1、雙曲線解答題練習1. 如圖，在以點為圓心，為直徑的半圓中，是半圓弧上一點，曲線是滿足為定值的動點的軌跡，且曲線過點.（）建立適當的平面直角坐標系，求曲線的方程；（）設過點的直線l與曲線相交于不同的兩點、.若的面積不小于，求直線斜率的取值范圍.2. 雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經過右焦點垂直于的直線分別交于兩點已知成等差數列，且與同向（）求雙曲線的離心率；（）設被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程3. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的動直線與雙曲線相交于兩點（I）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點，使·為常數？若存

2、在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由4. 已知雙曲線C的方程為，離心率，頂點到漸近線的距離為。（1）求雙曲線C的方程；（2）如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求面積的取值范圍5求一條漸近線方程是，一個焦點是的雙曲線標準方程，并求此雙曲線的離心率（12分）6雙曲線的兩個焦點分別為，為雙曲線上任意一點，求證：成等比數列（為坐標原點）（12分）7已知動點P與雙曲線x2y21的兩個焦點F1，F2的距離之和為定值，且cosF1PF2的最小值為.（1）求動點P的軌跡方程；（2）設M(0，1)，若斜率為k(k0)的直線l與P點的軌跡交于不同的兩點A、

3、B，若要使|MA|MB|，試求k的取值范圍（12分）8已知不論b取何實數，直線y=kx+b與雙曲線總有公共點，試求實數k的取值范圍.（12分）9設雙曲線C1的方程為，A、B為其左、右兩個頂點，P是雙曲線C1上的任意一點，引QBPB，QAPA，AQ與BQ交于點Q.（1）求Q點的軌跡方程;（2）設（1）中所求軌跡為C2，C1、C2的離心率分別為e1、e2，當時，e2的取值范圍（14分）10某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s. 已知各觀測點到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發生的位置.(假定當時

4、聲音傳播的速度為340m/ s :相關各點均在同一平面上).（14分）雙曲線練習題答案1. 如圖，在以點為圓心，為直徑的半圓中，是半圓弧上一點，曲線是滿足為定值的動點的軌跡，且曲線過點.（）建立適當的平面直角坐標系，求曲線的方程；（）設過點的直線l與曲線相交于不同的兩點、.若的面積不小于，求直線斜率的取值范圍.解：（）以O為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依題意得MA-MB=PA-PBAB4.曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.設實半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則c2，2a2，a2=2,b2=c

5、2-a2=2.曲線C的方程為.解法2：同解法1建立平面直角坐標系，則依題意可得MA-MB=PA-PBAB4.曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.設雙曲線的方程為0，b0）.則由 解得a2=b2=2,曲線C的方程為()解法1：依題意，可設直線l的方程為ykx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F， k（-,-1）（-1，1）（1，）.設E（x，y），F(x2,y2)，則由式得x1+x2=,于是EF而原點O到直線l的距離d，SDEF=若OEF面積不小于2,即SOEF，則有 綜合、知，直線l的斜率的取值范圍為-，-1(1-,1

6、) (1, ).解法2：依題意，可設直線l的方程為ykx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得（1-k2）x2-4kx-6=0.直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F， .k（-，-1）（-1，1）（1，）.設E(x1,y1),F(x2,y2),則由式得x1-x2= 當E、F在同一去上時（如圖1所示），SOEF當E、F在不同支上時（如圖2所示）.SODE=綜上得SOEF于是由OD2及式，得SOEF=若OEF面積不小于2 綜合、知，直線l的斜率的取值范圍為-，-1（-1，1）（1，）.2. （）設，由勾股定理可得：得：，由倍角公式，解得,則離心率（）過直線方程為,與雙曲線方程聯立將，代入，化簡有將數

7、值代入，有,解得故所求的雙曲線方程為。3. 解：由條件知，設，（I）解法一：（I）設，則則，由得即于是的中點坐標為當不與軸垂直時，即又因為兩點在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡得當與軸垂直時，求得，也滿足上述方程所以點的軌跡方程是解法二：同解法一的（I）有當不與軸垂直時，設直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根，所以 由得當時，由得，將其代入有整理得當時，點的坐標為，滿足上述方程當與軸垂直時，求得，也滿足上述方程故點的軌跡方程是（II）假設在軸上存在定點，使為常數當不與軸垂直時，設直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根，所以，于是因為是與無關的常數，所以，即，此時=當與軸垂直

8、時，點的坐標可分別設為，此時故在軸上存在定點，使為常數4.（）由題意知，雙曲線C的頂點（0，a）到漸近線，所以所以由所以曲線的方程是（）設直線AB的方程為由題意知由由將P點的坐標代入得設Q為直線AB與y軸的交點，則Q點的坐標為（0，m）=5（12分）解析：設雙曲線方程為：，雙曲線有一個焦點為（4，0），雙曲線方程化為：，雙曲線方程為： 6（12分）解析：易知，準線方程：，設，則， 成等比數列.7（12分） 解析：(1)x2y21，c.設|PF1|PF2|2a(常數a0)，2a2c2，a由余弦定理有cosF1PF21|PF1|PF2|()2a2，當且僅當|PF1|PF2|時，|PF1|PF2|取

9、得最大值a2.此時cosF1PF2取得最小值1，由題意1，解得a23，P點的軌跡方程為y21.(2)設l：ykxm(k0)，則由， 將代入得：(13k2)x26kmx3(m21)0 (*)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB中點Q(x0，y0)的坐標滿足：x0即Q()|MA|MB|，M在AB的中垂線上，klkABk·1 ，解得m 又由于(*)式有兩個實數根，知0，即 (6km)24(13k2)3(m21)12(13k2m2)0 ，將代入得1213k2()20，解得1k1，由k0，k的取值范圍是k(1，0)(0，1).8（12分）解析：聯立方程組消去y得(2k21)x2+4kb

10、x+（2b2+1）=0,當若b=0，則k；若，不合題意.Q當依題意有=(4kb)24(2k21)(2b2+1)0，對所有實數b恒成立，2k2<1，得.9（14分）解析：（1）解法一：設P(x0,y0), Q(x ,y ) 經檢驗點不合,因此Q點的軌跡方程為:a2x2b2y2=a4（除點（a,0）,(a,0)外）. 解法二：設P(x0,y0), Q(x,y), PAQA （1）連接PQ，取PQ中點R,10（14分）解析：以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標系.設A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）設P（x,y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PB|，故