1、精儀學院陶會榮1011202121臨界力求解的直接迭代算法一、 算法原理針對變截面壓桿臨界載荷的問題，基于一階臨界載荷作用下的結構穩定平衡條件，可以進行桿件的離散化，以桿件各離散點的未知撓度和壓桿臨界力為未知量， 以每個離散點的撓 度與臨界力所滿足的差分方程，構建求解臨界力非線性方程組。應用材料力學理論中，針對常截面，可以通過歐拉公式Fcr=n 2EI/(卩I) 2和經驗公式Fcr=a-b入來確定臨界力。但是受壓桿截面為變截面時，沒有相應臨界力表達式。而迭代算法可以應用于該領域的計算。算例：如下圖兩端鉸支受壓桿，壓桿長 I，截面為圓臺形，材料彈性模量 E,確定臨界 力。圖示1問題分析：當壓桿處

2、于穩定狀態的時候，應滿足：在該臨界力的作用下，桿件處于彎曲 狀態下的平衡狀態。 假設計算工程實際中的臨界力， 也就是桿件的一階臨界力， 桿件正好處于 圖示2所示狀態。設未知的撓曲線方程為 y=f(x)。度線的縱坐標為yi ,i=0,1,2,n,(xi , yi) , i = 0,1,2,n為離散點。對于簡支結構y0=yn=0。 針對壓桿撓曲軸線微分方程：Ely " =M(x)。應用差分原理，y" i=yi+1-2yi + yi-1/ x2,代入變截面條件I(xi)=Ii 轉化為：I. = . ,!.-；(1)方程(1)為含yi, i=1,2，,n-1和Fcr未知量為n個的非

3、線性方程組。由于未知量數量大于方程的數量，因此不能直接求解臨界力。在臨界力作用下，撓度線存在一種形態，撓度線 y值是不定的。但是假設給出其中的一點Xm處的撓度ym,那么變形曲線就是唯一確定的。此時共有yi,i= 1,2,n-1,i豐m和臨界力Fcr的n-1個未知量，可以由方程 唯一確定。設其中一點為常數J- - ',;./:'-.二：.-1ym=c,獲得i=0,1,2,n-1,n的迭代方程:曠=y*+13 =, bi (y； + Ij = L2m-Lni- 1一n - 1 宀二 *針對yn+1讓公式2求和 S"1 切弭1 -胡+fx二-得到:獲得收斂迭代式:嚴叮問1

4、七+絢v<k+i> -嚴mJ m如隘訊煜- 2 =藥二1鼻2 I. in +1.>11 一 1i'k'約束條件:解此題:由于砲EI耐：鬲1+1w - dx- P可知求出厶|即可求出 總1何=善d+加Eir . EIlx)EI°=64df_r= (l+p4那么分段數n=42，迭代精r0為檢的值，exp設m=n/2, ：-:初始值費.L ,.。度為e6。二、程序及結果分析其MATLA程序如下：fun ctio n k,r=ddfch( n, xO,rO,eps)%為迭代次數，r為迭代結果，n為分段數，n為偶數，x0為迭代初始值, %為迭代精度n=42;x

5、0=0.2;r0=1;eps=0.000001;r=0;for i=1:1:n+2y(i)=xO;endy(1)=0;y(n+1)=0;y( n+2)/2)=r0;k=1;tol=1;while tol>epsfor i=2:1:na(i)=(y(i+1)+y(i-1)*(1+(i-1)/n)M);endb=0;c=0;for i=2:1:nb=b+(y(i+1)-2*y(i)+y(i-1)*(1+(i-1)/n)A4);c=c+y(i);endd=b/c;for i=2:1:nz(i)=a(i)/(d+2*(1+(i-1)/n)人4);endz(1)=0；z( n+2)/2)=1;z(n +1)=0;z(n+2)=-d;for i=1:1:n+2e=n orm(y(i)_z(i);endtol=max(e) ;k=k+1;if (n>100000)disp( '迭代次數過多，方程可能不收斂);return ;endfor i=1:1:n+2y(i)=z