1、一、基礎知識1.全等圖形的有關概念（1）全等圖形的定義能夠完全重合的兩個圖形就是全等圖形。例如：圖13-1和圖13-2就是全等圖形 圖13-1 圖13-2（2）全等多邊形的定義兩個多邊形是全等圖形，則稱為全等多邊形。例如：圖13-3和圖13-4中的兩對多邊形就是全等多邊形。 圖13-3 圖13-4（3）全等多邊形的對應頂點、對應角、對應邊兩個全等的多邊形，經過運動而重合，相互重合的頂點叫做對應頂點，相互重合的邊叫做對應邊，相互重合的角叫做對應角。（4）全等多邊形的表示例如：圖13-5中的兩個五邊形是全等的，記作五邊形ABCDE五邊形ABCDE（這里符號“”表示全等，讀作“全等于”）。ABBAC

2、CEDED 圖13-5表示圖形的全等時，要把對應頂點寫在對應的位置。（5）全等多邊形的性質全等多邊形的對應邊、對應角分別相等。（6）全等多邊形的識別多邊形相等、對應角相等的兩個多邊形全等。2.全等三角形的識別（1）根據定義若兩個三角形的邊、角分別對應相等，則這兩個三角形全等。（2）根據SSS如果兩個三角形的三條邊分別對應相等，那么這兩個三角形全等。相似三角形的識別法中有一個與（SSS）全等識別法相類似，即三條邊對應成比例的兩個三角形相似，而相似比為1時，就成為全等三角形。（3）根據SAS如果兩個三角形有兩邊機器夾角分別對應相等，那么這兩個三角形全等。相似三角形的識別法中同樣有一個是與（SAS）

3、全等識別法相類似，即一角對應相等而夾這個角的兩邊對應成比例的兩個三角形相似，當相似比為1時，即為全等三角形。（4）根據ASA如果兩個三角形的兩個角及其夾邊分別對應相等，那么這兩個三角形全等。（5）根據AAS如果兩個三角形有兩個角及其中一角的對邊分別對應相等，那么這兩個三角形全等。3.直角三角形全等的識別（1）根據HL如果兩個直角三角形的斜邊及一條直角邊分別對應相等，那么這兩個直角三角形全等。（2）SSS、SAS、ASA、AAS對于直角三角形同樣適用。判斷兩個直角三角形全等的方法可分為：已知一銳角和一邊或已知兩邊。4.證明三角形全等的方法證明三角形全等的一般方法有四種：“SSS”、“SAS”、“

4、ASA”、“AAS”。每一種都有給出三個獨立的條件，在具體問題中，題設往往只給出一個或兩個條件，其余的需要我們自己去發掘和證明。判定方法的選擇：已知條件可選擇的判定方法一邊對應一角對應相等SAS AAS ASA兩角對應相等ASA AAS兩邊對應相等SAS SSS具體地說，證明角相等的常用方法有：對頂角相等；兩直線平行，同位角、內錯角相等；同角（或對角）的余角（補角）相等；角平分線平分的兩角相等；角的等量代換等。證明線段相等的方法有：同一線段；中點的定義；平行四邊形的對邊；等腰三角形的兩腰；邊的等量代換等。為什么“AAA”和“SSA”不能判定兩個三角形全等？這是因為有三個角相等，但邊不一定相等，

5、則三角形不一定全等，如圖13-6，可以看出ABC不全等于ADE；同樣，如果兩邊及其中一邊的對角相等，也不能確定三角形全等，如圖13-7，AB=AB,AC=AD,B=B，但ABC與ABD不全等。AAEDCBDCB 圖13-6 圖13-75.證明兩個三角形全等如何入手證明兩個三角形全等一般采用“綜合法”與“分析法”兩種。（1）綜合法，就是從已知條件入手，進行推理，逐步向要證的結論推進，如從已知條件中推導出對應邊或對應角相等，從而推導出三角形全等。同時，也可以從三角形全等推導出對應邊、對應角的相等，達到正題的目的。（2）分析法，即從欲證的結論出發，分析結論成立的必需條件，各種條件聯系已知，尋找它們之

6、間的關系，逐步靠攏已知條件，從而分析出已知與結論的因果關系。證題時，分析法與綜合法結合起來使用更加有效，證三角形全等時，既要有明顯的已知條件，又要有隱藏的條件，通過綜合法羅列已知條件，再通過分析法找出隱藏條件，從而得證。二、經典例題例1：（1）已知一個三角形有兩邊的長分別為2cm，13cm，又知這個三角形的周長為偶數，求第三邊長。（2）在ABC中，已知A+C=2B,C-A=80，求 C。考點透視（1）考察三邊關系的應用；（2）考察三角形內角和定理參考答案解：（1）設第三邊為xcm，則即周長的范圍是即又L為偶數即第三邊長為13cm（2）又由得例2：已知，在ABC中，AD是角平分線，于E，求：和考

7、點透視考察三角形內角和定理及推論、角平分線、高線的性質參考答案解：由三角形內角和定理，得又AD平分（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）在中（直角三角形的兩個銳角互余）例3：已知：在和中于D，于D，且求證：考點透視如果兩個三角形有兩個角和這兩個角夾邊的高對應相等，那么這兩個三角形全等。參考答案證明：在和中（全等三角形對應邊相等）在和中三適時訓練（一）精心選一選1在ABC中，A:B:C=1:2:3，且ABCDEF，BC=EF，點A的對應頂點是D，下列說法正確的是（ ）A. C與F互余 B. C與D互余 C. B與F互余 D. A與E互余2如圖，ABC中，AB=AC，CE、BD分別是AB

8、、AC邊上的中線，AMCE于M，ANBD于N，則圖中全等三角形共有（ ）A. 3對 B. 4對 C. 5對 D. 6對3如圖，ACD中，ABCD且BDCB，BCE和ABD都是等腰Rt，下列結論ABCDBE；ACBABD；CBEBED；ACEADE；正確的是（ ）A. B. C. D. 4如圖，ABE和ADC是ABC分別沿AB，AC邊翻折180形成的，若1:2:3=28:5:3，則度數為（ ）A. 60 B. 70 C. 80 D. 905下列命題正確的是（ ）A. 兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等B. 有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等C. 有兩邊和其中一邊的對角對應相等

9、的兩個三角形全等D. 一條直角邊和斜邊上的高對應相等的兩個Rt全等6.在ABC內部取一點P使得點P到ABC的三邊距離相等，則點P應是ABC的哪三條線交點（ ）（A）高 （B）角平分線 （C）中線 （D）垂直平分線已知7.下列條件能判定ABCDEF的一組是 （ ）（A）A=D， C=F， AC=DF （B）AB=DE， BC=EF， A=D （C）A=D， B=E， C=F（D）AB=DE，ABC的周長等于DEF的周長（二）細心填一填1如圖2-1，一長方形ABCD紙片，以EF為折痕折疊，點B落在點M，EN是MEC的角平分線，則FEN=2如圖2-2，在ABC中，BAC:ABC:ACB=3:5:10

10、，且ABC，則1:2=3如圖2-3，若ABCADE，E=C，1=20，則2= 4如圖2-4，在正方形ABCD中，E是AD中點，F是BA延長線上一點，AB=2AF，在圖中可通過 （填“平移”，“翻折”，或“旋轉”）使ABE變到ADF的位置，這時BE與DF之間的位置關系是5如圖2-5，ABC中，C=90，AC=BC，AD平分CAB，DEAB于E，若AB=4cm，則BDE的周長是6. 已知，如圖2-6，AD=AC，BD=BC，O為AB上一點，那么，圖中共有對全等三角形7. 如圖2-7，ABCADE，則，AB= ，E=若BAE=120，BAD=40，則BAC=8. 在ABC和ABD中，C=D=90，若

11、利用“AAS”證明ABCABD，則需要加條件 或； 若利用“HL”證明ABCABD，則需要加條件，或9. 把兩根鋼條AA?、BB?的中點連在一起，可以做成一個測量工件內槽寬的工具（卡鉗）， 如圖2-9， 若測得AB=5厘米，則槽寬為米。10. 工人師傅砌門時，如圖所示，常用木條EF固定矩形木框ABCD，使其不變形，這是利用，用菱形做活動鐵門是利用四邊形的。 圖2-1 圖2-2 圖2-3 圖2-4 圖2-5 圖2-6 圖2-7 圖2-9 圖2-10三、認真答一答1如圖，AB=AD，AC=AE，且DAB=CAE，BE與CD交于點P，AP的延長線交BC于F，試判斷BPF與CPF的關系，并加以證明。2

12、如圖，AM為ABC的中線，AEAB，AFAC，且AE=AB，AF=AC，MA的延長線交EF于點P，求證：APEF。3.已知：如圖，C 為 BE上一點，點A 分別在BE 兩側.ABED,AB=CE,BC=ED.求證:AC=CD.ACEDB4已知：如圖，OP是AOC和BOD的平分線，OA=OC，OB=OD.求證：AB=CD5我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形。（1）請寫出一個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；（2）如圖，在中，點、分別在、上，設、相交于，若，請你寫出圖中一個與相等的角，并猜想圖中哪個四邊形是等對邊

13、四邊形；（3）在中，如果是不等于60的銳角，點、分別在、上，且，探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結論.6.已知：如圖，BD為平行四邊形ABCD的對角線，O為BD的中點，EFBD于點O，與AD、BC分別交于點E、F。求證：DE=DF。7如圖，在O中，D、E分別為半徑OA、OB上的點，且ADBE點C為弧AB上一點，連接CD、CE、CO，AOCBOC求證：CDCE8如圖，已知在ABC中AB=AC，D為BC邊的點D作DEAB,DFAC,垂足分別為E、F。（1）求證：BEDCFD;（2）若A=90，求證：四邊形DFAE是正方形。9如圖，已知ABC為等邊三角形，點D、E分別在BC

14、、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點F (1)求證：ABECAD； (2)求BFD的度數10. 八（1）班同學到野外上數學活動課，為測量池塘兩端A、B的距離，設計了如下方案：（）如圖1，先在平地上取一個可直接到達A、B的點C，連接AC、BC，并分別延長AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后測出DE的距離即為AB的長；（）如圖2，先過B點作AB的垂線BF，再在BF上取C、D兩點使BC=CD，接著過D作BD的垂線DE，交AC的延長線于E，則測出DE的長即為AB的距離. 圖1 圖2閱讀后回答下列問題：（1）方案（）是否可行？請說明理由。（2）方案（）是否可行？請說明理由。 （3）

15、方案（）中作BFAB，EDBF的目的是；若僅滿足ABD=BDE90，方案（）是否成立？ .11.已知，如圖AB/CD，BE、CE分別是、的平分線，點E在AD上，求證：EFMBCPNDABEDCF12. 一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如圖所示形式，使點B，F，C，D在同一條直線上（1）求證：ABED（2）若PBBC，請找出圖中與此條件有關的一對全等三角形，并給予證明13如圖，在ABCD中，對角線AC、BD相交于點O. 請找出圖中的一對全等三角形，并給予證明.14. 如圖，直線l切O于點A，點P為直線l上一點，直線PO交O于點C、B，點D在線段AP上，連結D

16、B，且AD=DB（1）求證：DB為O的切線（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的長.15. 已知：如圖，直徑為的與軸交于點點把分為三等份，連接并延長交軸于點 （1）求證：； （2）若直線：把的面積分為二等份，求證：yxCBAMO421316.如圖，四邊形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等邊三角形，且點P在矩形上方，點Q在矩形內求證：（1）PBA=PCQ=30；（2）PA=PQACBDPQ17.如圖，是的外接圓，點在上，點是垂足，連接DBAOC求證：是的切線18.是等邊三角形，點是射線上的一個動點（點不與點重合），是以為邊的等邊三角形，過點作的平行線，分別交射線于點，連接（1）如圖（a）所示

17、，當點在線段上時求證：；探究四邊形是怎樣特殊的四邊形？并說明理由；（2）如圖（b）所示，當點在的延長線上時，直接寫出（1）中的兩個結論是否成立？（3）在（2）的情況下，當點運動到什么位置時，四邊形是菱形？并說明理由AGCDBFE圖（a）ADCBFEG圖（b）19.如圖，在上，ABCFE求證：20. 如圖，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于點O.求證：(1) ABCAED； (2) OBOE .21. 如圖，在RtABC中，C=90，以BC為直徑作O交AB于點D，取AC的中點E，連結DE、OEBADOC（1）求證：DE是O的切線；（2）如果O的半徑是cm，ED=2cm

18、，求AB的長22. 如圖 ，ABCD是正方形G是 BC 上的一點，DEAG于 E，BFAG于 F （1）求證：； ADEFCG（2）求證：23.如圖9，若ABC和ADE為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點，易證：CD=BE，AMN是等邊三角形 （1）當把ADE繞A點旋轉到圖10的位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；（4分） （2）當ADE繞A點旋轉到圖11的位置時，AMN是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，并求出當AB=2AD時，ADE與ABC及AMN的面積之比；若不是，請說明理由。24. 如圖9，P是BAC內的一點，垂足分別為點求證：（1）；（2）點P在B

19、AC的角平分線上 25. 已知：如圖，在RtABC和RtBAD中，AB為斜邊，AC=BD，BC，AD相交于點E(1) 求證：AE=BE；(2) 若AEC=45，AC=1，求CE的長 參考答案（一）精心選一選1. D 2. C 3. B 4. C 5. D（二）細心填一填1. 90 2. 1:4 3. 20 4. 旋轉；垂直 5. 4cm 6.3 7.AD，C，808.CAB=DAB，CBA=DBA，AC=AD，BC=BD 9.5厘米 10.三角形的穩定性，不穩定性（三）認真答一答1. 相等，過A作AMDC，ANBE，證明DACBAE，所以利用全等三角形的對應高相等得到AM=AN，所以BPF=C

20、PF2. 延長AM至N，使MN=AM，證明AMCNMB，所以AC=NB，再證明EAFABN，得到E=BAN，因為BAN+EAP=90，所以E+EAP=90，所以APEF3證明：， 在和中，4、證明：OP是AOC和BOD的平分線，在和中，5、解：（1）平行四邊形、等腰梯形等滿足條件的即可（2）與A相等的角是BOD（或COE）四邊形DBCE是等對邊四邊形.（3）此時存在等對邊四邊形DBCE.證明1：如圖，作CGBE于G點，作BFCD交CD的延長線于F點. DCB=EBC=A，BC為公共邊BGCCFBBF=CGBDF=ABC+DCB=ABE+EBC+DCB=ABE+AGEC=ABE+ABDFCEGB

21、D=CE故四邊形DBCE是等對邊四邊形.證明2：如圖，在BE上取一點F，使得BF=CD，連接CF.易證BCDCBF，故BD=CF，FCB=DBC. CFE=FCB+CBF=DBC+CBF=ABE+2CBF=ABE+ACEF=ABE+ACF=CEBF=CE故四邊形DBCE是等對邊四邊形.6證法一：在平行四邊形ABCD中，AD/BCOBF=ODEO為BD的中點OB=OD在BOF和DOE中BOFDOEOF=OEEFBD于點ODE=DF證法二：O為BD的中點BO=DOEFBD于點OBF=DFBFO=DFO在平行四邊形ABCD中，AD/BCBFO=DEODEO=DFODE=DF7證明：OA=OB AD=

22、BEOA-AD=OB-BE即OD=OE在ODC和OEC中ODCOECCD=CE8 （1）DEAB,DFAC,BED=CFD=90,AB=AC,B=C,D是BC的中點,BD=CDBEDCFD.（2）DEAB,DFACAED=AFD=90A=90四邊形DFAE為矩形BEDCFDDE=DF四邊形DFAE為正方形9。（1）證明：ABC為等邊三角形BAC=C=60, AB=CA, 在ABE和CAD中 AB=CA, BAE=C, AE=CDABECAD（2）解 BFD=ABE+BAD 又ABECADABE=CADBFD=CAD+BAD=BAC=6010（1）可以；（2）可以；（3）構造三角形全等，可以11

23、.AB/CD又BE、CE平分（三角形內角和定理）在BC上取BFBA，連結EF在和中（全等三角形對應角相等）（等量代換）在和中（全等三角形對應邊相等）12. （1）由于ABC與DEF是一張矩形紙片沿對角線剪開而得到兩張三角形，所以ABCDEF，所以AD，在ANP和DNC中，因為ANPDNC，所以APNDCN，又DCN90，所以APN90，故ABED（2）答案不唯一，如ABCDBP；PEMFBM；ANPDNC等等以ABCDBP為例證明如下：在ABC與DBP中，因為AD，BB，PBBC，所以ABCDBP13.例：AOBCOD. 證明：四邊形ABCD為平行四邊形，OA=OC，OB=OD， 又AOB=C

24、OD，AOBCOD. 14（1）證明: 連結OD PA 為O切線 OAD = 90 OA=OB，DA=DB，DO=DO， OADOBD OBD=OAD = 90，PA為O的切線 （2）解：在RtOAP中， PB=OB=OA OPA=30 POA=60=2C ， PD=2BD=2DA=2 OPA=C=30 AC=AP=315. 證明： （1）連接，把三等分， 又， 又OA為直徑， ， 在和中，（ASA） （2）若直線把的面積分為二等份， 則直線必過圓心， ， 把 代入得：16.證明：(1)四邊形ABCD是矩形，ABC=BCD=90PBC和QCD是等邊三角形，ACBDPQPBC=PCB=QCD=6

25、0，PBA=ABCPBC=30，PCD=BCDPCB=30PCQ=QCDPCD=30PBA=PCQ=30 (2)AB=DC=QC，PBA=PCQ，PB=PC，PABPQC，PA=PQ17.證明：連接又，即是的切線AGCDBFE18.（1）證明：和都是等邊三角形，又，法一：由得，又， 又，四邊形是平行四邊形法二：證出，得 由得得四邊形是平行四邊形 （2）都成立（3）當（或或或或）時，四邊形是菱形理由：法一：由得，又， 由得四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形 法二：由得，又四邊形是菱形， 法三：四邊形是平行四邊形，是等邊三角形 又，四邊形是菱形，ABCFE19.證明：，又，即 又，20. 證明：(1

26、)BADEACBAC=EAD在ABC和AED中 ABCAED(SAS) (2)由(1)知ABC=AEDAB=AE ABE=AEBOBE=OEBOB=OE21.證明：（1）連結OD 由O、E分別是BC、AC中點得OEAB1=2，B=3，又OB=ODBADOCE12=3而OD=OC，OE=OEOCEODEOCE=ODE又C=90，故ODE =90 DE是O的切線 （2）在RtODE中，由，DE=2得又O、E分別是CB、CA的中點AB=2所求AB的長是5cm 22.證明：（1）DEAG，BFAG， AED=AFB=90ABCD是正方形，DEAG， ADEFCGBAF+DAE=90，ADE+DAE=90， BAF =ADE 又在正方形ABCD中，AB=AD在ABF與DAE 中，AFB =DEA=90，BAF =ADE ，AB=DA，