1、易拉罐形狀和尺寸的最優設計模型摘要利用數學分析的方法，建立在同樣容積和材料的易拉罐哪種情況下具有最小的面積的數學模型。運用圓柱與正圓臺最小面積的知識，結合圖形得出一組解 , 通過進一步討論、分析驗證此解的合理性，最后利用MATLAB 軟件求得其最優解的幾何圖形，并通過PHOTOSHOP畫出了產品的實物圖，從而為生產易拉罐的公司設計出一個最佳生產方案. 通過以下的事例分析與計算我們對鋁制與紙漿制的易拉罐進行合理的比較：（1）生產同樣的易拉罐用鋁制造的成本大約是1元，用紙漿制造的成本大約是0.3元，生產3億個易拉罐鋁制的大約用3億元，而紙漿制造的大約花費為9000萬元，省去了2.1億 的費用。（2

2、）生產易拉罐廠家的規模，鋁制的廠家最少生產量為2000萬，而紙漿的廠家最少生產量為2萬。（3）原材料，鋁制造的易拉罐是用鋁，而鋁在中國是很欠缺的資源需要進口，紙漿制造的易拉罐主要的原材料是稻,麥草紙漿（特別提示：在廣大的農村稻、麥草被當作垃圾來焚燒，這樣即污染環境又浪費資源）。（4）易拉罐的新穎時尚與個性化，經調查發現： 大多數青年人對同種飲料往往會選擇新穎時尚與有個性化的易拉罐飲料，而且青年人又是易拉罐飲料的主要消費人群。（5）技術難度，鋁制易拉罐的制造融合了冶金、化工、機械、電子、食品等諸多行業的先進技術，而在國內很多公司很難到達這種程度，即使達到了也承受不起那種昂貴的費用，紙漿制造的不需

3、要太高的科技含量。（6）安全性，鋁制易拉罐中主要材料是金屬，而鋁是國家現在明令禁止其使用在食品和飲料包裝上，它對腦神經有毒害作用，會干擾人的意識和記憶功能，導致老年性癡呆癥。而紙漿被稱作是綠色環保材料。最后通過分析比較用那種材料和那種樣式的易拉罐，提出我們的意見，做出最好的方案。關鍵詞：最優設計，易拉罐，材料 ，形狀，尺寸，模型，1.背景資料分析從2002年底到2004年，鋁行業主要原料氧化鋁價格在持續走強后，2005年七月價格持續上揚，導致氧化鋁下游產品電解鋁行業利潤急劇降低，再加上我國電解鋁行業發展過快、相應的資源配置跟不上，電解鋁行業虧損面呈擴大趨勢。同時，我們國家鋁行業仍然存在技術含量

4、底、重復建設嚴重、行業不良競爭大量存在、集約化和一體化經營程度低、行業利潤和生產規模遠底于世界平均水平等問題，雖然產業鏈低端在國際上呈現一定的勢力，但是我國鋁行業整體國際競爭力不強，產業結構不合理，在國際競爭中處于弱勢地位。鋁質易拉罐在飲料包裝容器中占有相當大的比重。易拉罐的制造融合了冶金、化工、機械、電子、食品等諸多行業的先進技術，成為鋁深加工的一個縮影。隨著飲料包裝市場競爭的不斷加劇，對眾多制罐企業而言，如何在易拉罐生產中最大限度地減少板料厚度，減輕單罐質量，提高材料利用率，降低生產成本，是企業追求的重要目標。為此，以輕量化(light-weighting)為特征的技術改造和技術創新正在悄

5、然興起。易拉罐輕量化涉及到許多關鍵性技術。目前我們主要討論易拉罐的形狀和尺寸的最優設計問題。我們只要少加留意就會發現銷量很大的飲料公司的飲料罐（即易拉罐）的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。為什么不同的大公司會用幾乎相同的飲料罐哪？我們通過分析發現這些公司都有一個共同的特點：銷售量特大。我們知道對于最優設計的少數易拉罐來說節省的錢是有限的，但是如果是生產幾億、甚至幾十億個易拉罐的話，那么節約的錢就很可觀了。由此看來，這些公司相似的設計絕對不是偶然的，這應該是某中意義下的最優設計。 所謂的最佳生產方案即生產經營單位利用有限的空間、物質資源及生產能力，在一定時間內，將配置實現最優化的利用、調度，獲得合理范

6、圍內的最大收益。真對生產易拉罐的公司來說,將其材料的費用、易拉罐用的材料、易拉罐的形狀和尺寸、易拉罐的新穎時尚程度、易拉罐的個性化、生產易拉罐的技術難度、易拉罐的環保、易拉罐對人體是否有有害影響等作為廠家綜合考慮的因素，利用其間各種聯系，可得出幾種合理資源配置方案，再在這其中找出最佳方案，即能使生產經營單位得到收益最高的方案，即所謂的這家易拉罐公司得到收益最高的方案。下面我們就對易拉罐的形狀和尺寸進行討論易拉罐的最優設計問題。2問題的提出與假設問題一：取一個飲料容量為355毫升的易拉罐，例如:355毫升的可口可樂飲料罐，測量出我們驗證模型所需要的數據（易拉罐各部分的直徑、高度、厚度等），并把數

7、據表加以說明。問題二：設易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優設計？其結果是否可以說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸（半徑和高度之比）。問題三：設易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱體。問題四：利用所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出關于易拉罐形狀和尺寸的最優設計。問題五：用做本題以及以前學習和實踐數學建模的親身體驗，寫一篇短文，闡述什么是數學建模、它的關鍵步驟以及難點假設1假設在2小題中易拉罐是一個正圓柱體，在三小題中易拉罐是一個正圓臺2假設易拉罐各個部分的厚度是均勻的。3假設易拉罐各個部分的材料是一樣的。4假設易拉罐的體積是一個固定值。 3問題的求解過程首

8、先我們通過使用工具對市場上面常見的傳統型易拉罐測量得出我們需要驗證模型所需要的數據（易拉罐的直徑，高度，厚度，梯形臺高，上面直徑，下直徑，坡度）。其次，我們假設易拉罐是一個正圓柱體，我們通過利用數學的方法計算求出它的最優設計方案結果，并驗證說明我們所測得的易拉罐的形狀和尺寸我們 并在此建立目標函數來說明問題的最優化再次：我們設易拉罐上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱體，通過建立數學模型、求解模型來說明什么是易拉罐的最優設計以及最優設計的結果，運用我們測量得到的數據來驗證這個模型的正確性最后，通過對易拉罐的了解和洞察力，合理的設計出我們自己心目中易拉罐的最優形狀和尺寸,利用繪圖工具繪制出

9、我們設計的實物圖和集合圖形.并且對我們設計的模形與傳統的易拉罐作對比分析,合理的預測出我們設計的模型的優勢,同時我們也用波特五力模型分析法分析我們設計的模型的潛在入侵者的威脅、替代品的威脅、買方的還價能力、供方的討價能力、現有企業的競爭等各種條件分析來預測我們模型的市場長期和短期的影響力度。4問題的求解問題一的求解:我們通過用角尺,直尺,軟尺,卡尺,鑄模尺,測瓶尺等一系列工具測得的易拉罐各部分結果分別為：厚度 0.32， 下直徑為 67.7 ，高 124.7， 梯形臺高 11.2 ，上直徑64.5 ，坡度 0.68；問題二的求解:在問題二中整個易拉罐都被看作為正圓柱體，根據制造過程中消耗鐵皮的

10、多少來判別優劣，即最優易拉罐應該具有的最小表面S,使易拉罐為最優化應做到同樣容積的易拉罐用最少的材料。我們為此在這里建立數學函數用來說明易拉罐的最優化，我們從以下三方面來著手，首先是寫出易拉罐的面積的表達式，其次是易拉罐在半徑外多少時有最小值，最后是求出底半徑與高之比。問題二的字母說明：易拉罐的容積易拉罐的半徑易拉罐的高度易拉罐表面積易拉罐表面積的最小值1）建立目標函數， 易拉罐的容積V=y，設表面積為S，則S=2+2xy。因為V為常數，所以，由此可得到目標函數易拉罐表面積的表達式2）求S（x）的最小值因為 令得可能極值點且唯一又所以S（x）在處取得最小值。3）求底半徑與高之比:由和可以算得

11、因此由設計要求知，體積V是常數，半徑r是變量，表面積S是r的函數。故設計方案轉化為數學問題：當r取何值時，函數S取最小值？則S=2r2+V/r+V/r3（2r2·V/r·V/r）1/3=3（2V2）1/3，當且僅當2r2=V/r，即r= (V/2)1/3時，易拉罐具有的表面積S=3（2V2）1/3，此時易拉罐的高h=2r，也就是說，設計成等邊圓柱時，消耗鐵皮最少。問題三的求解:當我們在分析問題三時，我們需要求出的是易拉罐形狀和尺寸的最優設計是什么，我們知道它的最優設計就是在容量不變的情況下，怎么樣設計才能使使用的材料最少，同時還能夠保證易拉罐形狀和性能的不變。根據立體幾何的

12、性質可以得知，正圓柱體是在表面積不變的情況下，表面積最?。春牟淖钌伲┑膱D形；所以我們要研究的最優設計只是這個易拉罐下部分和上部分的比例以及上部分的斜率問題，根據幾何圖形最優設計問題我們可以知道接口處的角度大小和上下部分高的比例大小直接關系到整個易拉罐的耗材優化設計，下面我們就依據題三中上面部分和下面部分接口處的角度來測量它的設計的合理與否。根據問題中的圖例所示我們可以把本小題中的易拉罐分成兩部分來考慮，即上面部分：正圓臺和下面部分：正圓柱體。V正圓臺的體積S再圓臺的表面積R易拉罐下底面的半徑r易拉罐上底面的半徑H易拉罐圓柱部分的高度h易拉罐圓臺部分的高度易拉罐圓臺部分的傾斜角由第二小題我們可

13、以得出當瓶底半徑與圓柱高的比為1：2時圓柱達到了最優化狀態，所以我們在本小題中就只需要考慮在什么情況下正圓臺達到最優化狀態 。我們可以把它轉化成數學的思維方式來求解。我們首先做出體積求解如下圖所示所以我們可以得出以下的式子此外我們得出的正圓臺的表面積的解式如下所示我們以下通過MATALB軟件畫圖可以從圖出看出當滿足下列關系時，在正圓臺的體積一定時，所得表面積為最小值，這個關系就是問題四的求解：在現實社會中鋁質易拉罐在飲料包裝容器中占有相當大的比重，易拉罐的制造融合了冶金、化工、機械、電子、食品等諸多行業的先進技術，成為鋁深加工的一個縮影。隨著飲料包裝市場競爭的不斷加劇，對眾多制罐企業而言，如何

14、在易拉罐生產中最大限度地減少板料厚度，減輕單罐質量，提高材料利用率，降低生產成本，是企業追求的重要目標。 但是，勿用質疑的是，鋁制易拉罐已經大面積的走進了人們的生活當中，盡管我們的最優設計能夠把耗材降到最低的限度，但是大量的生產還是會耗費很多的鋁材料，并且鋁易拉罐價格過高，設備、技術都是很高的，在我國鋁資源數量少，質量差 儲量保障程度低的情況下，大量的生產鋁制易拉罐對于我國鋁資源的消耗仍然是一項沉重的負擔，另外是在當今的社會健康成了人們經常討論的話題，所以一些對人體有有害影響的材料正在慢慢的遠離人們的身旁，一些廠家也開始關注自己廠的材料，在他們生產時不但做到減少生產成本而且也盡量做到減少使用對

15、人體有害的物質作為材料。鋁制易拉罐中的鋁會對人體造成有害影響，所有在不久的將來會有一種對人體無害的材料來代替鋁制易拉罐。因此，鋁制易拉罐企業應把大力推行循環經濟并采取措施減少資源消耗和環境污染作為當前工作的重中之重。循環經濟強調在生產和再生產的各個環節中，利用一切可以利用的資源，按"物質代謝"和"共生"的關系延伸產業鏈，以"資源-產品-再生資源"為表現形式，是一種集約性的增長方式。也正因為如此我們設計用紙作為材料來制作易拉罐，紙易拉罐由紙漿高壓壓鑄成形，造型美觀，不污染環境，是國際推廣的最優綠色包裝，它使用安全衛生，生產工藝簡單，投資

16、少，尤其是成本低的特點最突出。它將以其包裝無法比擬的優勢很快占領包裝市場，成為飲料界的優選包裝。紙制罐的技術問題：由飲料的特性我們知道紙制易拉罐的主要技術問題是如何確保易拉罐罐體的物理性能、耐磨性、耐壓強度、保鮮性能、密封性。我們如何來解決這個問題成為我們推廣紙制易拉罐制作工程中的重中之重。下面我們就來討論一下關于紙制易拉罐制作過程中的技術問題: (1)落料易拉伸復合工序。拉伸時，坯料邊緣的材料沿著徑向形成杯，因此在塑性流動區域的單元體為雙向受壓，單向受拉的三向應力狀態，由于受凸模圓弧和拉伸凹模圓弧的作用，杯下部壁厚約減薄10%，而杯口增厚約25%。杯轉角處的圓弧大小對后續工序(罐體成形)有較

17、大的影響，若控制不好，易產生斷罐。因此落料拉伸工序必須考慮以下因素：杯的直徑和拉伸比、凸模圓弧、拉伸凹模圓弧、凸、凹模間隙、鋁材的機械性能、模具表面的摩擦性能、材料表面的潤滑、拉伸速度、突耳率等。突耳的產生主要由2個因素確定：一是金屬材料的性能，二是拉伸模具的設計。突耳出現在杯的最高點同時也是最薄點，將會對罐體成形帶來影響，造成修邊不全，廢品率增高。(2)紙制罐體的形狀和尺寸的最優設計的模型。我們在考慮易拉罐的形狀和尺寸比例設置的時候，不僅要考慮到外觀美，還要重點考慮資源的最優利用?？紤]到做上、下底面和側面所用材料的厚度是不同。若設上、下底面單位面積的厚度為p，側面的厚度為q (pq)，則做一

18、個易拉罐所需材料的為s=p·2r2+q·2r*h。要使具有最少的材料，則s=·(2p·r2+qrh+qrh) ·(2pr2·r4h2)1/3，當且僅當2pr2= q*r*h=q*r*h，即h=2p·r/q時材料最少。此時，易拉罐就不再是等邊圓柱體。因此我們在市場上常見的易拉罐形狀就如下圖所示。圖1 市場上常見的易拉罐形狀喝過易拉罐裝飲料的人都應該知道，這種設計雖然做到了節省材料的最優設計，但是在這種易拉罐的罐口不是很合理，目前市場上面普遍流行的這種易拉罐在飲用飲料時候如果找不到吸管飲用起來是比較麻煩的（事實上大部分飲料消費者

19、是沒有條件擁有吸管的）。那么我們就應該試著設計出一種既能做到耗材的最優設計，又能考慮到顧客的消費心理和方便的飲料罐。目前，據有關資料顯示：果味飲料的主要消費群體是兒童，少年是乳酸飲料的主要飲用者，乳酸飲料70%的飲用者是青少年。那么我們在設計飲料罐的時候還要考慮這些人的消費心理，青少年的消費心理有以下幾點：第一，追求新穎時尚。青少年大多思想解放，富于幻想，容易接受新事物，喜歡獵奇。他們購買的商品要求是“新、奇、美”的。第二，追求個性化。青少年的自我意識加強了，有他們自己的性格、志向、興趣等，他們在各類活動中都會有意無意地表現他們的特殊性。第三、注重感情和直覺，沖動性購買色彩濃烈。根據以上分析：

20、我們知道罐體的最優設計就是圓柱體了。那么我們是否還可以對圓柱體進行形狀上的優化那。下面我們就對圓柱體的形狀和個性進行優化設計進行討論，爭取盡可能的滿足人們的方便和心理上追求個性化的心理。前面我們提到過傳統的鋁質易拉罐在每有吸管的情況下飲用比較麻煩，那么我們現在首先要討論的就是如何來解決瓶口問題，使之能夠方便飲用，下面我們就以圖例的辦法來說明瓶口的設計思路和瓶口各部分的比例關系。圖2.瓶口設計示意圖綜合以上幾步的綜合分析，我們的飲料罐模型大致上設計成為如下圖所示：圖3 模型的幾何圖形)粗略的計算, 可以把飲料罐的體積看成兩部分,一是上底半徑為 3 厘米，下底半徑為 3.3 厘米, 高為 1 厘米

21、的錐臺, 二是半徑為 3.3 厘米, 高為 10.2 厘米的圓柱體. 它們的體積分別為 31.2 立方厘米和 349 立方厘米總共為 380.2 立方厘米. 然后,再通過測量重量或容積來驗證，可以認為 1 立方厘米的水和飲料的重量都是 1 克. 測量結果為: 未打開罐時飲料罐的重量為 370 克, 倒出來的可樂確實重 355 克, 空的飲料罐重量為 15 克, 裝滿水的飲料罐重量為 380 克. 這和我們的近似計算 380.2 立方厘米十分接近！飲料罐不能裝滿飲料, 而是留有 10 立方厘米的空間余量. 更有意思的是, 計算飲料罐的胖的部分的直徑和高的比為 6.6/10.2 = 0.647,

22、非常接近黃金分割比 0.618. 這樣的比例看起來舒服, 不僅舒服，而且也做到了耗材的最優設計。此外, 諸如底部的形狀, 上拱的底面, 頂蓋實際上也不是平面的, 略有上拱, 頂蓋實際上是半徑為 3 + 0.4 + 0.2 = 3.6 平方厘米的材料沖壓而成的, 從頂蓋到胖的部分的斜率為 0.3, 這些要求也許保證了和飲料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐壓. 所有這些都是物理、力學、工程或材料方面的要求, 必須要有有關方面的實際工作者或專家來確定. 因此, 我們可以體會到真正用數學建模的方法來進行設計是很復雜的過程, 只依靠數學知識是不夠的, 必須和實際工作者的經驗緊密結合. 5.紙制易拉罐

23、的優勢分析表1 鋁易拉罐和紙易拉罐比較表 鋁易拉罐紙易拉罐投資生產線資金1700萬200萬最小生產批量2000萬2萬原材料需進口稻,麥草紙漿能耗高能耗,國家已禁止發展工藝簡單,低能耗,環保成本約1元/只約0.30.4元/只外觀外觀精美外觀同樣精美（1）綠色環保是當今社會發展的方向，是人們關心的主題。將企業定位于綠色環保的生產者說明了本企業的價值取向是和社會發展方向一致的，體現了企業的社會責任和使命，容易贏得社會公眾和客戶的認同，也容易激發員工的自豪感。（2）國家大力發展環境保護,對價格貴能耗高的鋁易拉罐生產線已經停止引進,禁止發展.消費者水平日益提高,對綠色包裝的食品更加青睞,切目前

24、生產廠商不多。（3）安全性：紙包裝是國際公認的綠色包裝，既衛生又不污染環境，既沒有像玻璃那樣義叉傳染和造假的可能，又沒有有害物質影響飲料質量，更不會像啤酒瓶炸開玻璃傷人的現象。（4）適應性：紙制易拉罐適應于各大中小型生產廠家生產，不局限于受試機量、試印刷的限制。紙制易拉罐外套收縮包裝膜，套不同膜就是不同產品包裝，故2萬只就可生產。（5）多樣性：紙制易拉罐的流水線為多通路，因而在生產產品時只需要更換所需要的模具，就可按各通路分別生產出所需的產品。如紙杯、紙盤、紙飯盤、紙奶粉桶、果醬等各類包裝桶罐。其生產工藝基本相同。6.波特五力模型分析（1）潛在入侵者的威脅：紙易拉罐生產工藝簡單，投資少，成本低

25、，見效快的優點成為了競爭中的缺點，行業門檻低，進入較容易，潛在入侵者威脅很大。（2）替代品的威脅：紙易拉罐和其它紙質包裝物作為其它材質的包裝物的替代品，最大的威脅來自消費者使用習慣的阻力。（3）買方的還價能力：由于是新型產品的推廣，買方的還價能力很強，但是新產品沒有同類產品的對照比較，可以在定價上多留一些空間。買方較容易實行后向一體化。（4）供方的討價能力：本產品是以稻秸、麥秸做成的草漿為原料，收購稻、麥秸不僅可以減少被燃燒的污染，還可以增加農民收入。原料充足而且是廢物利用，所以供方的還價能力不很強，但供方也容易投資建廠，實行前向一體化。（5）現有企業的競爭：新型產品投入期，競爭對手不多，也不

26、激烈。7.市場前景預測 本產品是新型技術的產品。紙質易拉罐成本為0.30.4元/只，僅為鋁易拉罐的3040%，差距如此大，而且同鋁易拉罐一樣美觀實用，還能環保，體現出了強烈的替代優勢，是國家提倡發展的新技術產品。具體在本區域內還沒有一家生產，如果本企業率先進入市場，采用取脂定價法是最合適的。因為沒有同類產品的競爭，沒有價格對比，在定價上有很大的自由空間，可將價格適當定高。通過產品生命周期我們知道，新產品在進入市場時，銷售量很小，而同時投入的各項銷售費用很高，這就必須要有高額的利潤來維持，所以本產品在進入市場時應采用取脂定價策略，先高價后低價。高額的利潤必然導致新的資金進入，隨著競爭者的增多，很

27、難在維持高的價位。企業此時應立即采取低價滲透策略，利用先入優勢擴大市場占有額同時也能提高進入壁壘，阻止一些潛在競爭者的加入。據業內人士統計，我國易拉罐市場年需求量達到600億只。一條鋁易拉罐生產線需投資1700萬元,而紙易拉罐僅為200萬元;鋁易拉罐每只成本約1元,紙易拉罐僅為0.30.4元,鋁易拉罐最小批量為2000萬只,中小企業難以承受;紙易拉罐2萬只以上即為經濟批量.紙易拉罐還可以擴展到油漆,化工,醫藥,食品等包裝領域,利用該技術還可以生產各類高中低檔飯盒,紙杯,紙碗,紙桶等.且鋁易拉罐因原材料需進口,加之價格貴,能耗高等原因,國家已不再批準新建生產線.在陜西,僅可樂和啤酒兩種飲料一年就

28、5億只,發達地區消耗量更大,還有大約400萬只左右的飲料采用的是塑料瓶,玻璃瓶,方盒包裝,市場容量巨大.紙易拉罐由于外觀,功能與鋁易拉罐相近,且污染少,成本低,用途廣,投資少等特點,極易成為鋁易拉罐的替代品切入市場，占踞可觀的市場份額,有望成為我國包裝產業新的增長點. 8. 總評在本題中我們以環保、減少企業的成本、保證消費者的健康、礦產資源的前景、多樣性、新穎時尚、個性化和青少年追求注重感情和直覺沖動性購買色彩濃烈等方面來考慮。從生產材料來講我們用紙漿作為原材料起減少了成本，就比如用鋁制的易拉罐來講，它的制造融合了冶金、化工、機械、電子、食品等諸多行業的先進技成為鋁金屬深加工業的一個縮影。其科

29、技難度就不言而欲了，造價成本也很高，另外還會對人體造成有害影響，國務院已經明確指出讓鋁制品遠離人們的生活。而紙漿的生產以稻秸、麥秸桿制作成的草漿為原料，收購稻秸、麥秸不僅可以減少被燃燒的污染，還可以增加農民收入。原料充足而且是廢物利用，所以供方的還價能力不很強，但供方也容易投資建廠，實行前向一體化。而且紙漿的生產適應于各大中小型生產廠家生產，不局限于受試機量、試印刷的限制。紙制易拉罐外套收縮包裝膜，套不同膜就是不同產品包裝，例如2萬只就可生產。此外紙漿處生產易拉罐外還能生產其它的產品，就只需要在生產產品時更換所需要的模具，就可按各通路分別生產出所需的產品。如紙杯、紙盤、紙飯盤、紙奶粉桶、果醬等

30、各類包裝桶罐。其生產工藝基本相同。這樣就可以增加企業生產的靈活性。從我們設計的易拉罐的模型來講，我們的模型追求新穎時尚，追求個性化，注重感情和直覺，沖動性購買色彩濃烈。在當今的青少年中他們的自我意識加強了，有他們自己的性格、志向、興趣等，他們在各類活動中都會有意無意地表現他們的特殊性。而我們的易拉罐模型剛好追隨了大多數青少年的目光，加工的飲料也就會受到大家的關注。該模型我們是非常務實和謹慎的。通過對該模型完整的分析，我們完全有理由相信這是一個非常有前景，非常有吸引力的產業。在不久的將來，當我們自己用著或看見別人用著我們生產的產品時，感受著我們的勞動正在為他人和社會創造福利的時候，我們會由衷地感

31、到自豪而無悔于當初的抉擇。  9.參考文獻：1 葉其孝 姜啟源等譯數學建模。第三版。北京： 機械工業出版社 2005.12 蘇金明，王永利 MATLAB實用指南，北京：北京電子工業出版社 2004.103 徐全智、楊晉浩 數學建模，北京：高等教育出版社 2004.24 袁振東 數學建模方法 ， 江蘇：華東師范大學出版社 2003.15王兵團 數學建?；A，北京：清華大學出版社、北京交通大學出版社 2005.106清源計算機工作室，MATLAB6.0高級應用-圖形圖象處理。北京：機械工業出版社，2001.7 袁震東、蔣魯敏、束金龍，數學建模簡明教程，江蘇：華東師范大學出版社，20028 洪毅 林健良 ， 陶志穗 數學模型 北京：高等教育出版社2004.59