻分布，Y服從參數為入=3的指數分布，求：(X , Y)的概率密度。2 .設連續型隨機變量 X的分布函數為a -e求：(1)求常數a ； (2)

17、求隨機變量 X的密度函數。3 .設隨機變量 X U (2,5),現對X進行三次獨立觀測，求(1) P(X >3) ; (2)至少有兩 次觀測值大于3的概率。 八用x,田,0 <x <1 ,八 一0,其它4 .設X1,，Xn是來自總體的一樣本，求f(x,H) = J ,，其中8為未知參 數，求6的矩估計。= =0.13(mm),規范差5 .已知某電子器材廠生產一種云母帶的厚度服從正態分布，其均值仃=0.015(mm)。某日開工后檢查10處厚度，算出其平均值X =0.146(mm),若厚度的方差不變，試問該日云母帶的厚度的均值與0.13(mm)有無顯著差異(口=0.05, u0.

18、025 = 1.96) ?6 . 10件產品中有4件是次品，從中隨機抽取 2件，求(1)兩件都是次品的概率，(2)至少有 一件是次品的概率。7 .有朋友自遠方來，他乘火車、輪船、汽車、飛機來的概率分別為：0.3, 0.2 , 0.1 , 0.4 ,如11_ 、“,果他乘火車、輪船、汽車來的話，遲到的概率分別為0.25,-,而乘飛機則不會遲到,312求：(1)他遲到的概率。(2)已知遲到了，他乘火車來的概率是多少。8 .設隨機變量X的分布律為 (0呵2 n際2、i,求Y的分布律，其中,©3 0.2 0.4 0.1 ,2Y=(2X-n) 。(2)Z =cos(2X-冗)。9.正常人的脈搏

19、平均次數為 72次/分。今對10名某種疾病患者測量脈搏，平均數為67.5次/分，樣本規范差為 6.3386。設患者的脈搏次數 X服從正態分布，試檢驗患者的脈搏與正常人的脈搏有無差異。注a =0.05, tog (9) =2.26210 .設工廠A和工廠B的產品的次品率分別為 1%和2%,現從A和B的產品中分別占 60 %和40 %的一批產品中隨機抽取一件，發現是次品，試求該次品屬于A生產的概率。11 .已知隨機變量X與Y的相關系數為p ,求X1=aX+b與X2=CY+d的相關系數，其中a, b, c, d 均為常數，且 aw 0 , cw 0._(u 1)x 0 < x < 1 _

20、 ,12.設Xi,，Xn是來自總體x的一樣本，求f(x,e) = <')'-，其中日為00,其它未知參數，求日極大似然估計。13.從五副不同的手套中任取4只，求其中至少有兩只手套配成一副的概率。14設二維隨機變量的分布律為Y-100113411146試求：(1). (X, Y )關于X和關于Y的邊緣分布律，(2). X與Y是否相互獨立，為什么 ？2(1 -x), 0<x<1315 .設X的密度函數為f (x)=，求丫=X 3的期望和萬差。0,其他，16 .設(X, Y)的概率密度為l3x - y, f (x, y)=0,0MxM1,0< y < 1

21、其他(1)求邊緣概率密度fx(x),fY(y)； (2)求E(X)和D(X)17 .設隨機變量 X的密度函數為f(x) =2 .ax ,0 :： x : 30,其他求：（1）常數a的值；（2） Y=X1的密度函數fY（y）。18 .設連續型隨機變量 X的分布函數為0 ,x < 0,xF(x) = J§, 0 Mx <8,求(1).X 的概率密度 f(x)。(2). P(X -E(X) <D(X)819 .某種導線,測得 s=0.007（要求其電阻的規范差不得超過0.005（ ）。今在生產的一批導線中取樣品9根,Q）,設總體為正態分布。問在顯著性水平a =0.05下能

22、否認為這批導線的規范差顯著地偏大。,22(4.05 (8) =15.507 , 4.95(8) =2.733)。20 .某廠生產的鐵絲的折斷力服從正態分布，且已知平均折斷力為 570公斤，規范差為8公斤。現在改變了原材料，據檢驗，規范差不會改變，今從新生產的鐵絲中隨機抽取抽取10根，測得折斷力的平均值為574.8公斤，問新產品的平均折斷力是否有顯著改變?( =0.05,0.025= 1.96)三、計算題（答案）1 .由已知條件得X,Y的概率密度分別為fX（X）0，其他fY(y)2e'y ,y - 0, 0H他因為x與丫相互獨立，所f (x,y)=e2y, -1fx(y)fY(y)二八

23、0 ,x * 1, y - 0, 其他2.解：1）由 F （依）=1 得 a =12)因為 F(x)= <1-e” ,x-0,x 二 0,故 f (x) = F '(X)= F (x) = «e,x>00,x<03.解:1)因 f(x)=<01一,2 < x < 53，其他5故 P(X 3)= 13dx-2,332）P（至少有兩次觀測值大于2 2 2 13 2 33)=C|(-)2- C33(-)33 3320274 解：由 EX = Jxf(x)dx= Jx/x*dx =-OO.三15 解：Ho : N =0.13;Hi : N #0.1

24、3,取 UX - J-N(0,1) 二 n故拒絕域為：UI占Z0025 =1.96,而U.JJ0.146 -0.130.015 . 10>1.96 ,因此拒絕H 0,認為有顯著的差異。26解：(1)用A表不取到兩件皆次品，則 A中含有C3個基本事件。故P(A尸C；1Ci2015(2)用B表示取到的兩件中至少有一件是次品，B (i=0,1,2)表示兩件中有i件次品,貝U B=Bi+B2,顯然Bo,Bi,B2互不相容，故P(B)=P(B1)+P(B2)=笛C20C120157.解：設H1 =乘火車; H 2 =乘汽車; H3= 乘輪船; H4=乘飛機;A=他遲到,P(A) = P(AH1 )

25、P(H1 )+P(AH2 (也)+P(A H3 尸(出)+P(AH4 呼乩)則1)3 1111123一 + 4 + 0 =10 4 5 3 10 12 5202) P(H1 A)=P H1A P AH1 P H10.3 0.253 20= 0.58.解：因為X的分布律為0 2/2 冗 3呵2。3 0.2 0.4 0.1 vX0n/2ji3n/2_2Y =(2X n)打202 24n 2Z =cos(2X -n)-11-11P0.30.20.40.1,故得(2).(5)故(1)Y =(2X -叼2的分布律為8Y02/24nP0.20.70.1(2)Z =cos(2X -n)的分布律為 .(8)Z

26、-11P0.70.39. XN ( u, b 2)Ho: u =uo由于總體方差未知，可用 T統計量。由 X =67.5 S= 6.3386(X - ''o)T=(67.2-72) . 10 /6.3386=2.394%.025 ( 9) =2.262T =2.3947>2.262 ,T落入拒絕域故否定原假設。17 / 12認為患者的脈搏與正常人有顯著差異。10.解：設H A = A生產的次品, HB = B生產的次品, C=抽取的一件為次品,P(Ha c 產P(C Ha)P(Ha)0.01 0.6P C Ha P Ha P cHb P Hb0.01 0.6 0.02 0

27、.411. COV(X 1, X2)=COV(aX+b,cY+d尸 acCOV(X,Y)D(X 1)=D(aX+b尸a 2D(X)D(X 2)=D(cY+d)=c 2D(Y)(2分)(1(1：X1X2COV(Xi,X2)acCOV(X,Y)ac.D(Xi) . D(X2) ac、D(X) . D(Y) ac分)分)；P ac>0-a ac < 012解：因為L(曾=£f (x,8)=已(日+n故 lnL(6)=£ (ln(8+1) + 8ln xi), i 1'ln L從而由-c6.n 1cn=e("+ ln xi) = 0得 3= -1 -；y » 1。ln X41111C5 C2c2c2c2i 113.解：令“沒有兩只手套配成一副”這一事件為A,則P(A)=則“至少有兩