1、階段性測試題三(導數及其應用) 本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分。滿分150分?？荚嚂r間120分鐘。第卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的。)1(2011·煙臺調研)三次函數f(x)mx3x在(，)上是減函數，則m的取值范圍是()Am<0 Bm<1Cm0 Dm1答案A解析f(x)3mx21，由條件知f(x)0在(，)上恒成立，m<0，故選A.2(文)(2011·山東淄博一中期末)曲線yx3x在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為()A1 B.C. D.答案

2、B解析yx21，曲線yx3x在點(1，)處的切線斜率ky|x1112，k2，切線方程為y2(x1)，即6x3y20，令x0得y，令y0得x，S××.(理)(2011·遼寧沈陽二中檢測)由曲線xy1，直線yx，y3所圍成的平面圖形的面積為()A. B2ln3C4ln3 D4ln3答案D解析如圖，平面圖形的面積為dyy2lny|4ln3.點評本題考查定積分求曲邊形的面積，關鍵是根據定積分的幾何意義把求解的面積歸結為函數在區間上的定積分，再根據微積分基本定理求解在把曲邊形面積轉化為定積分時，可以以x為積分變量、也可以以y為積分變量，如果是以x為積分變量，則被積函數是以x

3、為自變量的函數，如果是以y為積分變量，則被積函數是以y為自變量的函數本題如果是以x為積分變量，則曲邊形ABC的面積是不如以y為積分變量簡明3(文)(2011·陜西咸陽模擬)已知函數f(x)ax21的圖像在點A(1，f(1)處的切線l與直線8xy20平行，若數列的前n項和為Sn，則S2010的值為()A. B.C. D.答案D解析f(x)2ax，f(x)在點A處的切線斜率為f(1)2a，由條件知2a8，a4，f(x)4x21，·數列的前n項和Sn，S2010.(理)(2011·遼寧丹東四校聯考)設函數f(x)ax2b(a0)，若f(x)dx3f(x0)，則x0()A

4、±1 B.C± D2答案C解析f(x)dx(ax2b)dx9a3b.由f(x)dx3f(x0)得，9a3b3ax3b，x3，x0±.4(文)(2011·山西太原調研)曲線yx33x21在點(1，3)處的切線與坐標軸所圍成的封閉圖形的面積為()A2B3C4D5答案A解析y|x1(3x26x)|x19，切線方程為y39(x1)，即9xy60，令x0得y6，令y0得x，所求面積S×6×2，故選A.(理)(2011·寧夏銀川一中檢測)求曲線yx2與yx所圍成圖形的面積，其中正確的是()AS(x2x)dx BS(xx2)dxCS(y2

5、y)dy DS(y)dy答案B分析根據定積分的幾何意義，確定積分上、下限和被積函數解析兩函數圖象的交點坐標是(0,0)，(1,1)，故積分上限是1，下限是0，由于在0,1上，xx2，故函數yx2與yx所圍成圖形的面積S(xx2)dx.5(2011·福州市期末、河北冀州期末)已知實數a、b、c、d成等比數列，且函數yln(x2)x當xb時取到極大值c，則ad等于()A1 B0C1D2答案A分析利用導數可求b、c，由a、b、c、d成等比數列可得adbc.解析y1，令y0得x1，當2<x<1時，y>0，當x>1時，y<0，b1，cln(12)(1)1，adbc

6、1，故選A.6(2011·黃岡市期末)設aR，函數f(x)exa·ex的導函數是f(x)，且f(x)是奇函數，若曲線yf(x)的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標為()A Bln2Cln2 D.答案C解析f(x)exaex為奇函數，a1，設切點為P(x0，y0)，則f(x0)ex0ex0，ex02，x0ln2.7(2011·日照調研)下列圖象中，有一個是函數f(x)x3ax2(a21)x1(aR，a0)的導數f(x)的圖象，則f(1)的值為()A. BC. D或答案B解析f(x)x22axa21，其圖象為開口向上的拋物線，故不是第一個圖；第二個圖中，a0，f(x)x

7、21，但已知a0，故f(x)的圖象為第三個圖，f(0)0，a±1，又其對稱軸在y軸右邊，a1，f(x)x3x21，f(1)，故選B.8(2011·濰坊一中期末)設f(x)是函數f(x)的導函數，將yf(x)和yf(x)的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是()答案D解析A中，當f(x)為二次函數時，f(x)為一次函數，由單調性和導數值的符號關系知A可以是正確的，同理B、C都可以是正確的，但D中f(x)的單調性為增、減、增，故f(x)的值應為正負正，因此D一定是錯誤的9(2011·北京學普教育中心)若函數f(x)2x2lnx在其定義域內的一個子區間(k1，k1

8、)內不是單調函數，則實數k的取值范圍是()A1，) B1，)C1,2) D，2)答案B解析因為f(x)定義域為(0，)，f(x)4x，由f(x)0，得x.據題意，解得1k<，選B.10(2011·江西吉安質檢)已知曲線方程f(x)sin2x2ax(aR)，若對任意實數m，直線l：xym0都不是曲線yf(x)的切線，則a的取值范圍是()A(，1)(1,0)B(，1)(0，)C(1,0)(0，)DaR且a0，a1答案B解析若存在實數m，使直線l是曲線yf(x)的切線，f(x)2sinxcosx2asin2x2a，方程sin2x2a1有解，1a0，故所求a的取值范圍是(，1)(0，)

9、，選B.11(2011·彭州中學月考)若關于x的不等式x33x29x2m對任意x2,2恒成立，則m的取值范圍是()A(，7 B(，20C(，0 D12,7答案B解析令f(x)x33x29x2，則f (x)3x26x9，令f (x)0得x1或x3(舍去)f(1)7，f(2)0，f(2)20.f(x)的最小值為f(2)20，故m20，綜上可知應選B.12(2011·蚌埠二中質檢)定義在R上的函數f(x)滿足f(4)1，f(x)為f(x)的導函數，已知函數yf(x)的圖象如圖所示若兩正數a，b滿足f(2ab)<1，則的取值范圍是()A. B.(3，)C. D(，3)答案C解

10、析由yf(x)的圖象知，x>0時，f(x)>0，x<0時，f(x)<0，yf(x)在(，0)上單調遞減，在(0，)上單調遞增，兩正數a，b滿足f(2ab)<1且f(4)1，2ab<4，如圖，表示點A(2，2)與線段BC上的點連線的斜率，其中B(2,0)，C(0,4)，kAB，kAC3，a>0，b>0，<<3.第卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)13(2011·四川廣元診斷)曲線yxex2x1在點(0,1)處的切線方程為_答案y3x1解析yexxex2，y|x0

11、3，切線方程為y13(x0)，即y3x1.14(文)(2011·廣東省高州長坡中學期末)函數f(x)1log2x，f(x)的反函數為g(x)，則g(2)_.答案2ln2解析由y1log2x得x2y1，f(x)的反函數為g(x)2x1，g(x)2x1ln2，g(2)2ln2.(理)(2011·遼寧沈陽二中檢測)如圖，函數yf(x)的圖象在點P處的切線方程是yx8，則f(5)f(5)_.答案2解析f(5)f(5)(58)(1)2.15(文)函數yx3ax2x2a在R上不是單調函數，則a的取值范圍是_答案(，1)(1，)解析yx22ax1，若函數在R上單調，應有y0恒成立，4a2

12、40，a21，1a1，因此所求a的取值范圍是(，1)(1，)(理)(2011·安徽巢湖質檢)定積分|32x|dx_答案解析|32x|dx21.5(2x3)dx2(x23x)|2×.16(2011·湖南長沙一中期末)對于三次函數f(x)ax3bx2cxd(a0)，定義：設f(x)是函數yf(x)的導數yf(x)的導數，若方程f(x)0有實數解x0，則稱點(x0，f(x0)為函數yf(x)的“拐點”有同學發現“任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；且拐點就是對稱中心”請你將這一發現為條件，求(1)函數f(x)x33x23x對稱中心為_(2)若函數g(

13、x)x3x23x，則ggggg_.答案(1)(1,1)(2)2010解析(1)f(x)3x26x3，f(x)6x6，令6x60得x1，f(1)1，f(x)的對稱中心為(1,1)(2)令h(x)x3x23x，k(x)，h(x)x2x3，h(x)2x1，由2x10得x，h×3×23×1，h(x)的對稱中心為，h(x)h(1x)2，x，.又k(x)的對稱中心為，k(x)k(1x)0，x，.ggghhhkkk2010.三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17(本小題滿分12分)(文)(2011·山西太原調研)已知函數f

14、(x)x3ax2(a21)xb(a，bR)，其圖象在點(1，f(1)處的切線方程為xy30.(1)求a，b的值；(2)求函數f(x)的單調區間，并求出f(x)在區間2,4上的最大值解析(1)f(x)x22axa21，(1，f(1)在xy30上，f(1)2，(1,2)在yf(x)上，2aa21b，又f(1)1，a22a10，解得a1，b.(2)f(x)x3x2，f(x)x22x，由f(x)0可知x0和x2是f(x)的極值點，所以有x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)· 極大值極小值所以f(x)的單調遞增區間是(，0)和(2，)，單調遞減區間是(0,2)f(0)，f(2)

15、，f(2)4，f(4)8，在區間2,4上的最大值為8.(理)(2011·淄博期末)定義在R上的函數f(x)ax3bx2cx3同時滿足以下條件：f(x)在(0,1)上是減函數，在(1，)上是增函數；f(x)是偶函數；f(x)在x0處的切線與直線yx2垂直(1)求函數yf(x)的解析式；(2)設g(x)lnx，若存在實數x1，e，使g(x)<f(x)，求實數m的取值范圍解析(1)f(x)3ax22bxc，f(x)在(0,1)上是減函數，在(1，)上是增函數，f(1)3a2bc0由f(x)是偶函數得：b0又f(x)在x0處的切線與直線yx2垂直，f(0)c1由得：a，b0，c1，即f

16、(x)x3x3.(2)由已知得：存在實數x1，e，使lnx<x21即存在x1，e，使m>xlnxx3x設M(x)xlnxx3xx1，e，則M(x)lnx3x22設H(x)lnx3x22，則H(x)6xx1，e，H(x)<0，即H(x)在1，e上遞減于是，H(x)H(1)，即H(x)1<0，即M(x)<0M(x)在1，e上遞減，M(x)M(e)2ee3于是有m>2ee3為所求18(本小題滿分12分)(2011·四川資陽模擬)函數f(x)ax36ax23bxb，其圖象在x2處的切線方程為3xy110.(1)求函數f(x)的解析式；(2)若函數yf(x)

17、的圖象與yf(x)5xm的圖象有三個不同的交點，求實數m的取值范圍；(3)是否存在點P，使得過點P的直線若能與曲線yf(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積相等？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由解析(1)由題意得f(x)3ax212ax3b，f(2)3且f(2)5，即解得a1，b3，f(x)x36x29x3.(2)由f(x)x36x29x3可得，f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m，則由題意可得x36x29x3x2x3m有三個不相等的實根，即g(x)x37x28xm的圖象與x軸有三個不同的交點，g(x)3x214x8(3x2)(x4)，則g

18、(x)，g(x)的變化情況如下表.4(4，)g(x)00g(x)極大值極小值· 則函數f(x)的極大值為gm，極小值為g(4)16m.yf(x)的圖象與yf(x)5xm的圖象有三個不同交點，則有解得16<m<.(3)存在點P滿足條件f(x)x36x29x3，f(x)3x212x93(x1)(x3)，由f(x)0，得x11，x23.當x<1時，f(x)>0；當1<x<3時，f(x)<0；當x>3時，f(x)>0.可知極值點為A(1,7)，B(3,3)，線段AB中點P(2,5)在曲線yf(x)上，且該曲線關于點P(2,5)成中心對稱證

19、明如下：f(x)x36x29x3，f(4x)(4x)36(4x)29(4x)3x36x29x7，f(x)f(4x)10，上式表明，若點A(x，y)為曲線yf(x)上任一點，其關于P(2,5)的對稱點A(4x,10y)也在曲線yf(x)上，曲線yf(x)關于點P(2,5)對稱故存在點P(2,5)，使得過該點的直線若能與曲線yf(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積相等19(本小題滿分12分)(2011·煙臺調研)已知函數f(x)ax3bx2的圖象經過點M(1,4)，曲線在點M處的切線恰好與直線x9y0垂直，(1)求實數a、b的值；(2)若函數f(x)在區間m，m1上單調遞增，求

20、m的取值范圍解析(1)f(x)ax3bx2的圖象經過點M(1,4)，ab4.f(x)3ax22bx，則f(1)3a2b，由條件f(1)·()1，即3a2b9，由式解得a1，b3.(2)f(x)x33x2，f(x)3x26x，令f(x)3x26x0得x0或x2，f(x)的單調遞增區間為(，2和0，)由條件知m0或m12，m0或m3.20(本小題滿分12分)(2011·廈門期末)已知函數f(x)，(aR)(1)若函數f(x)在x1處取得極值，求實數a的值；(2)在(1)條件下，若直線ykx與函數yf(x)的圖象相切，求實數k的值解析(1)f(x)，f(x)，函數f(x)在x1處

21、取得極值，f(1)a10，a1經檢驗，a1時，函數f(x)在x1處取得極值(2)由(1)可知，a1，f(x)，f(x)，設切點A，kf(x0)又kkOA，lnx0，x0e，k.21(本小題滿分12分)(2011·華安、連城、永安、漳平、龍海、泉港六校聯考)已知函數f(x)x3ax2b的圖象在點P(1,0)處的切線與直線3xy0平行(1)求常數a，b的值；(2)求函數f(x)在區間0，m上的最小值和最大值(m>0)解析(1)f(x)3x22axf(1)32a3，a3f(1)ab10，b2.(2)f(x)x33x22，f(x)3x26x令f(x)0得，x10，x22，當x<0

22、或x>2時，f(x)>0，當0<x<2時，f(x)<0，f(x)增區間為(，0)和(2，)，減區間為(0,2)，f(0)2，令f(x)x33x222得x0或x3.f(0)f(3)2，當0m2時f(x)minf(m)m33m22f(x)maxf(0)2當2<m3時f(x)minf(2)2f(x)maxf(0)2當m>3時f(x)minf(2)2f(x)maxf(m)m33m22.22(本小題滿分12分)(文)已知函數f(x)x33ax23a2a(a>0)(1)求函數f(x)的單調區間；(2)若曲線yf(x)上有兩點A(m，f(m)、B(n，f(n)處的切線都與y軸垂直，且函數yf(x)在區間m，n上存在零點，求實數a的取值范圍解析(1)f(x)3x26ax3x(x2a)令f(x)0，得x10，