1、一、圓的概念集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合； 2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合； 3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；（補(bǔ)充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）； 3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線； 4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線； 5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相

2、等的一條直線。二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓上；3、點(diǎn)在圓外 點(diǎn)在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離 無交點(diǎn)；2、直線與圓相切 有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交 有兩個(gè)交點(diǎn)；四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1） 無交點(diǎn) ；外切（圖2） 有一個(gè)交點(diǎn) ；相交（圖3） 有兩個(gè)交點(diǎn) ；內(nèi)切（圖4） 有一個(gè)交點(diǎn) ；內(nèi)含（圖5） 無交點(diǎn) ；五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧； （2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧； （3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，

3、并且平分弦所對(duì)的另一條弧 以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：是直徑 弧弧 弧弧中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在中，弧弧六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，即：； 弧弧七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：和是弧所對(duì)的圓心角和圓周角2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等

4、的圓周角所對(duì)的弧是等弧；即：在中，、都是所對(duì)的圓周角推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。即：在中，是直徑 或是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在中，是直角三角形或注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。 即：在中，四邊形是內(nèi)接四邊形九、切線的性質(zhì)與判定定理（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：且過半徑

5、外端是的切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。 推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。十、切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：、是的兩條切線平分十一、圓冪定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在中，弦、相交于點(diǎn)，（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在中，直徑，（3）切割線定理：從

6、圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即：在中，是切線，是割線（4）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等（如上圖）。即：在中，、是割線十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖：垂直平分。即：、相交于、兩點(diǎn)垂直平分十三、圓的公切線兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式：（1）公切線長(zhǎng)：中，；（2）外公切線長(zhǎng)：是半徑之差； 內(nèi)公切線長(zhǎng)：是半徑之和 。十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形 在中是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，；（3）正六邊形同

7、理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：；（2）扇形面積公式： ：圓心角 ：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑 ：扇形弧長(zhǎng) ：扇形面積2、圓柱： （1）圓柱側(cè)面展開圖=（2）圓柱的體積：（2）圓錐側(cè)面展開圖（1）=（2）圓錐的體積：十六、知識(shí)框圖：【典型例題】例1. 爆破時(shí)，導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒，點(diǎn)導(dǎo)火索的人需要跑到離爆破點(diǎn)120m以外的安全區(qū)域。這個(gè)導(dǎo)火索的長(zhǎng)度為18cm，那么點(diǎn)導(dǎo)火索的人每秒鐘跑是否安全？分析：爆破時(shí)的安全區(qū)域是以爆破點(diǎn)為圓心，以120m為半徑的圓的外部，如圖所示：解：點(diǎn)導(dǎo)火索的人非常安全例2. 已知梯形ABCD內(nèi)接于O，ABCD，

8、O的半徑為4，AB6，CD2，求梯形ABCD的面積。分析：要求梯形面積必須先求梯形的高，即弦AB、CD間距離，為此要構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求高。為了便于運(yùn)用垂徑定理，故作OECD于E，延長(zhǎng)EO交AB于F，證OFAB。此題容易出現(xiàn)丟解的情況，要注意分情況討論。解：分兩種情況討論：（1）當(dāng)弦AB、CD分別在圓心O的兩側(cè)時(shí)，如圖（1）：過O作OECD于E，延長(zhǎng)EO交AB于F連OC、OB，則CEDEABCD，OECDOFAB，即EF為梯形ABCD的高在RtOEC中，EC1，OC4（2）當(dāng)弦AB、CD在圓心O的同側(cè)時(shí)，如圖（2）：過O作OECD于E，交AB于F以下證法同（1），略。圓練習(xí)一、填空題1

9、、已知O1和O2的半徑分別為2和3，兩圓相交于點(diǎn)A、B，且AB2，則O1O2_2、已知四邊形ABCD是O的外切等腰梯形，其周長(zhǎng)為20，則梯形的中位線長(zhǎng)為_3、如圖，在ABC中，ABAC，C72°，O過A、B兩點(diǎn)，且與BC切于點(diǎn)B，與AC交于D，連結(jié)BD，若BC1，則AC_4、用鐵皮制造一個(gè)圓柱形的油桶，上面有蓋，它的高為80厘米，底面圓的直徑為50厘米，那么這個(gè)油桶需要鐵皮（不計(jì)接縫）     厘米2（不取近似值）5、已知兩圓的半徑分別為3和7，圓心距為5，則這兩個(gè)圓的公切線有_條6、如圖，以AB為直徑的O與直線CD相切于點(diǎn)E，且AC

10、CD，BDCD，AC8 cm，BD2 cm，則四邊形ACDB的面積為_7、如圖，PA、PB、DE分別切O于A、B、C，O的半徑長(zhǎng)為6 cm，PO10 cm，則PDE的周長(zhǎng)是_圖中知，CMR8，MDR8，8、一個(gè)正方形和一個(gè)正六邊形的外接圓半徑相等，則此正方形與正六邊形的面積之比為_9、如圖，已知PA與圓相切于點(diǎn)A，過點(diǎn)P的割線與弦AC交于點(diǎn)B，與圓相交于點(diǎn)D、E，且PAPBBC，又PD4，DE21，則AB_二、選擇題10、有4個(gè)命題：直徑相等的兩個(gè)圓是等圓；長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧；圓中最大的弧是過圓心的弧；一條弦把圓分為兩條弧，這兩條弧不可能是等弧其中真命題是（  

11、0; ）（A）   （B）   （C）   （D）11、如圖，點(diǎn)I為ABC的內(nèi)心，點(diǎn)O為ABC的外心，O140°，則I為（   ）（A）140°   （B）125°   （C）130°    （D）110°12、如果正多邊形的一個(gè)外角等于60°，那么它的邊數(shù)為（    ）（A）4      

12、0;  （B）5       （C）6        （D）7 13、如圖，AB是O的弦，點(diǎn)C是弦AB上一點(diǎn)，且BCCA21，連結(jié)OC并延長(zhǎng)交O于D，又DC2厘米，OC3厘米，則圓心O到AB的距離為（    ）（A）厘米     （B）厘米     （C）2厘米     （D）3厘米14、等邊三角形

13、的周長(zhǎng)為18，則它的內(nèi)切圓半徑是（    ）（A）6    （B）3     （C）     （D）15、如圖，O的弦AB、CD相交于點(diǎn)P，PA4厘米，PB3厘米，PC6厘米，EA切O于點(diǎn)A，AE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AE2厘米，則PE的長(zhǎng)為（    ）（A）4厘米    （B）3厘米    （C）厘米    （D）厘米16、一個(gè)扇形的

14、弧長(zhǎng)為20p 厘米，面積是240p 厘米2，則扇形的圓心角是（    ）（A）120°    （B）150°    （C）210°    （D）240°17、兩圓半徑之比為23，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距是4厘米，當(dāng)兩圓外切時(shí)，圓心距為（    ）（A）5厘米    （B）11厘米    （C）14厘米    （D）20厘米

15、18、一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓周角是（    ）（A）60°    （B）90°    （C）120°    （D）180°19、如圖，等腰直角三角形AOB的面積為S1，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的弧與以AB為直徑的半圓圍成的圖形的面積為S2，則S1與S2的關(guān)系是（    ）（A）S1S2    （B）S1S2   

16、 （C）S1S2    （D）S1S2 三、解答題20、如圖，在ABCD中，AB4，AD2，BDAD，以BD為直徑的O交AB于E，交CD于F，則ABCD被O截得的陰影部分的面積為_21、如圖，ABC內(nèi)接于O，AB的延長(zhǎng)線與過C點(diǎn)的切線GC相交于點(diǎn)D，BE與AC相交于點(diǎn)F，且CBCE，求證：（1）BEDG；（2）CB2CF2BF·FE22、如圖，O表示一個(gè)圓形工件，圖中標(biāo)注了有關(guān)尺寸，且MBMA14，求工件半徑的長(zhǎng)23、已知：如圖（1），O1與O2相交于A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過A點(diǎn)的直線分別交O1、O2于C、D兩點(diǎn)（C、D不與B重合），連結(jié)BD，過點(diǎn)C作BD的平行

17、線交O1于點(diǎn)E，連BE（1）求證：BE是O2的切線；（2）如圖（2）若兩圓圓心在公共弦AB的同側(cè)，其他條件不變，判斷BE和O2的位置關(guān)系（不要求證明）     24、如圖，已知CP為O的直徑，AC切O于點(diǎn)C，AB切O于點(diǎn)D，并與CP的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)B，又BD2 BP求證：（1）PC3 PB；（2）ACPC圓參考答案一、填空題1、當(dāng)兩圓在AB的兩側(cè)時(shí)，設(shè)O1O2交AB于C，則O1O2AB，且ACBC， AC1在RtAO2C中，O2C2；在RtAO1C中，O1C O1O22當(dāng)兩圓在AB的同側(cè)時(shí)，同理可求O1O22 【答案】2&#

18、177;2、圓外切四邊形的兩組對(duì)邊之和相等，則上、下底之和為10，故中位線長(zhǎng)為5【答案】53、在ABC中，ABAC，則 ABCACB72°， BAC36°又 BC切O于B， ADBC36° BDC72° ABD72°36°36° ADBDBC易證CBDCAB， BC2CD·CA ADBDBC， CDACADACBC BC2（ACBC）·CA解關(guān)于AC的方程，得ACBC AC·（

19、1）2【答案】24、鐵皮的面積即圓柱的側(cè)面積與兩底的面積的和底面圓面積為p·502625p（厘米2），底面圓周長(zhǎng)為p×5050p（厘米），則鐵皮的面積為2×625p80×50p5250p（厘米2）【答案】5250p厘米25、  73573，  兩圓相交，  外公切線有2條，內(nèi)公切線有0條【答案】26、設(shè)AC交O于F，連結(jié)BF AB為O的直徑， AFB90°連結(jié)OE，則OECD， ACOEBD  點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)， E為CD的中點(diǎn) OE（BDAC）（82）5

20、（cm） AB2×510（cm）在RtBFA中，AFCABD826（cm），AB10 cm， BF8（cm）  四邊形ACDB的面積為（28）·840（cm2）【答案】40 cm27、連結(jié)OA，則OAAP在RtPOA中，PA8（cm）由切線長(zhǎng)定理，得EAEC，CDBD，PAPB， PDE的周長(zhǎng)為PEDEPDPEECDCPD，PEEAPDDBPAPB16（cm）【答案】16 cm8、設(shè)兩正多邊形的外接圓半徑為R，則正方形面積為4×·R22 R2，正六邊形的面積為6×R2R2，所以它們的比為2 R2：R249

21、【答案】499、由切割線定理，得 PA2PD·PE PA10 PBBC10 PEPDDE25， BE251015 DB21156由相交弦定理，得 AB·BCBE·BD AB·1015×6 AB9【答案】9二、選擇題10、長(zhǎng)度相等的兩弧不一定是等弧，故不對(duì)；當(dāng)弦是直徑時(shí)，直徑把圓分為兩個(gè)半圓，它們是等弧，故不對(duì)【答案】A 11、因點(diǎn)O為ABC的外心，則BOC、A分別是所對(duì)的圓心角、圓周角，所以O(shè)2A，故A×140°70°又因?yàn)镮

22、為ABC的內(nèi)心，所以I90°A90°×70°125°【答案】B12、正多邊形的外角等于它的中心角，所以60°，故n6【答案】C13、延長(zhǎng)DO交O于E，過點(diǎn)O作OFAB于F，則CE8厘米由相交弦定理，得DC·CEAC·CB，所以AC·2 AC2×8，故AC2（厘米），從而BC4厘米由垂徑定理，得AFFB（24）3（厘米）所以CF32（厘米）在RtCOF中，          OF（厘米）【答案】C14、等邊三

23、角形的邊長(zhǎng)為6，則它的面積為×629又因?yàn)槿切蔚拿娣e等于內(nèi)切圓的半徑與三角形的周長(zhǎng)的積的一半，所以9r·18（r為內(nèi)切圓半徑）解此方程，得r【答案】C15、由相交弦定理，得PA·PBPD·PC  4×3PD·6 PD2（厘米）由切割線定理，得  AE2ED·EC （2）2ED·（ED26）解此方程得ED2或ED10（舍去） PE224（厘米）【答案】A16、設(shè)扇形的圓心角為n度，半徑為R，則解方程組得【答案】B17、設(shè)兩圓半徑分別為2 x、3 x厘米，則內(nèi)切時(shí)有3

24、 x2 x4，所以x4于是兩圓半徑分別為8厘米、12厘米故外切時(shí)圓心距為20厘米【答案】D18、設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為a，圓心角度數(shù)為n，底面圓的半徑為r，則解此方程組，得 n180【答案】D19、設(shè)OAa，則S1a2，弓形ACB的面積pa2a2在RtAOB中，ABa，則以AB為直徑的半圓面積為·p·（）2p·（a）2pa2則S2pa2（pa2a2）a2【答案】C三、簡(jiǎn)答題20、連結(jié)OE、DE ADBD，且AB4，AD2， DBA30°，且BD6 BD為直徑， DEB90° DEBD

25、3;sin 30°6×3，BE6×3 SDEB×3×3 O為BD的中點(diǎn)， SBOESDEB DOBD3，DOE2×30°60°， S陰影2（SADBS扇形DOESEOB）2（×2×6p·32）3p【答案】21、【略證】（1） CG為O的切線， EBCGCE CBCE，  EBCE EGCE GCEB（2） EBCEA，F(xiàn)CBO為公共角， CBFCAB CB2CF·CACF·（CFAF）CF2CF·AF由相交弦定理，得 CF·FABF·FE， CB2CF2BF·FE即 CB2CF2BF·FE22、把OM向兩方延長(zhǎng)，分別交O于C、D兩點(diǎn)設(shè)O的半徑為R從圖中知，AB15 cm又 MBMA14， MB×153（cm），MA12 cm從圖中知，CMR8，MDR8，由相交弦定理，得 AM·BMCM·MD