1、基于嵌入空間變形物體變形方法摘 要 FFD(Free-Form Deformation)自由變形方法是空間變形最有效的方法之一，FFD方法不對物體直接進行變形，而是對物體所嵌入的空間進行變形。本文討論分析了基于FFD自由變形方法。 關鍵詞 空間變形；自由變形；嵌入；控制頂點；權因子 1 自由變形方法FFD 自由變形FFD(Free-Form Deformation)方法是常用的一種與物體表示無關的變形方法。FFD算法的實施可以比喻為雕塑家的手，每實施一次，就相當于用手把整個物體雕塑一遍，隨著FFD算法的逐次實施，最終把物體雕塑成所希望的形狀。FFD算法的前提是：假定物體有很好的彈性，容易在外力

2、的作用下發生變形。應用該法進行造型時，須先設計一個長方體框架，將物體嵌入框架中。當框架受外力變形時，物體的形狀也發生改變?？蚣艿男巫兪怯善渖系目刂祈旤c的變化而產生的，因此可通過框架上的控制頂點來改變可控制物體的形狀，一般稱該框架為控制框架。 1.1 FFD數學原理 在數學中變形可以看作一個由R3到R3的映射X=F(x)，其定義域是待變形的物體表面所包圍的實體，其值域是變形后的物體。所以關鍵問題是如何構造此映射，使模型的構造具有較好的直觀性、交互性和透明性。 Sederberg和Parry使用了三變量張量積Bernstein多項式和一個控制框架來構造映射F(x)，其算法如下： (1)首先，在一個

3、包圍待變形物體的長方體中構造局部坐標系O- STU，如圖1所示。圖 1 構造局部坐標系和控制框架 其中X0(O) 是局部坐標系的原點，S，T，U是軸矢量。笛卡爾坐標系O-XYZ中任意一點X在局部坐標系中具有坐標(s，t，u)X=X0+sS+tT+uU 式中X0為局部坐標系的原點： (1.1) 顯然，對控制框架內的任意點，其局部坐標滿足：0s， t，u1。 (2)在長方體上構造控制頂點網格Pi，j，k，分別沿S，T和U三個方向用平行于OTU ， OSU，OST坐標面的等距截面將OS，OT和OU等分為l，m和n個區間，則Pi，j，k可表示為 (1.2) 其中i=0，1，l； j=0，1，m； k=

4、0，1，n 框架內任意一點的笛卡爾坐標X可表示為 (1.3) 式中Bil(s)，Bjm(t)和Bnk(u)分別為l，m，n次Bernstein多項式基函數。 (3)建立了物體與框架的相互關系之后，用戶可通過改變Pi，j，k的位置得到新的控制頂點Pi，j，k和變形后的控制框架。若原控制框架內任一點X所對應的局部坐標為(s，t，u)，則該點在框架變形后所對應的笛卡兒坐標Xffd可由變形規則(1.4)確定： (1.4) 式(1.4)表明：由新的控制頂點計算變形后的物體時，應首先確定原控制框架內任一點X所對應的局部坐標(s，t，u)。一般的說，此過程應根據原控制頂點和式(1.3)求解非線性方程組。在用

5、Bernstein多項式來表示變形映射時，若原控制頂點滿足式(1.2)，則其局部坐標可用式(1.1)確定。 控制頂點Pi，j，k實際上就是Bernstein多項式的系數，與Bezier曲線、曲面一樣，變形與控制頂點存在非常密切的關系。由于Bernstein多項式的性質，移動一個控制頂點將影響框架內的整個空間。因此，變形區域為框架內所有的點。實際上，變形只施加于框架內待變形物體上的點，即需要計算的僅是框架內變形物體上的點。 當整個物體都位于框架內時，因為移動一個控制頂點將影響整個物體的形狀，為使變形局部化，所以可采用較小的框架。當物體的一部分位于框架內時，將獲得局部變形。此時框架與物體相交，為保

6、持切矢或曲率連續，需對框架控制頂點的位置提出更嚴格的要求。 物體的變形是由框架控制頂點的移動產生的，要求精確移動物體上一個給定的點將非常困難，故必須經過反復實驗才能獲得所期望的效果。 應用傳統FFD方法對物體進行自由變形時，控制變形的工具是一個參數三變元張量積的Bezier體、B-樣條體或NURBS體。被變形物體首先以某種方式嵌入這個體的參數空間，常用的嵌入方式有兩種： (1)待變形物體上任意一點的坐標(x，y，z)和它所對應的局部(參數)坐標(u，v，w)之間建立線性對應關系，一般情況下，該問題需要解非線性方程組； (2)對于被變形物體，生成其3D包圍盒，然后以這個包圍盒的一種平行于三坐標平

7、面的分割所生成的空間網格作為變形控制網格；對于位于網格中的物體的每一個采樣點或控制頂點，反求出其相對于控制網格的參數坐標(u，v，w)作為其局部坐標。 這兩種嵌入方法各有優缺點：前者計算量小，但可控性較差；后者計算量大，但可控性較好。 1.2 FFD特點分析 由上述內容可知，FFD方法其實施與幾何形體的表達方式無關，而且參數曲線和參數曲面經過FFD變換后仍是參數曲線和參數曲面。 FFD算法對于構造曲面實體具有較大潛在應用價值，其優點可歸納如下： (1)可與任何實體造型系統一起使用。 (2)對任何形式、任意冪次的曲面進行變形。 (3)可整體也可局部使用，局部使用時可保持兩物體間跨界導矢以及更高階

8、導矢的連續性。 (4)可應用于曲面或多邊形模型。 (5)可估計體積變化的程度，并存在一類保持體積不變的變換。 (6)參數曲線、曲面經FFD變換后仍是參數曲線、曲面。 (7)可應用于美學曲線和光順曲面，也可應用于大多數功能曲面。 FFD算法也存在一些局限性，其中包括： (1)不能用于圓角和過渡面的構造。 (2)在進行局部FFD變換時，物體的變形區與非變形區的交是平面邊界曲線，欲用FFD構造任意邊界曲線的變形將非常困難。 (3)計算量大，對于三維FFD，變形算法總共有三層嵌套循環，其時間復雜性為O(n3)，如何提高算法效率是實現FFD算法的關鍵之一。 (4)jacobian矩陣的計算較為繁瑣，因而

9、變形后物體表面的導矢，法矢和物體體積的計算也較為復雜。 (5)網格調整比較麻煩，為獲得合適的物體形狀，需仔細地選擇、移動很多控制頂點。 2 基于FFD的其他自由變形方法 2.1 DFFD FFD算法是一種非常有效的幾何造型工具，但用其實現復雜的變形則非常困難。難以準確控制物體的形狀，難以準確控制物體上點的位移，不熟悉曲面造型的用戶不易理解控制頂點的作用及移動控制頂點可能產生的結果。 為了克服FFD方法的缺點，需要采用新的方法，DFFD(Direct Manipulation of Free-Form Deformation)便是其中的一種。 DFFD方法仍采用控制框架作為變形工具，它繼承性地發

10、展了FFD方法，吸取了FFD方法的優點，克服了FFD方法的不足。應用DFFD方法時，用戶操作的是物體上的點而不是控制頂點。其核心思想是：選擇物體上的一點，將該點移至所要求的位置，反求出控制頂點的位置變化，并計算物體上其它的點。DFFD方法易于實現變形物體上點的精確移動，但也沒有提供控制變形區域的工具。 2.2 EFFD 擴展自由變形(EFFD)方法同樣拓廣了FFD技術，可使用非長方體，消除了對非平行六面體網格的限制，允許使用非平行六面體的網格形狀，使初始的網格允許棱柱和圓柱這種形狀，因而增加了FFD的適用范圍，能夠實現更隨意的變形，它允許FFD型網格作為其結構的一部分，多個FFD網格可合并構成

11、EFFD的網格。 EFFD技術是FFD的一個拓廣。應用與FFD相同的數學公式，但變形工具是由幾個任意形狀的框架組成的復雜框架。每一框架本身由一組基本塊組成。用戶可選擇預先定義的棱柱形框架(圓柱體、球等)或者通過合并幾個框架而構造一個組合框架。其余過程與FFD類似，但局部坐標的計算比較煩雜，而且構造一個合適的框架非常困難。 2.3 RFFD 有理自由變形(RFFD)方法是FFD方法的另一拓廣。應用該法時，每個控制頂點均附加權因子，其初始控制頂點仍位于長方體框架上。當每個控制頂點的權因子都等于1時，與FFD方法等價。權因子提供了另一個控制變形的自由度，然而，用戶難以預測改變權因子可能產生的變形結果

12、。 2.4 NFFD 基于非均勻有理B樣條(NURBS)的自由變形(NURBS-Based Free-Form Deformation，簡稱NFFD)應用了非均勻B樣條基函數。其優點為： (1)進行局部變形時無需考慮連續性條件。 (2)控制頂點是非均勻分布的，以便在物體表面變化比較復雜的區域應用較多的控制頂點。 3 結語 基于NURBS的自由變形的提出，為控制修形提供了新的思路，即可通過對簡單物體(如長方體、圓柱體和球體等)進行全局或局部變形來獲得用戶所需的復雜物體。這種通過對其參數域施加形狀約束的方法雖然具有直觀、簡捷、方便的優點，但它仍屬于間接修形的范疇，仍需要人為調節控制頂點和權因子；如果能結合某些力學特性自動地控制自由變形過程中的控制晶格頂點和權因子，自由變形的結果則會更接近于現實，這是一個值得研究的問題。 參考文獻 1 王小平，葉正麟，孟雅琴，李紅達.參數