1、第2章 軸向拉伸和壓縮2.1 軸向拉伸和壓縮的概念工程實際中，發生軸向拉伸或壓縮變形的構件很多，例如，鋼木組合桁架中的鋼拉桿(如圖2.1所示)和三角支架ABC(如圖2.2所示)中的桿，作用于桿上的外力(或外力合力)的作用線與桿的軸線重合。在這種軸向荷載作用下，桿件以軸向伸長或縮短為主要變形形式，稱為軸向拉伸或軸向壓縮。以軸向拉壓為主要變形的桿件，稱為拉(壓)桿。 圖2.1 鋼木組合桁架 圖2.2 三角支架實際拉(壓)桿的端部連接情況和傳力方式是各不相同的，但在討論時可以將它們簡化為一根等截面的直桿(等直桿)，兩端的力系用合力代替，其作用線與桿的軸線重合，則其計算簡圖如圖2.3所示。(a)(b)

2、圖2.3 拉(壓)桿計算簡圖本章主要研究拉(壓)桿的內力、應力及變形的計算。同時還將通過拉伸和壓縮試驗，來研究材料在拉伸與壓縮時的力學性能。2.2 軸力、軸力圖在研究桿件的強度、剛度等問題時，都需要首先求出桿件的內力。關于內力的概念及其計算方法，已在上一章中闡述。如圖2.4(a)所示，等直桿在拉力的作用下處于平衡，欲求某橫截面上的內力，按截面法，先假想將桿沿截面截開，留下任一部分作為脫離體進行分析，并將去掉部分對留下部分的作用以分布在截面上各點的內力來代替(如圖2.4(b)所示)。對于留下部分而言，截面上的內力就成為外力。由于整個桿件處于平衡狀態，桿件的任一部分均應保持平衡。于是，桿件橫截面上

3、的內力系的合力(軸力)與其左端外力形成共線力系，由平衡條件，得 (a)(b)(c)圖2.4 軸力為桿件任一橫截面上的內力，其作用線與桿的軸線重合，即垂直于橫截面并通過其形心。這種內力稱為軸力，用表示。若在分析時取右段為脫離體(如圖2.4(c)所示)，則由作用與反作用原理可知，右段在截面上的軸力與前述左段上的軸力數值相等而指向相反。當然，同樣也可以從右段的平衡條件來確定軸力。對于壓桿，同樣可以通過上述過程求得其任一橫截面上的軸力。為了研究方便，給軸力規定一個正負號：當軸力的方向與截面的外法線方向一致時，桿件受拉，規定軸力為正，稱為拉力；反之，桿件受壓，軸力為負，稱為壓力。當桿受到多個軸向外力作用

4、時，在桿不同位置的橫截面上，軸力往往不同。為了形象而清晰地表示橫截面上的軸力沿軸線變化的情況，可用平行于軸線的坐標表示橫截面的位置，稱為基線，用垂直于軸線的坐標表示橫截面上軸力的數值，正的軸力(拉力)畫在基線的上側，負的軸力(壓力)畫在基線的下側。這樣繪出的軸力沿桿件軸線變化的圖線，稱為軸力圖。【例題2.1】 一等直桿所受外力如圖2.5(a)所示，試求各段截面上的軸力，并作桿的軸力圖。解：在AB段范圍內任一橫截面處將桿截開，取左段為脫離體(如圖2.5(b)所示)，假定軸力為拉力(以后軸力都按拉力假設)，由平衡方程，得 結果為正值，故為拉力。同理，可求得BC段內任一橫截面上的軸力(如圖2.5(c

5、)所示)為在求CD段內的軸力時，將桿截開后取右段為脫離體(如圖2.5(d)所示)，因為右段桿上包含的外力較少。由平衡方程，得 結果為負值，說明為壓力。同理，可得DE段內任一橫截面上的軸力為(a)(b)(c)(d)(e)(f)圖2.5 例題2.1圖按上述作軸力圖的規則，作出桿件的軸力圖(如圖2.5(f)所示)。發生在BC段內的任一橫截面上，其值為。由上述計算可見，在求軸力時，先假設未知軸力為拉力時，則得數前的正負號，既表明所設軸力的方向是否正確，也符合軸力的正負號規定，因而不必要在得數后再注“壓”或“拉”字。2.3 拉(壓)桿內的應力與圣維南原理由上一章知，要判斷受力構件能否發生強度破壞，僅知道

6、某個截面上內力的大小是不夠的，還需要求出截面上各點的應力。下面首先研究拉(壓)桿橫截面上的應力。2.3.1 拉(壓)桿橫截面上的應力要確定拉(壓)桿橫截面上的應力，必須了解其內力系在橫截面上的分布規律。由于內力與變形有關，因此，首先通過實驗來觀察桿的變形。取一等截面直桿，如圖2.6(a)所示，事先在其表面刻兩條相鄰的橫截面的邊界線(ab和cd)和若干條與軸線平行的縱向線，然后在桿的兩端沿軸線施加一對拉力使桿發生變形，此時可觀察到：所有縱向線發生伸長，且伸長量相等；橫截面邊界線發生相對平移。ab、cd分別移至a1b1、c1d1，但仍為直線，并仍與縱向線垂直(如圖2.6(b)所示)，根據這一現象可

7、作如下假設：變形前為平面的橫截面，變形后仍為平面，只是相對地沿軸向發生了平移，這個假設稱為平面假設。圖2.6 橫截面上的應力根據這一假設，任意兩橫截面間的各縱向纖維的伸長均相等。根據材料均勻性假設，在彈性變形范圍內，變形相同時，受力也相同，于是可知，內力系在橫截面上均勻分布，即橫截面上各點的應力可用求平均值的方法得到。由于拉(壓)桿橫截面上的內力為軸力，其方向垂直于橫截面，且通過截面的形心，而截面上各點處應力與微面積之乘積的合成即為該截面上的內力。顯然，截面上各點處的切應力不可能合成為一個垂直于截面的軸力。所以，與軸力相應的只可能是垂直于截面的正應力，設軸力為，橫截面面積為，由此可得 (2-1

8、)式中，若為拉力，則為拉應力，若為壓力，則為壓應力。的正負規定與軸力相同，拉應力為正，壓應力為負，如圖2.6(c)和圖2.6(d)所示。2.3.2 拉(壓)桿斜截面上的應力以上研究了拉(壓)桿橫截面上的應力，為了更全面地了解桿內的應力情況，現在研究斜截面上的應力。如圖2.7(a)所示拉桿，利用截面法，沿任一斜截面將桿截開，取左段桿為研究對象，該截面的方位以其外法線與軸的夾角表示。由平衡條件可得斜截面上的內力為 (a)由前述分析可知，桿件橫截面上的應力均勻分布，由此可以推斷，斜截面上的總應力也為均勻分布(如圖2.7(b)所示)，且其方向必與桿軸平行。設斜截面的面積為，與橫截面面積的關系為。于是

9、(b)圖2.7 斜截面上的應力式中，為拉桿在橫截面()上的正應力。將總應力沿截面法向與切向分解(如圖2.7(c)所示)，得斜截面上的正應力與切應力分別為 (c) (d)上列兩式表達了通過拉壓桿內任一點處不同方位截面上的正應力和切應力隨截面方位角的變化而變化。通過一點的所有不同方位截面上的應力的集合，稱為該點處的應力狀態。由(c)、(d)兩式可知，在所研究的拉桿中，一點處的應力狀態由其橫截面上的正應力即可完全確定，這樣的應力狀態稱為單軸應力狀態。關于應力狀態的問題將在第7章中詳細討論。由(c)、(d)兩式可知，通過拉壓桿內任一點不同方位截面上的正應力和切應力，隨角作周期性變化。(1) 當時，正應

10、力最大，其值為 (e)即拉壓桿的最大正應力發生在橫截面上。(2) 當時，切應力最大，其值為 (f)即拉壓桿的最大切應力發生在與桿軸線成的斜截面上。為便于應用上述公式，現對方位角與切應力的正負號作如下規定：以軸為始邊，方位角為逆時針轉向者為正；斜截面外法線沿順時針方向旋轉，與該方向同向的切應力為正。按此規定，如圖2.7(c)所示的與均為正。當等直桿受幾個軸向外力作用時，由軸力圖可求得其最大軸力，那么桿內的最大正應力為 (2-2)最大軸力所在的橫截面稱為危險截面，危險截面上的正應力稱為最大工作應力。【例題2.2】 一正方形截面的階梯形磚柱，其受力情況、各段長度及橫截面尺寸如圖2.8(a)所示。已知

11、。試求荷載引起的最大工作應力。解：首先作柱的軸力圖，如圖2.8(b)所示。由于此柱為變截面桿，應分別求出每段柱的橫截面上的正應力，從而確定全柱的最大工作應力。、兩段柱橫截面上的正應力，分別由已求得的軸力和已知的橫截面尺寸算得(壓應力)(壓應力)由上述結果可見，磚柱的最大工作應力在柱的下段，其值為，是壓應力。【例題2.3】 一鉆桿簡圖如圖2.9(a)所示，上端固定，下端自由，長為，截面面積為，材料容重為。試分析該桿由自重引起的橫截面上的應力沿桿長的分布規律。解：應用截面法，在距下端距離為處將桿截開，取下段為脫離體(如圖2.8(b)所示)，設下段桿的重量為，則有 (a)設橫截面上的軸力為，則由平衡

12、條件， (b)將(a)式值代入(b)式，得 (c)即為的線性函數。當時，當時， (a) (b) (a) (b) (c)圖2.8 例題2.2圖 圖2.9 例題2.3圖式中為軸力的最大值，即在上端截面軸力最大，軸力圖如圖2.9(c)所示。那么橫截面上的應力為 (d)即應力沿桿長是的線性函數。當時，當時，式中為應力的最大值，它發生在上端截面，其分布類似于軸力圖。【例題2.4】 氣動吊鉤的汽缸如圖2.10(a)所示，內徑，壁厚，氣壓，活塞桿直徑，試求汽缸橫截面及縱向截面上的 應力。解：汽缸內的壓縮氣體將使汽缸體沿縱橫方向脹開，在汽缸的縱、橫截面上產生拉應力。(1) 求橫截面上的應力。取截面右側部分為研

13、究對象(如圖2.10(c)所示)，由平衡條件，當時，得截面上的軸力為截面的面積為那么橫截面上的應力為稱為薄壁圓筒的軸向應力。圖2.10 例題2.4圖(2) 求縱截面上的應力。取長為的半圓筒為研究對象(如圖2.10(d)所示)，由平衡條件，得截面上的內力為截面的面積為當時，可認為應力沿壁厚近似均勻分布，那么縱向截面上的應力為稱為薄壁圓筒的周向應力。計算結果表明：周向應力是軸向應力的兩倍。2.3.3 圣維南原理當作用在桿端的軸向外力，沿橫截面非均勻分布時，外力作用點附近各截面的應力，也為非均勻分布。但圣維南(Saint-Venant)原理指出，力作用于桿端方式的不同，只會使與桿端距離不大于桿的橫向

14、尺寸的范圍內受到影響。此原理已被大量試驗與計算所證實。例如，如圖2.11(a)所示承受集中力作用的桿，其截面寬度為，在與的橫截面11與22上，應力雖為非均勻分布(如圖2.11(b)所示)，但在的橫截面33上，應力則趨向均勻(如圖2.7(c)所示)。故在拉(壓)桿的應力計算中，都以式(2-1)為準。圖2.11 圣維南原理2.4 拉(壓)桿的變形2.4.1 絕對變形胡克定律實驗表明，當拉桿沿其軸向伸長時，其橫向將縮短(如圖2.12(a)所示)；壓桿則相反，軸向縮短時，橫向增大(如圖2.12(b)所示)。圖2.12 拉(壓)變形設、為直桿變形前的長度與直徑，、為直桿變形后的長度與直徑，則軸向和橫向變

15、形分別為 (a) (b)與稱為絕對變形。由式(a)、(b)可知與符號相反。實驗結果表明：如果所施加的荷載使桿件的變形處于彈性范圍內，桿的軸向變形與桿所承受的軸向荷載、桿的原長成正比，而與其橫截面面積成反比，寫成關系式為引進比例常數，則有 (2-3a)由于，故上式可改寫為 (2-3b)這一關系式稱為胡克定律。式中的比例常數稱為桿材料的彈性模量，其量綱為，其單位為Pa。的數值隨材料而異，是通過實驗測定的，其值表征材料抵抗彈性變形的能力。稱為桿的拉伸(壓縮)剛度，對于長度相等且受力相同的桿件，其拉伸(壓縮)剛度越大則桿件的變形越小。的正負與軸力一致。當拉、壓桿有兩個以上的外力作用時，需先畫出軸力圖，

16、然后按式(2-3b)分段計算各段的變形，各段變形的代數和即為桿的總變形力： (2-4)2.4.2 相對變形、泊松比絕對變形的大小只反映桿的總變形量，而無法說明桿的變形程度。因此，為了度量桿的變形程度，還需計算單位長度內的變形量。對于軸力為常量的等截面直桿，其變形處處相等。可將除以，除以表示單位長度的變形量，即 (c) (d)稱為縱向線應變；稱為橫向線應變。應變是單位長度的變形，是無因次的量。由于與具有相反符號，因此與也具有相反的符號。將式(2-3b)代入式(c)，得胡克定律的另一表達形式為 (2-5)顯然，式(2-5)中的縱向線應變和橫截面上正應力的正負號也是相對應的。式(2-5)是經過改寫后

17、的胡克定律，它不僅適用于拉(壓)桿，而且還可以更普遍地用于所有的單軸應力狀態，故通常又稱為單軸應力狀態下的胡克定律。實驗表明，當拉(壓)桿內應力不超過某一限度時，橫向線應變與縱向線應變之比的絕對值為一常數，即 (2-6)稱為橫向變形因數或泊松(S.-D.Poisson)比，是無因次的量，其數值隨材料而異，也是通過實驗測定的。彈性模量和泊松比都是材料的彈性常數。幾種常用材料的和值可參閱表2-1。表2-1 常用金屬材料的E、的數值材料名稱(GPa)低碳鋼196216 0.250.33中碳鋼205合金鋼1862160.240.33灰口鑄鐵78.51570.230.27球墨鑄鐵150180銅

18、及其合金72.61280.310.742鋁合金700.33混凝土15.2360.160.18木材(順紋)912必須指出，當沿桿長度為非均勻變形時，式(c)并不反映沿長度各點處的縱向線應變。對于各處變形不均勻的情形(如圖2.13所示)，則必須考核桿件上沿軸向的微段的變形，并以微段的相對變形來度量桿件局部的變形程度。這時有 (2-7)可見，無論變形均勻還是不均勻，正應力與正應變之間的關系都是相同的。圖2.13 桿件軸向變形不均勻的情形【例題2.5】 已知階梯形直桿受力如圖2.14(a)所示，材料的彈性模量，桿各段的橫截面面積分別為AAB=ABC=1500mm2，ACD=1000mm2。要求：(1)

19、 作軸力圖；(2) 計算桿的總伸長量。圖2.14 例題2.5圖解：(1) 畫軸力圖。因為在A、B、C、D處都有集中力作用，所以AB、BC和CD三段桿的軸力各不相同。應用截面法得軸力圖如圖2.14(b)所示。(2) 求桿的總伸長量。因為桿各段軸力不等，且橫截面面積也不完全相同，因而必須分段計算各段的變形，然后求和。各段桿的軸向變形分別為桿的總伸長量為【例題2.6】 如圖2.15(a)所示實心圓鋼桿AB和AC在桿端A鉸接，在A點作用有鉛垂向下的力。已知30kN，dAB=10mm，dAC=14mm，鋼的彈性模量200GPa。試求A點在鉛垂方向的位移。圖2.15 例題2.6圖解：(1) 利用靜力平衡條

20、件求二桿的軸力。由于兩桿受力后伸長，而使A點有位移，為求出各桿的伸長，先求出各桿的軸力。在微小變形情況下，求各桿的軸力時可將角度的微小變化忽略不計。以節點A為研究對象，受力如圖2.15(b)所示，由節點A的平衡條件，有，解得各桿的軸力為， (2) 計算桿AB和AC的伸長。利用胡克定律，有(3) 利用圖解法求A點在鉛垂方向的位移。如圖2.15(c)所示，分別過AB和AC伸長后的點A1和A2作二桿的垂線，相交于點，再過點作水平線，與過點A的鉛垂線交于點，則便是點A的鉛垂位移。由圖中的幾何關系得， 可得， 所以點A的鉛垂位移為 從上述計算可見，變形與位移既有聯系又有區別。位移是指其位置的移動，而變形

21、是指構件尺寸的改變量。變形是標量，位移是矢量。2.5 材料在拉伸和壓縮時的力學性能如第1章所述，材料力學是研究受力構件的強度和剛度等問題的。而構件的強度和剛度，除了與構件的幾何尺寸及受力情況有關外，還與材料的力學性能有關。實驗指出，材料的力學性能不僅決定于材料本身的成分、組織以及冶煉、加工、熱處理等過程，而且決定于加載方式、應力狀態和溫度。本節主要介紹工程中常用材料在常溫、靜載條件下的力學性能。在常溫、靜載條件下，材料常分為塑性和脆性材料兩大類，本節重點討論它們在拉伸和壓縮時的力學性能。2.5.1 材料的拉伸和壓縮試驗在進行拉伸試驗時，先將材料加工成符合國家標準(例如，GB 2282002金屬

22、材料室溫拉伸試驗方法)的試樣。為了避開試樣兩端受力部分對測試結果的影響，試驗前先在試樣的中間等直部分上劃兩條橫線(如圖2.16所示)，當試樣受力時，橫線之間的一段桿中任何橫截面上的應力均相等，這一段即為桿的工作段，其長度稱為標距。在試驗時就量測工作段的變形。常用的試樣有圓截面和矩形截面兩種。為了能比較不同粗細的試樣在拉斷后工作段的變形程度，通常對圓截面標準試樣的標距長度與其橫截面直徑的比例加以規定。矩形截面標準試樣，則規定其標距長度與橫截面面積的比例。常用的標準比例有兩種，即和(對圓截面試樣)或和(對矩形截面試樣)壓縮試樣通常用圓形截面或正方形截面的短柱體(如圖2.17所示)，其長度與橫截面直

23、徑或邊長的比值一般規定為1到3，這樣才能避免試樣在試驗過程中被壓彎。圖2.16 拉伸試樣 圖2.17 壓縮試樣拉伸或壓縮試驗時使用的設備是多功能萬能試驗機。萬能試驗機由機架、加載系統、測力示值系統、載荷位移紀錄系統以及夾具、附具等5個基本部分組成。關于試驗機的具體構造和原理，可參閱有關材料力學實驗書籍。2.5.2 低碳鋼拉伸時的力學性能將準備好的低碳鋼試樣裝到試驗機上，開動試驗機使試樣兩端受軸向拉力的作用。當力由零逐漸增加時，試樣逐漸伸長，用儀器測量標距的伸長，將各值與相應的之值記錄下來，直到試樣被拉斷時為止。然后，以為橫坐標，力為縱坐標，在紙上標出若干個點，以曲線相連，可得一條-曲線，如圖2

24、.18所示，稱為低碳鋼的拉伸曲線或拉伸圖。一般萬能試驗機可以自動繪出拉伸曲線。低碳鋼試樣的拉伸圖只能代表試樣的力學性能，因為該圖的橫坐標和縱坐標均與試樣的幾何尺寸有關。為了消除試樣尺寸的影響，將拉伸圖中的值除以試樣橫截面的原面積，即用應力來表示：；將除以試樣工作段的原長，即用應變來表示：。這樣，所得曲線即與試樣的尺寸無關，而可以代表材料的力學性質，稱為應力-應變曲線或-曲線，如圖1.19所示。低碳鋼是工程中使用最廣泛的材料之一，同時，低碳鋼試樣在拉伸試驗中所表現出的變形與抗力之間的關系也比較典型。由-曲線圖可見，低碳鋼在整個拉伸試驗過程中大致可分為4個階段。 圖2.18 低碳鋼拉伸圖(-曲線)

25、 圖2.19 低碳鋼拉伸-曲線圖1. 彈性階段(圖2.19中的段)這一階段試樣的變形完全是彈性的，全部卸除荷載后，試樣將恢復其原長，這一階段稱為彈性階段。這一階段曲線有兩個特點：一是段是一條直線，它表明在這段范圍內，應力與應變成正比，即比例系數即為彈性模量，在圖2.19中。此式所表明的關系即胡克定律。成正比關系的最高點所對應的應力值，稱為比例極限，段稱為線性彈性區。低碳鋼的。另一特點是段為非直線段，它表明應力與應變成非線性關系。試驗表明，只要應力不超過點所對應的應力，其變形是完全彈性的，稱為彈性極限，其值與接近，所以在應用上，對比例極限和彈性極限不作嚴格區別。2. 屈服階段在應力超過彈性極限后

26、，試樣的伸長急劇地增加，而萬能試驗機的荷載讀數卻在很小的范圍內波動，即試樣的荷載基本不變而試樣卻不斷伸長，好像材料暫時失去了抵抗變形的能力，這種現象稱為屈服，這一階段則稱為屈服階段。屈服階段出現的變形，是不可恢復的塑性變形。若試樣經過拋光，則在試樣表面可以看到一些與試樣軸線成角的條紋(如圖2.20所示)，這是由材料沿試樣的最大切應力面發生滑移而出現的現象，稱為滑移線。在屈服階段內，應力有幅度不大的波動，稱最高點C為上屈服點，稱最低點D為下屈服點。試驗指出，加載速度等很多因素對上屈服值的影響較大，而下屈服值則較為穩定。因此將下屈服點所對應的應力，稱為屈服強度或屈服極限。低碳鋼的MPa。3. 強化

27、階段試樣經過屈服階段后，材料的內部結構得到了重新調整。在此過程中材料不斷發生強化，試樣中的抗力不斷增長，材料抵抗變形的能力有所提高，表現為變形曲線自c點開始又繼續上升，直到最高點d為止，這一現象稱為強化，這一階段稱為強化階段。其最高點d所對應的應力，稱為強度極限。低碳鋼的MPa。對于低碳鋼來講，屈服極限和強度極限是衡量材料強度的兩個重要指標。若在強化階段某點停止加載，并逐漸卸除荷載(如圖2.21所示)，變形將退到點。如果立即重新加載，變形將重新沿直線到達點，然后大致沿著曲線繼續增加，直到拉斷。材料經過這樣處理后，其比例極限和屈服極限將得到提高，而拉斷時的塑性變形減少，即塑性降低了。這種通過卸載

28、的方式而使材料的性質獲得改變的做法稱為冷作硬化。在工程中常利用冷作硬化來提高鋼筋和鋼纜繩等構件在線彈性范圍內所能承受的最大荷載。值得注意的是，若試樣拉伸至強化階段后卸載，經過一段時間后再受拉，則其線彈性范圍的最大荷載還有所提高，如圖2.21中所示。這種現象稱為冷作時效。圖2.20 屈服現象 圖2.21 冷作硬化與冷作時效鋼筋冷拉后，其抗壓的強度指標并不提高，所以在鋼筋混凝土中，受壓鋼筋不用冷拉。4. 局部變形階段試樣從開始變形到-曲線的最高點，在工作長度范圍內沿橫縱向的變形是均勻的。但自點開始，到點斷裂時為止，變形將集中在試樣的某一較薄弱的區域內，如圖2.22所示，該處的橫截面面積顯著地收縮，

29、出現“縮頸”現象。在試樣繼續變形的過程中，由于“縮頸”部分的橫截面面積急劇縮小，因此，荷載讀數(即試樣的抗力)反而降低，如圖2.18中的線段。在圖2.19中實線是以變形前的橫截面面積除拉力后得到的，所以其形狀與圖2-18中的線段相似，也是下降。但實際縮頸處的應力仍是增長的，如圖2.19中虛線所示。為了衡量材料的塑性性能，通常以試樣拉斷后的標距長度與其原長之差除以的比值(表示成百分數)來表示。稱為延伸率，低碳鋼的20%30%。此值的大小表示材料在拉斷前能發生的最大塑性變形程度，是衡量材料塑性的一個重要指標。工程上一般認為的材料為塑性材料，5%的材料為脆性材料。衡量材料塑性的另一個指標為截面收縮率

30、，用表示，其定義為其中，為試樣拉斷后斷口處的最小橫截面面積。低碳鋼的一般在60%左右。2.5.3 其他金屬材料在拉伸時的力學性能對于其他金屬材料，-曲線并不都像低碳鋼那樣具備四個階段。如圖2.22所示為另外幾種典型的金屬材料在拉伸時的-曲線。可以看出，這些材料的共同特點是延伸率均較大，它們和低碳鋼一樣都屬于塑性材料。但是有些材料(如鋁合金)沒有明顯的屈服階段，國家標準(GB 22887)規定，取塑性應變為時所對應的應力值作為名義屈服極限，以表示(如圖2.23所示)。確定的方法是：在軸上取的點，過此點作平行于-曲線的直線段的直線(斜率亦為)，與-曲線相交的點所對應的應力即為。圖2.22 其他金屬

31、材料拉伸圖 圖2.23 條件屈服應力圖2.24 鑄鐵拉伸曲線有些材料，如鑄鐵、陶瓷等發生斷裂前沒有明顯的塑性變形，這類材料稱為脆性材料。圖2.24是鑄鐵在拉伸時的-曲線，這是一條微彎曲線，即應力應變不成正比。但由于直到拉斷時試樣的變形都非常小，且沒有屈服階段、強化階段和局部變形階段，因此，在工程計算中，通常取總應變為時-曲線的割線(如圖2.24所示的虛線)斜率來確定其彈性模量，稱為割線彈性模量。衡量脆性材料拉伸強度的惟一指標是材料的拉伸強度。2.5.4 金屬材料在壓縮時的力學性能下面介紹低碳鋼在壓縮時的力學性能。將短圓柱體壓縮試樣置于萬能試驗機的承壓平臺間，并使之發生壓縮變形。與拉伸試驗相同，

32、可繪出試樣在試驗過程的縮短量與抗力之間的關系曲線，稱為試樣的壓縮圖。為了使得到的曲線與所用試樣的橫截面面積和長度無關，同樣可以將壓縮圖改畫成-曲線，如圖2.25實線所示。為了便于比較材料在拉伸和壓縮時的力學性能，在圖中以虛線繪出了低碳鋼在拉伸時的-曲線。由圖2.25可以看出：低碳鋼在壓縮時的彈性模量、彈性極限和屈服極限等與拉伸時基本相同，但過了屈服極限后，曲線逐漸上升，這是因為在試驗過程中，試樣的長度不斷縮短，橫截面面積不斷增大，而計算名義應力時仍采用試樣的原面積。此外，由于試樣的橫截面面積越來越大，使得低碳鋼試樣的壓縮強度無法測定。從圖2.25所示可知，低碳鋼拉伸試驗的結果可以了解其在壓縮時

33、的力學性能。多數金屬都有類似低碳鋼的性質，所以塑性材料壓縮時，在屈服階段以前的特征值，都可用拉伸時的特征值，只是把拉換成壓而已。但也有一些金屬，例如鉻鉬硅金鋼，在拉伸和壓縮時的屈服極限并不相同，因此，對這些材料需要做壓縮試驗，以確定其壓縮屈服極限。塑性材料的試樣在壓縮后的變形如圖2.26所示。試樣的兩端面由于受到摩擦力的影響，變形后呈鼓狀。 圖2.25 低碳鋼壓縮-圖 圖2.26 低碳鋼壓縮變形與塑性材料不同，脆性材料在拉伸和壓縮時的力學性能有較大的區別。如圖2.27所示，繪出了鑄鐵在拉伸(虛線)和壓縮(實線)時的-曲線，比較這兩條曲線可以看出：無論拉伸還是壓縮，鑄鐵的-曲線都沒有明顯的直線階

34、段，所以應力-應變關系只是近似地符合胡克定律；鑄鐵在壓縮時無論強度還是延伸率都比在拉伸時要大得多，因此這種材料宜用作受壓構件。鑄鐵試樣受壓破壞的情形如圖2.28所示，其破壞面與軸線大致成3540傾角。 圖2.27 鑄鐵壓縮-圖 圖2.28 鑄鐵壓縮破壞圖2.5.5 幾種非金屬材料的力學性能1. 混凝土混凝土是由水泥、石子和砂加水攪拌均勻經水化作用后而成的人造材料，是典型的脆性材料。混凝土的拉伸強度很小，約為壓縮強度的1/51/20(如圖2.29所示)，因此，一般都用作壓縮構件。混凝土的標號也是根據其壓縮強度標定的。試驗時將混凝土做成正立方體試樣，兩端由壓板傳遞壓力，壓壞時有兩種形式：壓板與試樣

35、端面間加潤滑劑以減小摩擦力，壓壞時沿縱向開裂，如圖2.30(a)所示；壓板與試樣端面間不加潤滑劑，由于摩擦力大，壓壞時是靠近中間剝落而形成兩個對接的截錐體，如圖2.30(b)所示。兩種破壞形式所對應的壓縮強度也有差異。 圖2.29 混凝土壓縮-圖 圖2.30 混凝土壓縮破壞現象2. 木材木材的力學性能隨應力方向與木紋方向間傾角大小的不同而有很大的差異，即木材的力學性能具有方向性，稱為各向異性材料。如圖2.31所示為木材在順紋拉伸、順紋壓縮和橫紋壓縮的-曲線，由圖可見，順紋壓縮的強度要比橫紋壓縮的高，順紋壓縮的強度稍低于順紋的拉伸強度，但受木節等缺陷的影響較小，因此在工程中廣泛用作柱、斜撐等承壓

36、構件。由于木材的力學性能具有方向性，因而在設計計算中，其彈性模量和許用應力，都應隨應力方向與木紋方向間傾角的不同而采用不同的數量，詳情可參閱木結構設計規范GBJ574。圖2.31 木材-圖3. 玻璃鋼玻璃鋼是由玻璃纖維作為增強材料，與熱固性樹脂粘合而成的一種復合材料。玻璃鋼的主要優點是重量輕、強度高、成型工藝簡單、耐腐蝕、抗震性能好，且拉、壓時的力學性能基本相同，因此，玻璃鋼作為結構材料在工程中得到廣泛應用。2.5.6 塑性材料和脆性材料的主要區別綜合上述關于塑性材料和脆性材料的力學性能，歸納其區別如下。(1) 多數塑性材料在彈性變形范圍內，應力與應變成正比關系，符合胡克定律；多數脆性材料在拉

37、伸或壓縮時-圖一開始就是一條微彎曲線，即應力與應變不成正比關系，不符合胡克定律，但由于-曲線的曲率較小，所以在應用上假設它們成正比關系。(2) 塑性材料斷裂時延伸率大，塑性性能好；脆性材料斷裂時延伸率很小，塑性性能很差。所以塑性材料可以壓成薄片或抽成細絲，而脆性材料則不能。(3) 表征塑性材料力學性能的指標有彈性模量、彈性極限、屈服極限、強度極限、延伸率和截面收縮率等；表征脆性材料力學性能的只有彈性模量和強度極限。(4) 多數塑性材料在屈服階段以前，抗拉和抗壓的性能基本相同，所以應用范圍廣；多數脆性材料抗壓性能遠大于抗拉性能，且價格低廉又便于就地取材，所以主要用于制作受壓構件。(5) 塑性材料

38、承受動荷載的能力強，脆性材料承受動荷載的能力很差，所以承受動荷載作用的構件多由塑性材料制作。值得注意的是，在常溫、靜載條件下，根據拉伸試驗所得材料的延伸率，將材料區分為塑性材料和脆性材料。但是，材料是塑性的還是脆性的，將隨材料所處的溫度、加載速度和應力狀態等條件的變化而不同。例如，具有尖銳切槽的低碳鋼試樣，在軸向拉伸時將在切槽處發生突然的脆性斷裂。又如，將鑄鐵放在高壓介質下作拉伸試驗，拉斷時也會發生塑性變形和頸縮現象。2.6 許用應力與強度條件2.6.1 許用應力前面已經介紹了桿件在拉伸或壓縮時最大工作應力的計算，以及材料在荷載作用下所表現的力學性能。但是，桿件是否會因強度不夠而發生破壞，只有

39、把桿件的最大工作應力與材料的強度指標聯系起來，才有可能作出判斷。前述試驗表明，當正應力達到強度極限時，會引起斷裂；當正應力達到屈服極限時，將產生屈服或出現顯著的塑性變形。構件工作時發生斷裂是不容許的，構件工作時發生屈服或出現顯著的塑性變形一般也是不容許的。所以，從強度方面考慮，斷裂是構件破壞或失效的一種形式，同樣，屈服也是構件失效的一種形式，一種廣義的破壞。根據上述情況，通常將強度極限與屈服極限統稱為極限應力，并用表示。對于脆性材料，強度極限是惟一強度指標，因此以強度極限作為極限應力；對于塑性材料，由于其屈服應力小于強度極限，故通常以屈服應力作為極限應力。對于無明顯屈服階段的塑性材料，則用作為

40、。在理想情況下，為了充分利用材料的強度，似應使材料的工作應力接近于材料的極限應力，但實際上這是不可能的，原因是有如下的一些不確定因素。(1) 用在構件上的外力常常估計不準確。(2) 計算簡圖往往不能精確地符合實際構件的工作情況。(3) 實際材料的組成與品質等難免存在差異，不能保證構件所用材料完全符合計算時所作的理想均勻假設。(4) 結構在使用過程中偶爾會遇到超載的情況，即受到的荷載超過設計時所規定的荷載。(5) 極限應力值是根據材料試驗結果按統計方法得到的，材料產品的合格與否也只能憑抽樣檢查來確定，所以實際使用材料的極限應力有可能低于給定值。所有這些不確定的因素，都有可能使構件的實際工作條件比

41、設想的要偏于危險。除以上原因外，為了確保安全，構件還應具有適當的強度儲備，特別是對于因破壞將帶來嚴重后果的構件，更應給予較大的強度儲備。由此可見，桿件的最大工作應力應小于材料的極限應力，而且還要有一定的安全裕度。因此，在選定材料的極限應力后，除以一個大于1的系數，所得結果稱為許用應力，即式中稱為安全因數。確定材料的許用應力就是確定材料的安全因數。確定安全因數是一項嚴肅的工作，安全因數定低了，構件不安全，定高了則浪費材料。各種材料在不同工作條件下的安全因數或許用應力，可從有關規范或設計手冊中查到。在一般靜強度計算中，對于塑性材料，按屈服應力所規定的安全因數，通常取為1.52.2；對于脆性材料，按

42、強度極限所規定的安全因數，通常取為3.05.0，甚至更大。2.6.2 強度條件根據以上分析，為了保證拉(壓)桿在工作時不致因強度不夠而破壞，桿內的最大工作應力不得超過材料的許用應力，即 (2-8)式(2-8)即為拉(壓)桿的強度條件。對于等截面桿，上式即變為 (2-9)利用上述強度條件，可以解決下列3種強度計算問題。(1) 強度校核。已知荷載、桿件尺寸及材料的許用應力，根據強度條件校核是否滿足強度要求。(2) 選擇截面尺寸。已知荷載及材料的許用應力，確定桿件所需的最小橫截面面積。對于等截面拉(壓)桿，其所需橫截面面積為 (3) 確定承載能力。已知桿件的橫截面面積及材料的許用應力，根據強度條件可

43、以確定桿能承受的最大軸力，即然后即可求出承載力。最后還需指出，如果最大工作應力超過了許用應力，但只要不超過許用應力的5%，在工程計算中仍然是允許的。在以上計算中，都要用到材料的許用應力。幾種常用材料在一般情況下的許用應力值見表2-2。表2-2 幾種常用材料的許用應力約值材料名稱牌 號軸向拉伸(MPa)軸向壓縮(MPa)低碳鋼Q235140170140170低合金鋼16Mn230230灰口鑄鐵3555160200木材(順紋)5.510.0816混凝土C200.447混凝土C300.610.3說明：適用于常溫、靜載和一般工作條件下的拉桿和壓桿。下面通過例題來說明上述3類問題的具體解法。【例題2.7

44、】 螺紋內徑的螺栓，緊固時所承受的預緊力為。若已知螺栓的許用應力MPa，試校核螺栓的強度是否足夠。解：(1) 確定螺栓所受軸力。應用截面法，很容易求得螺栓所受的軸力即為預緊力，有(2) 計算螺栓橫截面上的正應力。根據拉伸與壓縮桿件橫截面上正應力計算公式(2-1)，螺栓在預緊力作用下，橫截面上的正應力為(MPa)(3) 應用強度條件進行校核。已知許用應力為螺栓橫截面上的實際應力為MPa(MPa)所以，螺栓的強度是足夠的。【例題2.8】 一鋼筋混凝土組合屋架，如圖2.32(a)所示，受均布荷載作用，屋架的上弦桿和由鋼筋混凝土制成，下弦桿為Q235鋼制成的圓截面鋼拉桿。已知：，鋼的許用應力MPa，試

45、設計鋼拉桿的 直徑。解：(1) 求支反力和，因屋架及荷載左右對稱，所以圖2.32 例題2.8圖(2) 用截面法求拉桿內力，取左半個屋架為脫離體，受力如圖2.32(b)所示。由，得(3) 設計Q235鋼拉桿的直徑。由強度條件得【例題2.9】 防水閘門用一排支桿支撐著，如圖2.33(a)所示，為其中一根支撐桿。各桿為的圓木，其許用應力MPa。試求支桿間的最大距離。解：這是一個實際問題，在設計計算過程中首先需要進行適當地簡化，畫出簡化后的計算簡圖，然后根據強度條件進行計算。(1) 計算簡圖。防水閘門在水壓作用下可以稍有轉動，下端可近似地視為鉸鏈約束。桿上端支撐在閘門上，下端支撐在地面上，兩端均允許有

46、轉動，故亦可簡化為鉸鏈約束。于是桿的計算簡圖如圖2.33(b)所示。圖2.33 例題2.9圖(2) 計算桿的內力。水壓力通過防水閘門傳遞到桿上，如圖2.33(a)中陰影部分所示，每根支撐桿所承受的總水壓力為 其中為水的容重，其值為10；為水深，其值為3；為兩支撐桿中心線之間的距離。于是有根據如圖2.33(c)所示的受力圖，由平衡條件，其中得(3) 根據桿的強度條件確定間距的值。由強度條件得【例題2.10】 三角架由和兩根桿組成，如圖2.34(a)所示。桿由兩根No.14a的槽鋼組成，許用應力MPa；桿為一根No.22a的工字鋼，許用應力為MPa。求荷載的許可值。 (a) (b)圖2.34 例題

47、2.10圖解：(1) 求兩桿內力與力的關系。取節點為研究對象，其受力如圖2.34(b)所示。節點的平衡方程為，解得 (a)(2) 計算各桿的許可軸力。由型鋼表查得桿和的橫截面面積分別為，。根據強度條件得兩桿的許可軸力為(3) 求許可荷載。將和分別代入(a)式，便得到按各桿強度要求所算出的許可荷載為所以該結構的許可荷載應取。2.7 應力集中與材料疲勞2.7.1 應力集中由2.3節知，對于等截面直桿在軸向拉伸或壓縮時，除兩端受力的局部地區外，截面上的應力是均勻分布的。但在工程實際中，由于構造與使用等方面的需要，許多構件常常帶有溝槽(如螺紋)、孔和圓角(構件由粗到細的過渡圓角)等，情況就不一樣了。在

48、外力作用下，構件在形狀或截面尺寸有突然變化處，將出現局部的應力驟增現象。例如，如圖2.35(a)所示的含圓孔的受拉薄板，圓孔處截面上的應力分布如圖2.35(b)所示，在孔的附近處應力驟然增加，而離孔稍遠處應力就迅速下降并趨于均勻。這種由桿件截面驟然變化而引起的局部應力驟增現象，稱為應力集中。 (a) (b)圖2.35 應力集中現象應力集中的程度用所謂理論應力集中因數表示，其定義為式中，為最大局部應力；為該截面上的名義應力(軸向拉壓時即為截面上的平均應力)。值得注意的是，桿件外形的驟變越劇烈，應力集中的程度越嚴重。同時，應力集中是一種局部的應力驟增現象，如圖2.35(b)中具有小孔的均勻受拉平板

49、，在孔邊處的最大應力約為平均應力的3倍，而距孔稍遠處，應力即趨于均勻。而且，應力集中處不僅最大應力急劇增加，其應力狀態也與無應力集中時不同。2.7.2 應力集中對構件強度的影響圖2.36 應力集中圖對于由脆性材料制成的構件，當由應力集中所形成的最大局部應力到達強度極限時，構件即發生破壞。因此，在設計脆性材料構件時，應考慮應力集中的影響。對于由塑性材料制成的構件，應力集中對其在靜荷載作用下的強度則幾乎無影響。因為當最大應力達到屈服應力后，如果繼續增大荷載，則所增加的荷載將由同一截面的未屈服部分承擔，以致屈服區域不斷擴大(如圖2.36所示)，應力分布逐漸趨于均勻化。所以，在研究塑性材料構件的靜強度

50、問題時，通常可以不考慮應力集中的影響。但在動荷載作用下，則不論是塑性材料，還是脆性材料制成的桿件，都應考慮應力集中的影響。2.8 拉壓桿的超靜定問題2.8.1 超靜定問題的提出及其求解方法在前面所討論的問題中，桿件或桿系的約束反力以及內力只要通過靜力平衡方程就可以求得，這類問題稱為靜定問題。但在工程實際中，我們還會遇到另外一種情況，其桿件的內力或結構的約束反力的數目超過靜力平衡方程的數目，以致單憑靜力平衡方程不能求出全部未知力，這類問題稱為超靜定問題。未知力數目與獨立平衡方程數目之差，稱為超靜定次數。圖2.37(a)所示的桿件，上端A固定，下端B也固定，上下兩端各有一個約束反力，但我們只能列出

51、一個靜力平衡方程，不能解出這兩個約束反力，這是一個一次超靜定問題。如圖2.37(b)所示的桿系結構，三桿鉸接于A，鉛垂外力作用于A鉸。由于平面匯交力系僅有兩個獨立的平衡方程，顯然，僅由靜力平衡方程不可能求出三根桿的內力，故也為一次超靜定問題。再如圖2.37(c)所示的水平剛性桿AB，A端鉸支，還有兩拉桿約束，此也為一次超靜定問題。圖2.37 超靜定結構在求解超靜定問題時，除了利用靜力平衡方程以外，還必須考慮桿件的實際變形情況，列出變形的補充方程，并使補充方程的數目等于超靜定次數。結構在正常工作時，其各部分的變形之間必然存在著一定的幾何關系，稱為變形協調條件。解超靜定問題的關鍵在于根據變形協調條件寫出幾何方程，然后將聯系桿件的變形與內力之間的物理關系(如胡克定律)代入變形幾何方程，即得所需的補充方程。下面通過具體例子來加以