1、RLS和LMS自適應算法分析摘要：本文主要介紹了自適應濾波的兩種算法：最小均方(LMS, LeastMean Squares)和遞推最小二乘(RLS, Recursive Least Squares)兩種基 本自適應算法。我們對這兩種基本的算法進行了原理介紹，并進行了 Matlab仿真。通過仿真結果，我們對兩種自適應算法進行了性能分析， 并對其進行了比較。用Matlab求出了 LMS自適應算法的權系數，及 其學習過程曲線，和RLS自適應權系數算法的學習過程。關鍵詞：自適應濾波、LMS、RLS、Matlab仿真Abstract: this article mainly in troduces t

2、wo kinds of adaptive filteri ng algorithms: Least Mean square (LMS), further Mean Squares) and Recursive Least Squares (RLS, Recursive further Squares) two basic adaptive algorithm. Our algorithms of these two basic principle is introduced, and Matlab simulation. Through the simulation results, we h

3、ave two kinds of adaptive algorithm performa nee an alysis, and carries on the comparison. Matlab calculate the weight coefficient of the LMS adaptive algorithm, and its learning curve, and the RLS adaptive weight coefficient algorithm of the learning process.Keywords:, LMS and RLS adaptive filter,

4、the Matlab simulation課題簡介：零均值、單位方差的白噪聲通過一個二階自回歸模型產 生的AR過程。AR模型的系統函數為：1H(Z)= 1-1.6Z 0.8Z，假設印=-1.6, a2 =0.8將系統函數轉化為差分方程為：x(n)二-aix( n _ 1) _ a?( n _ 2)w(n)其中w(n)為白噪聲，參數a1 =-1.6, a2 =0.8。激 勵源是白噪聲w(n)。本文用Matlab仿真做出了模型系數的收斂過程及平均的學習曲線 分別用LMS算法和RLS算法，分別做出了模型系數的收斂過程及學習曲線，還對兩種算法的特性進行了對比引言：由于隨機信號的未知性和隨時間變化的統計

5、特性，需要設計 參數隨時間變化的濾波器算法，即所謂的自適應濾波。它是利用前一時刻 以獲得的濾波器參數的結果，自動的調節現時刻的濾波器參數，以適應信號和噪 聲未知的或隨時間變化的統計特性，從而實現最優濾波。自適應濾波器的特性變化是由自適應算法通過調整濾波器系數來實現的。不 同的自適應濾波器算 法，具有不同的收斂速度、穩態失調和算法復雜度。自適應濾波算法中利用了輸出反饋，屬于閉環算法。其優點是能 在濾波器輸入變化時保持最佳的輸出，而且還能在某種程度上補償濾 波器元件參數的變化和誤差以及運算誤差。但其缺點是存在穩定性問 題以及收斂速度不高。所以探討如何提高收斂速度、增強穩定性以滿 足信號處理的高效性

6、、實時性，一直是人們研究的重點和熱點。本文 基對比研究了兩類基本的自適應算法LMS和RLS，并對它們權系數 的收斂過程及學習過程進行了分析。LMS原理分析：LMS算法是自適應濾波器中常用的一種算法與維納算法不同的是其系統 的系數隨輸入序列而改變。維納算法中截取輸入序列自相關函數的一段構造系統 的最佳系數。而LMS算法則是對初始化的濾波器系數依據最小均方誤差準則進 行不斷修正來實現的。因此理論上講 LMS算法的性能在同等條件下要優于維納 算汶 是LMS訂法是兒 個初始化伉衍血丄進片逐加抑榕得別的 因此 矗系統進入穩定之前行一個調整的時間這個時間受到算法步長因子卜的控制 在一定值范田內增大卩會械小

7、調整時間但超過這個值范田時系統不冉收斂 J的最大取值為R的跡。LMS采用平方誤差最小的原則代替均方誤差最小的原 則，信號基本關系如下：N Jy(n)二為 Wi(n)x(n -i)0e(n) =d(n) -y(n)wi(n 1) =wd n) 2e( n)x( ni)寫成矩陣形式為：y(n) =WT( n)X( n)e(n) =d(n) -y(n)W(n 1) =W( n) 2e(n )X( n)式中 W(n)為 n 時刻自適應濾波器的權矢量W(n) =wo(n), wi(n), w?(n)Wn(n)TN為自適應濾波器的階數。X(n)為n時刻自適應濾波器的參考輸入矢 量，由最近的 N 個信號的采

8、樣值構成，X(n)=x(n),x(nJx(n-N-1)T。d( n)是期望的輸出值；e( n)為自適應 濾波器的輸出誤差調節信號；卩是控制自適應速度與穩定性的增益常 數。3LMS的算法流程圖：tRLS算法原理分析：為遺忘因子，它是小于1的正數d（n）:參考信號或期望信號w（n）第n次迭代的權值S）均方誤差按照如下準則：n；(n) _、.n 上e2(k)min越舊的數據對；(n)的影響越小。對濾波器的系數w求偏導，并令結果 等于0知型=-2、，n“e(k)x(k)=O:wk衛整理得到標準方程為：nn遲 X1x(k)xT (k)w =遲 XnJsd (k)x(k)k =0k=0定義：nn _kR(

9、n)八，d(k)x(k)kTnP(n )= nAd(k)x(k)kT標準方程可以簡化為：R(n )w = P(n)經求解可以得到迭代形式：R(n 1) = R( n) x(n 1)xT (n 1)P(n 1)P(n) d(n 1)x(n 1)定義：T(n)=R(n)，則可知T的迭代方程為：T(n)4(n -1) x(n)xT(n)廣系數的迭代方程為w(n) = w( n-1) k( n)e( n|n-1)其中增益k(n)和誤差e( n|n)的定義分別為:e(n | n-1) = d(n) - wT (n -1) x( n)k(n)=T(n -1)x(n)xT (n)T(n- 1)x(n)參數遞

10、推估計，每取得一次新的觀測數據后，就在前次估計結果 的基礎上，利用新引入的觀測數據對前次估計的結果，根據遞推算法 進行修正，減少估計誤差，從而遞推地得出新的參數估計值。這樣， 隨著新觀測數據的逐次引入，一次接一次地進行參數估計，直到參數 估計值達到滿意的精確程度為止。6RLS算法流程圖：23 RLS方法簡介W(0) =0.化準則取代最小肉方準喇.井按時閭進行迭代RLS算法是用集方的時間平均的尬小 計畀.瓦堪術原理如下所示】Sp(o)=初始化計算 T(n),w(n),k(n),e(n|n-1)：RLS算法是用:乗方的時間平均檢址小化華則軀代最小均方準則，井按時閭進行送代Ht*直羊木必理奶下所示：

11、I乂禰為軀忘紂子，它址小J邈F I的正數紳)4佶蹴期軸訃y(n)L(n)x(n _i)0w他):第1)戰達代的權逬：,鞏對；均方鍛打搔戯如下淮則:計算誤差 e(n)=d(n)-y(n)/；5) = 嚴*(斤)- miniOw(n) = w(n -1) k(n )e(n | n-1)min的散據對鞏町的彫響越帕濾波聆紊歎賈求館導數，片令鉛杲爭尸零知更新權7#整理得到標準方程Ax(k)xT(k)軒二叭&岡JI)_wLMS算法程序:clear close all clc a1=-1.6; a2=0.8; n=1000; P=50;e=zeros(1, n);ep=zeros(1, n);ee=zer

12、os(1, n);x=zeros(1, n);w=ra ndn(1,n);%算法for p=1:Px(1)=w(1);x(2)=-a1*x(1)+w(2);for i=3: nx(i)=-a1*x(i-1)-a2*x(i-2)+w(i);endL=2;u=0.0005;wL=zeros(L ,n);for i=(L+1): nX=x(i-L:1:(i-1);y(i)=X*wL(:,i); %i 時刻輸出信號e(i)=x(i)-y(i); %i時刻誤差信號wL(:,(i+1)=wL(:,i)+2*u*e(i)*X; %i時刻 濾波器的權值ee(i)=e(i)A2;endep=ep+ee;ende

13、q=ep/P;a1L=-wL(2,1: n);% al在LMS算法下值的變化，wL矩陣中第一行的1到n個數a2L=-wL(1,1: n);% a2在LMS算法下值的變化 ，wL矩陣中第二行的1到n個數%畫圖subplot(2,2,1);plot(1: n, x);title(高斯白噪聲w);subplot(2,2,2);plot(1: n, a1L,r-,1: n,a1,k-);title(a1的學習過程);subplot(2,2,3);plot(1: n,a2L,r-,1: n,a2,k-);title(a2的學習過程);subplot(2,2,4);plot(1: n,eq);title(

14、5O次平均后的學習過程);8圖1:步長因子卩=0.0005時LMS仿真圖形圖2:步長因子卩=0.001時LMS仿真圖形9圖3:步長因子卩=0.005時LMS仿真圖形結果分析:1. 在仿真過程中可以看到，圖形的收斂時間隨著步長因子卩的增大 而減小。說明步長因子卩與收斂時間成反比，其決定了 LMS算法 學習過程的快慢。2. 由上圖對比可知，當步長因子卩增大時，收斂時間減少，但會使 失調增大，當卩等于0.0005與0.001時圖形沒有失調，但當卩等 于0.005時，就會發現圖形失調嚴重。綜上所述可得出結論：控制失調與加快收斂速度矛盾。10LMS與RLS對比程序：程序：clear;close all;

15、clc;a1=-1.6;a2=0.8;n=1000;x=zeros(1, n);w=ra ndn(1,n);x(1)=w(1);x(2)=-a1*x(1)+w(2);for i=3: nx(i)=-a1*x(i-1)-a2*x(i-2)+w(i);end;%LMS濾波L=2;u=0.001;wL=zeros(L ,n);for i=(L+1): nX=x(i-1:-1:(i-L);y(i)=X*wL(:,i);e(i)=x(i)-y(i);wL(:,(i+1)=wL(:,i)+2*u*e(i)*X;end;a1L=-wL(1,1: n);a2L=-wL(2,1: n);%RLS濾波L=2;n

16、amuta=0.98;wR=zeros(L, n);T=eye(L,L)*10;% %RLS算法下T參數的初始化,T初始值為10for i=(L+1): nX=x(i-1:-1:(i-L);K=(T*X)/(namuta+X*T*X);%i時刻增益值e1=x(i)-wR(:,i-1)*X;wR(:,i)=wR(:,i-1)+K*e1; %i時刻權值y(i)=wR(:,i)*X;e(i)=x(i)-y(i);T=(T-K*X*T)/namuta; %i 時刻的維納解end;a1R=-wR(1,1: n);a2R=-wR(2,1: n);%畫圖subplot(2,1,1);plot(1: n, a

17、1L,r-,1: n,a1R,g-,1: n,a1,k-);title(LMS 與RLS算法a1權系數收斂過程對比);subplot(2,1,2);plot(1: n,a2L,r-,1: n,a2R,g-,1: n,a2,k-);title(LMS 與RLS算法a2權系數收斂過程對比);圖4: LMS與RLS仿真圖形對比結果分析:1. RLS處法在兩法的隱態怖段即卞法的陥期收斂拚段卜;件筑和 LMS釘法柯曲不舊顯但在賓法的lOI收斂段 RLS算法的收斂 速度要明顯咼于LMS算法。但是RLS ,jZ法復雜. in 汁.訂.|I；比KRLS算法與LMS對比:由于LMS算法只是用以前各時刻的抽頭參量

18、等作該時刻數據塊 估計時的平方誤差均方最小的準則，而未用現時刻的抽頭參量等來對 以往各時刻的數據塊作重新估計后的累計平方誤差最小的準則，所以 LMS算法對非平穩信號的適應性差。RLS算法的基本思想是力圖使 在每個時刻對所有已輸入信號而言重估的平方誤差的加權和最小，這 使得RLS算法對非平穩信號的適應性要好。與LMS算法相比，RLS 算法采用時間平均，因此，所得出的最優濾波器依賴于用于計算平均 值的樣本數，而LMS算法是基于集平均而設計的，因此穩定環境下 LMS算法在不同計算條件下的結果是一致的。在性能方面，RLS的 收斂速率比LMS要快得多，因此，RLS在收斂速率方面有很大優勢。 圖6分別為RLS算法和LMS算法在處理過程中的誤差曲線，它指出了 在迭代過程中的誤差減少過程。由圖可見，RLS算法在迭代過程中產 生的誤差明顯小于LMS算法。由此可見，RLS在提取信號時，