1、7.4解 :根據式（ 6.6.9），處在能量為s 的量子態 s 上的平均粒子數為fses .以 N 表示系統的粒子數，粒子處在量子態s 上的概率為esesPs.NZ1顯然， Ps 滿足歸一化條件sPs1,式中是對粒子的所有可能的量子態求和.粒子的平均能量可以表示為sEsPs s.根據式（ 7.1.13），定域系統的熵為S Nkln Z1ln Z1Nkln Z1NkPsln Z1ssNkPs ln Ps.s（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）最后一步用了式（2），即ln Psln Z1s.（ 6）式（ 5）的熵表達式是頗具啟發性的. 熵是廣延量，具有相加性. 式（ 5）意味著一個粒子的熵等于

2、 kPs ln Ps. 它取決于粒子處在各個可能狀態的概率sPs . 如果粒子肯定處在某個狀態r ，即 Pssr ，粒子的熵等于零 .反之，當粒子可能處在多個微觀狀態時， 粒子的熵大于零 . 這與熵是無序度的量度的理解自然是一致的. 如果換一個角度考慮， 粒子的狀態完全確定意味著我們對它有完全的信息，粒子以一定的概率處在各個可能的微觀狀態意味著我們對它缺乏完全的信息.所以，也可以將熵理解為信息缺乏的量度. 第九章補充題 5 還將證明，在正則系綜理論中熵也有類似的表達式. 沙農（ Shannon）在更普遍的意義上引進了信息熵的概念，成為通信理論的出發點.甄尼斯（ Jaynes）提出將熵當作統計力

3、學的基本假設，請參看第九章補充題5.對于滿足經典極限條件的非定域系統，式（）給出SNk ln Z1ln Z1k ln N !,上式可表為SNk Ps ln PsS0 ,（ 7）s其中S0k ln N !Nk ln N 1 .因為fsNPs ,將式（ 7）用 fs 表出，并注意sf sN ,可得Skfs ln fsNk .（ 8）s這是滿足玻耳茲曼分布的非定域系統的熵的一個表達式. 請與習題 8.2的結果比較 .習題7.8 氣體以恒定的速度沿Z 方向作整體運動。試證明，在平衡狀態下分子動量的最概然分布為e2 mp x2p y2( p xp 0) 2Vdpx dp y dpzh 3證： 設能級l

4、這樣構成：同一l 中， pZ 相同，而 px 與 py 在變化，于是有：Nalal0(1)El allal0( 2)pp z alpzal0(3)(ppzalp0 )參照教材玻耳茲曼分布證明；有lnNE -pz ,其中l1（ px 2py 2pZ2 ）2m由 (1)知 :Vep z dpx dp y dpzNh 3將 l 代入 并配方得 :Ve( xy ) ( 2mpz 2 pz )h3dpx dpy dpzV(m 2)( x y )( p zm )2=e22mdp x dp y dp zNh322其中xp x,yp y2m2m對比 page238 式（）得：m 2()2eN (h 23h 2

5、3) 2n() 2V2 mkT2 mkT整個體積內，分布在pxpxdp x , p yp ydp y , pzpz dp z 內分子數為：3( x y )( p zm )2N (1e2mdp xdp ydpzf ( px , p y , pz )dpx dp y dpz) 22 mkT由條件（ 3）知pz f ( p x , p y , pz ) dpx dpy dpzNp0計算得13m )mm)2) 2 e( p z(x dp x ey dp y( pze 2mdp z2 mkT3m2e( x( p z)=(1) 2y ) dpx dp y ( m ) e 2mdpz2 mkT=mfdp x

6、 dp y dpzp0mp0N"p x2 p y2 ( pzp0 ) 2Vdp x dpy dpz代入得出分布：e2mh3其中'm 2mp0,2習題7.13 試證明，單位時間內碰到單位面積上，速率介于v 與 vdv 之間的分子數為：mv2dn( m ) 3 / 2 e 2 kT v3 dv2 kT證： 在斜圓柱體內, 分速度為 vz 的 v 方向的分子數為:dn*nf(vx ,vy ,vVVdsv dtz ) 圓柱 ;zmvy2 vz2 )dn*nfvzdsdtn(m(vx2)3 / 2 e 2 kTvzdvxdvydvzdsdt2 kT對于 vx , vy從, 對v z從

7、0積分得 :dt 時間碰撞到 ds 面積上的分子數（vvdv ）n*n(m)3 2m( vx2 v2y v z2 )vz dvx dv y dvz dsdte 2kT2 kT02/ 2mv2=n(m ) 3 2e 2kT v3 cos dvd d dsdt2 kT00得到：若只計算介于vvdv 分子數則為： （只對 ,積分）n*n(m)3/22m v2(1/ 2)e 2 kT v3 dv2 kTn( mmv2) 3/ 2 e 2kT v3 dv2k T習題 7.15 已知粒子遵從經典玻耳茲曼分布，其能量表達式為：1 ( px2py2pz2 )ax2bx 其中 a, b 是常數，求粒子的平均能量

8、。2m解：p 22bxb 2b22ma(xa4a2 )4a1( px2p y2pz2 ) a( xb) 2b2; (四個平方項 ,據均分律 )2m2a4ab22kTb24 * (1/ 2)Tk4a4a習題 8.1 試證明 : 對于玻色系統或費米系統, 玻耳茲曼關系成立，即Sk ln。解： 對于理想費米系統，與分布al相應的系統的微觀狀態數為l !l al !( l al )!取對數，并應用斯特令近似公式，得lnllln lal ln allal lnlal另一方面，根據理想費米系統的熵為Sk lnlnlnk lnNUk lnll al其中費米巨配分函數的對數為lnl ln1 eall由費米分布

9、allel1得1ell和llnlalalall所以lnllnlllalS kl lnlal ln l alkl ln lal ln allal ln l alllalll兩式比較可知：Sk ln。習題 8-2試證明，理想玻色和費米系統的熵可表示為：SB.Ekf s ln fs1 f s ln 1 f s，lSF .Dkf s ln fs1 f s ln 1 f sl其中 fs 為量子態 s 上的平均粒子數，對粒子的所有量子態求和。s解： 我們先討論理想費米系統的情形。根據上題有，理想費米系統的熵可表示為SF .Dkl ln lal ln allallnlallklalln lalal ln a

10、llllkl1alln 1alalln allllll式中表示對粒子各能級求和。以f sal 表示在能量為l 的量子態 s 上的平均粒子sl數，并將對能級 l求和改為對量子態s 求和，注意到l :，上式可改寫為lsSF .Dkf s ln fs1 f s ln 1 f sl由于 fs1 ，計及前面的負號，上式的兩項都是非負的。對于理想玻色系統，通過類似的步驟可以證明SB. Ekfs ln f s1fs ln 1 fs ，l由于玻色系統fs 0 ，計及前面的負號， 式中的第一項可以取負值，第二項是非負的， 由于在絕對值上第二項大于第一項，熵不會取負值。在 f s =1 的情形，上面兩式中的1m

11、f sln 1m f s1m f smfsf s所以在 f s =1 的情形下，有SB .ESF .Dkf s ln fsf ss注意到fsN ，上式也可表示為sSB .ESF.Dkf s ln f Nks習題 8.3 求弱簡并理想費米（玻色）氣體的壓強和熵。3NkT 11 1 Nh2解：弱簡并費米（玻色）氣體的內能為U5g V2 mkT22232，式中上面的符號適用于費米氣體，下面的符號適用于玻色氣體。利用理想氣體壓強與內能的關系2 Up，可直接求出弱簡并氣體的壓強為3 V1 1h2p nkT 1 5gn222 mkT32式中 nN是粒子數密度。V定容熱容量為 CVU3Nk 1 m 171n

12、h2TV222g2 mkT32參照熱力學中熵的積分表達式可將熵表示為SCV dTS0 VT3Nk ln T Nk11h2于是可得 S7gn2222 mkT32S0 Vh23在 n 3N2式中的函數 S0 可通過下述條件確定：= 1的極限下， 弱簡并氣V2 mkT體趨于理想氣體。習題8.4試證明，在熱力學極限下均勻的二維理想玻色氣體不會發生玻色- 愛因斯坦凝聚。證明： 令玻色氣體降溫到某有限溫度TC ，氣體的化學勢將趨于0。在TTC 時，將有宏觀量級的粒子凝聚在0 的基態，稱為玻色- 愛因斯坦凝聚。臨界溫度TC 由條件Ddn 確定。0ekTc1將二維自由粒子的狀態密度Dd2L2md代入得：h22

13、2L2md1nh0ekTc二維理想玻色氣體的凝聚溫度TC 由上式確定。令 xkTC，上式可改寫為2L2mkTCdxnh20ex1將被積函數展開有：1ex1e x1 e xe 2 x Lex 11e x則dx111L1是發散的， 這意味著在有限溫度下二維理想玻色氣體0ex123n1 n的化學勢不可能趨于零。換句話說，在有限溫度下二維理想玻色氣體不會發生玻色坦凝聚。習題 8.7 計算溫度為 T 時，在體積 V 內光子氣體的平均總光子數，并據此估算：- 愛因斯（ 1）溫度為 1000K 時的平衡輻射和；（ 2）溫度為 3K 的宇宙背景輻射中光子的數密度。解：在體積 V 內，在到d的圓頻率范圍內光子數

14、為 DdV2 d2 c3溫度為 T 時平均光子數為N,T dDdh1e kT因此溫度為 T 時，在體積 V 內光子氣體的平均光子數為N TV2 d2c3 0h1e kT引入變量h，上式可表示為xkTVkT3x2dxk 3N T2.404 23 VT32 3hxc3hc0e12 k33 T 3或n T2.4043hc在 1000K 下，有 n2 1016 m 3 。在 3K 下，有 n5.5108 m 3。習題 8.8 試據普朗克公式求平衡輻射內能密度按波長的分布：8 hcdu5hc，并據此e kT1證明，使輻射內能密度取極大的波長m 滿足方程 x hc： 5e xx 5mkT這個方程的數值解為

15、x4.9651。因此mThc4.9651km 溫度增加向短波方向移動。證：平衡輻射內能按圓頻率的分布為u,T d1h32c3hde kT1根據圓頻率與波長的關系2c，有2cd2du,T8hcd于是內能按波長的分布可得：d5h1e kThc使 u,T 取極大的波長m 由下式確定：令 xkTdx50dxex1于是有：5 5xxe利用圖解法可以解出x ，精確的數值解給出x4.9651。所以使 u,T 為極大的m 滿足 mThc2.898 10 3 m K 右方是常量，說4.9651k明 m 隨溫度的增加向短波方向移動，稱為維恩位移定律。8.10 試根據熱力學公式SCVdT 及光子氣體的熱容量U習題C

16、VTT熵。光子氣體的內能為 U2k 44解：33 VT15c h24由此易得其定容熱容量為CVU4 3 k3 VT3T V15c h求光子氣體的V根據熱力學關于均勻系統熵的積分表達式有：SCVdTpdV S0TTV積分沿任意一條積分路徑進行，如果取積分路線為由0,V到 T,V的直線，即有：24T2443k2dT43k 3 VT 3S3V T15c h045c h習題 9.1證明在正則分布中熵可表為Sks lns其中s1eEs 是系統處在 s 態sZ的概率。證： Sk(ln Zln Z )多粒子配分函數 Ze E sZ1e Es (1)sEk eEkln ZkEk( 2)ek由 (1) 知eE

17、sZ sEsln Zlns; Es1 ln Z ln s代至 (2) 得ln Z1 ln Z ln s s1 ln Z1s ln s ;ss于是S k ln Zln Zks lnss習題 9.2試用正則分布求單原子分子理想氣體的物態方程，內能和熵e E s ; EsN1 pix2piy2piz2證：Zsi 1 2m符號 dpdp ix dp iy dp izi符號 dqidxi dyidziNNZ12 mpix2piy2 piz2VNpix2 piy2piz2ei1dpdqe 2 m i 1dpN! h3 NN! h3 NVN( p x2 p y2 p z2 )NVN2m3N /22medpZ

18、N!h 3 NN!h3N利用式（ 9.5.3） P1ln Z1ZNTk 類似求 U , S 。ZVV習題 9.6 被吸附在液體表面的分子形成一種二維氣體，考慮分子間的相互作用，試用正則分布證明，二維氣體的物態方程為pSNTk 1B / S ，其中：BNe/ kT1 2 rdr ; S 為液體的面積，為兩分子的互作用勢。2解：二維氣體11( p2p2)i2 mixiyei jZ2 NN! hdpix dpiydxi dyi(r )11221 ( 2m ) N Qij2 mp iy )N!N ! h2 Nedq( pixijedpdq( rij )( rij )1其中Qeijdr1 dr2 drn

19、 定義 fijeQ(1f ij )dr1dr2 drn(只保留前部分 )(1f ij )dr1drnijijS Nf ij dr1 drn ; 其中 f ij dr1 drn V N 2f12 dr1dr2ijQSNN 2SN2f12 dr1dr2 變量代換Rr1r2/ 2; rr212rQSNN 2SN 1f12 dr2ln QN ln Sln 1N 2N ln SN 2f12 dr 據式（ 9.5.3 ）f12 dr2S2VP1 ln Z1ln QNf12 drkNT 1BSPV NTk 1S2S習題 9.9利用德拜頻譜求固體在高溫和低溫下配分函數對數ln Z ，從而求內能和熵。解：式（

20、3.9.4）ln Z ln e0e2lnei1德拜頻譜39NDBDe20ln Zln elnDd01e對于振動e2D2d ( 代換x)00B ln1e0B 2dB 3ln 1 e xx2 dxDD0201B 4N43U 0133U 0515DS 計算略高溫近似，T，0D12 dD3ln ZB lnd000B ln033ab1D20Blnd03 03330DB lnDB3903N lnN（計算略）習題9.7 仿照三維固體的地拜理論，計算長度為L 的線形原子鏈在高溫和低溫下的內能和熱容量。解：一維線形原子鏈ck, k2n / L, n0,1,.dn Ldk / 2; D ()dLd/ 2c共有 N 個振動，存在最大頻率DDLD ( )dNdND2 Nc / L02cUU 0D ()dU 0Ld令/ kTxdkTdx2 ce kTe kT1UU 0Lk 2 xT 2 dxU 0LT 2 k 2xdx2c(ex1)2cex1高溫近似 x1;UU 0LT2 k 2dxU0 kNT2c低溫近似 UU 0LT 2 k 2xU022DexdxkNT / 6 D 其中 k D2c1習題 9.8仿照三維固體的德拜理論，計算長度為 L 的線形原子鏈 （一維晶體） 在高溫和低溫下的內能