1、復變函數教學大綱說 明1 本大綱適用數學與應用數學本科教學2 學科性質：復變函數論是成人高等師范數學專業基礎課程之一，它在微分方程、概率論、力學等學科中都有應用，復變函數論方法是工程、科技的常用方法之一。復變函數論主要研究解析函數。解析函數定義的幾種等價形式，表現了解析函數這一概念在不同方面的特性。復變函數論的基本理論以柯西定理為主要定理，柯西公式為重要公式，留數基本定理是柯西定理的推廣。保形映照是復變函數幾何理論的基本概念。；留數理論和保形映照也為實際應用提供了特有的復變函數論方法。3 教學目的：復變函數論是微積分學在復數域上的推廣和發展，通過復變函數論的學習能使學生對微積分學的某些內容加深

2、理解，提高認識。復變函數論在聯系和指導中學數學教學方面也有重要的作用，學生通過復變函數論的學習對中學數學的某些知識有比較透徹的理解與認識，從而增加做好中學數學教育工作的能力。4 教學基本要求：通過本課程的學習，要求學生達到：1 握基本概念和基本理論；2熟練的引進基本計算（復數、判斷可導性及解析性、復積分、函數的展式、孤立奇點的判斷、留數的計算及應用、求線性映照及簡單映照等）；2 固和加深理解微積分學的有關知識。5教學時數分配：本課程共講授72學時（包括習題課），學時分配如下表：教學時數分配表1 / 7以上是二年制脫產數學本科的教學時數。函授面授學時不低于脫產的40%，可安排2830學時。教 學

3、 內 容第一章 復數與復變函數復變函數的自變量和因變量都是復數，因此，復數和平面點集是研究復變函數的基礎。復變函數及其極限理論與微積分學的相應內容類似，但因復變函數是研究平面上的問題，因此有其新的含義與特點。（一）教學內容1復數發展史略；2復數的定義及運算。復數的定義、復數的表示式及代數運算、復數的模和輻角、共軛復數。3平面上的點集。平面點集、鄰域、聚點、孤立點、內點、外點、邊界點、邊界、開集、閉集、有界集、曲線、連續曲線、簡單曲線、簡單閉曲線、光滑曲線、逐段光滑曲線、區域、閉區域、單連通區域、復連通區域、聚點原理、有限復蓋定理、閉區域套定理。4復球面與無窮遠點。復平面、復數的向量式、三角式與

4、指數式、復數的乘冪與n次方根、無窮遠點與復球面、擴充復平面無窮遠點的鄰域。5復變函數。復變函數、單值函數、多值函數、極限、連續、一致連續、柯西收斂準則、復變函數連續性與其實部和虛部連續性的關系，閉區域上連續函數的性質。重點：復變函數及其極限與連續。難點：無窮遠點及無窮遠點鄰域。（二）、教學目的和要求1理解復數、區域、單連通區域、復連通區域、逐段光滑曲線、無窮遠點、擴充復平面等概念。2理解復數的性質、會應用模和輻角的性質，會作點集的圖形。3進一步認識復數域的結構，并聯系中學的復數教學。第二章 解析函數解析函數是本課程的主要研究對象，解析函數的充要條件揭示了解析函數與調和函數之間的聯系。（一）、教

5、學內容1 解析函數的概念。復變函數的導數、函數在一點解析的定義、函數在區域內解析的定義、CR條件、=解析函數的充要條件。2調和函數調和函數的定義、解析函數與調和函數的關系。3初等函數。（1）指數函數與對數函數。指數函數及其重要性質、單葉函數、多葉函數、周期函數、對數函數、分枝、主值枝、枝點、枝割線。（2）冪函數與根式函數。冪函數、根式函數、分枝、主值枝、枝點、枝割線。（3）三角函數、一般冪函數、一般指數函數。重點：解析函數的定義，解析函數的充要條件及CR條件、指數函數與指數函數的定義及其主要性質。難點：枝點的概念。（二）教學目的和要求1理解導數、解析函數的定義、性質及充要條件。2理解函數在一點

6、解析與函數在一點可導的區別。3熟練掌握利用CR條件判別解析函數的方法。4熟練掌握已知解析函數的實部或虛部，求該解析函數的方法。5 熟練求多值函數的枝點、及滿足條件的分枝在指定點處的函數 值。6 聯系中學教學、認識復變函數中各類基本初等函數與相應初等函數的異同。第三章 復變函數的積分以柯西定理為基礎，建立柯西公式，從而得出解析函數的各階可導性，莫勒拉定理解決了柯西定理的逆問題，由此即可得到解析函數的另一個充要條件。（一）教學內容1復積分的概念、性質和計算。2柯西積分定理。單連通區域的柯西積分定理、復連通區域的柯西積分定理。3. 柯西積分公式與高階導數公式。4.柯西積分定理與積分公式的應用。柯西不

7、等式、劉維爾定理、代數基本定理、不定積分、牛頓萊布尼茲公式、莫勒拉公理。重點：柯西積分定理、柯西積分公式、高階導數公式。難點：計算非解析函數沿積分路徑為非閉曲線的積分。（二）教學目的和要求1理解復積分的概念。2理解柯西積分定理和柯西積分公式以及高階導數公式，認識以上定理和公式的作用，知道證明方法。3劉維爾定理、莫勒拉定理和代數基本定理，知道證明方法。4熟練掌握利用柯西積分定理和積分公式計算函數的各種積分。第四章 解析函數的冪級數表示冪級數是研究解析函數的重要工具之一。泰勒公式給予解析函數以明確的解析表示式。解析函數的唯一性定理是解析函數的重要特征。（一）教學內容1復級數的基本概念。復數項級數、

8、函數項級數、一致收斂的柯西判別法、維爾斯特拉斯判別法、和函數的連續性、逐項積分、逐項微分。2冪級數。冪級數的定義、阿貝爾定理、收斂圖、收斂半徑、和函數在收斂圓內的解析性。3解析函數的泰勒展式。泰勒定理、初等函數的泰勒展式、解析函數的另一個充要條件。4唯一性定理。解析函數的零點的孤立性、解析函數的唯一性。重點：1、冪級數的收斂圓及收斂半徑的求法。2、將函數在一點展成冪級數的方法。解析函數的唯一性定理。難點：利用已知的基本初等函數的展式將函數在指定點展成泰勒級數。（二）教學目的與要求。1理解一致收斂、內閉一致收斂、冪級數、泰勒展式、收斂半徑、收斂圓的概念。2理解復變函數項級數的逐項可導性，與微積分

9、學的相應定理比較，認識其條件結論的強弱。3熟練掌握冪級數收斂半徑和收斂圓的求法。4熟練掌握將函數在指定點展成冪級數的方法。5熟練掌握解析函數零點和級別的求法。第五章 解析函數的羅朗展式與孤立奇點羅朗展式是泰勒展式的推廣，它是研究解析函數的孤立奇點的重要工具。（一）教學內容。1羅朗級數。羅朗級數的概念、羅朗級數的收斂域及其函數的解析性、解析函數在圓環上展成羅朗級數。2孤立奇點。奇點、孤立奇點及其分類、函數在孤立奇點的去心鄰域內的性質。3解析函數在無窮遠點的去心鄰域內的性質。函數在無窮遠點的羅朗級數、無窮遠點為孤立奇點的分類。重點：1.將函數展成羅朗級數的方法。2.判別孤立奇點的方法。3.解析函數

10、在其孤立奇點去心鄰域內的性質。難點：1.孤立奇點類別的識別。2.將函數在其孤立奇點去心鄰域內展成羅朗級數。（二）教學目的和要求。1.理解羅朗級數、孤立奇點可去奇點、極點、本性奇點的概念。2.熟練掌握求函數在孤立奇點去心鄰域上的羅朗展式。3.熟練掌握判斷奇點類別的方法。第六章 留數理論及其應用留數在復變函數的閉曲線積分及一些實積分計算中起著重要作用。（一）教學內容。1留數的概念與計算。留數的定義、計算的方法、無窮遠點的留數的求法。2留數基本定理。留數基本定理、用留數基本定理求復函數在閉曲線上的積分。3留數在計算某些實積分中的應用。 型積分 型積分 型積分4輻角定理及儒歇定理。重點：1、計算留數的

11、方法。2、留數基本定理。難點：函數在無窮遠點留數的計算。（二）教學目的和要求。1理解留數的定義。2熟練掌握計算留數的方法。3理解留數基本定理，會用留數理論計算積分。第七章 保形變換保形變換是復變函數幾何理論的基本概念。分式線性變換及其它初等函數的變換有廣泛的實際應用。（一）教學內容。1解析函數的映照性質。導數的幾何意義、保域性、保角性、保形性、保域性定理、最大模原理。2分式線性變換。分式線性變換的定義、分解、性質、典型映照。3幾個初等函數的映照性質。W=Zn 與W=的映照性質，W=ez 與W=Z的映照性質。4黎曼定理及邊界對應定理。（不證）重點：分式線性變換。難點：已知區域D與G，求將D映射為G的保形映照。（二）教學目的和要求。1理解導數的幾何意義及保形映照、分式線性映照、保圓性、對稱點等概念。2掌握分式線性映照的性質和幾個典型映照。3理解W=Zn 、W=、W=