1、第3章能量定理和守恒定律3-5 一圓錐擺的擺球在水平面上作勻速圓周運動。已知擺球質量為m,圓半徑為R,擺球速率為u,當擺球在軌道上運動一周時， 作用在擺球上重力沖量的大小為多少？解：如3-5題圖所示，一周內作用在擺球上重力沖量的大小為 廣 .2nRI P = J mgdt = mgAt = mg3-6用棒打擊質量為 0.3Kg、速率為20m/s的水平飛來的 球，球飛到豎直上方10 m的高度。求棒給予球的沖量多 大？設球與棒的接觸時間為 0.02s,求球受到的平均沖力。解：設球的初速度為 5,球與棒碰撞后球獲得豎直向上的速度為氏，球與棒碰撞后球上升的最大高度為h ,如3-6題圖所示，因球飛到豎直

2、上方過程中，只有重力作功，由機械能守恒定律得12 mgh = - m' 22 = ,2gh由沖量的定義可得棒給予球的沖量為I = m 2 j - m 1i其沖量大小為I = J(mq 2 +(m2 2 = 7.32( N S )球受到的平均沖力為 I1 = F tf = = 366 N3-7質量為M的人，手里拿著一個質量為m的球，此人用與水平線成。角的速度向前跳去。 當他達到最高點時，將物體以相對人的速度口水平向后拋出，求由于物體的拋出，跳的距離增加 了多少？(假設人可視為質點)解：如3-7題圖所示，把人與物視為一系統，當人跳躍到最高點處，在向后拋物的過程中，滿 足動量守恒，故有M m

3、 ° c o s = M m -；f式中u為人拋物后相對地面的水平速率， u-N為拋出物對地面的水平速率，得=o C O S -m二M m人的水平速率的增量為- - oCOS1=口 M m而人從最高點到地面的運動時間為0 sin 二t = 0g所以，人由于向后拋出物體，在水平方向上增加的跳躍后距離為m 0 sin 1 LX= t M m g 1 33-8 一質量為 m=2kg的物體按x= t +2(m )的規律作直線運動，求當物體由 x1 = 2m運動 2到x2 =6m時，外力做的功。1cdX 3 c解：由 x = t +2 ,可得 u = = t 2dt 2當物體在xi = 2m處

4、時，可得其時間、速度分別為 1 3-2=2 ti 2t1二0s3 c2 c.1丹=一父0=0舊6 )(1)2當物體在X2 = 6m處時，可得其時間、速度分別為13一6122 t2=2s232 八J2=萬 2 =6 ms-則由（1）、（2）式得外力做的功1 212W = 一 m 2 - - m 1 =36 J2 23-9求把水從面積為50m2 地下室中抽到街道上來所需 作的功。已知水深為1.5m, 面至街道的距離為5nl解：設h。、幾分別表示水面至街道的距離、水深，如 3-9題圖所示，將地下室中的水抽到街道上來所需作的功為sghdhho h1W =ho= Lgsh122Ah0211- 1.0 1

5、03 9.8 50 1.52 2 5 1.52= 4.23 106 J3-10如圖所示，一個質量 仁2kg的物體，從靜止開始，沿著四分之一的圓周，從 A滑到B,在B處時速度的大小是 6m/so已知圓的半徑 R= 4m,求物體從 A到B的過 人程中，摩擦力所作的功。白1-解：如3-10題圖所示，以物體和地球為一系統，物體滑動過程中，r:受重力作功和摩擦力作功，由功能原理可得摩擦力所作的功為;工12X. 片Wf =(0 + mu ) -mgR1211 3-10題圖Wf - -mgRm： 2 - -42.4 J23-11最初處于靜止的質點受到外力的作用，該力的沖量為4.00N s ,在同一時間間隔內

6、，該力所作的功為2.00J,問該質點質量是多少？解：設質點末動量為 p ,末動能為 Ek ,由于質點最初處于靜止狀態，因此，初動量 p0 =0,初動能Ek0 =0,根據動量定理和動能定理分別有I j p 二 p - P0 二 p所以3-12速度變為W = . ：Ek =Ek -Ek0 =Ekk k k0 k匚 1-2Ek = m2I2m =2Ek2m 2mI 2=4.00kg2W3-12題圖所示，A球的質量為m,以速度u飛行，與一靜止的小球B碰撞后，A球的切其方向與u方向成900, B球的質量為5m,它被撞后以速度u2飛行，。2的方向與u成,3_(6 =arcsin -)角。求:(2)解:5求

7、兩小球相撞后速度 V|。2的大小；求碰撞前后兩小球動能的變化。(1)取A球和B球為一系統，其碰撞過程中無外力作用,由動量守恒定律得水平方向:mu = 5m 2 cos(1)豎直方向:(2)聯解(1)、(2)式，可得兩小球相撞后速度大小分別為3u1=7(2)2u4碰撞前后兩小球動能的變化為O3-12題圖3-13Eka1 m 3u 21 mu2.一1一八Ekb = - 5m024一質量為10g、速度為200m7 2 mu3252=一 mu326的子彈水平地射入鉛直的墻壁內0.04m后而停止運動,若墻壁的阻力是一恒量，求墻壁對子彈的作用力。解：以子彈為研究對象，子彈在水平地射入鉛直的墻壁內后，在水平

8、方向上只受墻壁的阻力作 用，則有x1212fdr= m- m002212fx=0 m02,2 f = -口 = -5 1 0 N 2x3-14 一質量為m的質點在x-y平面內運動，其位置矢量為 r =acos«ti + bsin®tj ,其中a, b 和co均是正常數試證明該質點對于坐標原點角動量守恒。解：由 r =acos®ti+bsincotj 可得dr=-a sin ti bcostjdtd22 .,.F = ma = m=m -acos ti - b sin tjdtF = m L 2 a cos ti sin tj ）- m 2r即質點在運動過程中，只受

9、向心力作用，且向心力對坐標原點的力矩為零，所以該質點對于坐 標原點角動量守恒。3-15在光滑的水平面上有一木桿，其質量mi = 1.0kg ,長l =40cm ,可繞通過其中點并與之垂直的軸轉動。一質量為m2 =10g的子彈，以u =2x102m/s的速度射入桿端，其方向與桿及軸正交。若子彈陷入桿中，試求所得到的角速度。解：設Ji、J2、3。/分別表示桿相對于軸 O的轉動慣量、子彈相對于 O軸的轉動慣量、子彈射向桿前子彈相對于 O軸的角速度、子彈陷入桿后時桿的角速 度，如3-15題圖所示，以子彈和木桿為一系統，根據角動量守恒 定律J2 = J1 J2 /6m21=29.1 rad sm1 3m

10、 2 l23-16 一質量為20.0kg的小孩，站在一半徑為 3.00m、轉動慣量為450kg m的靜止水平轉臺的邊緣上，此轉臺可繞通過轉臺中心的豎直軸轉動，轉臺與軸間的摩擦不計。如果此小孩相對轉臺以1.00m s二的速率沿轉臺邊緣行走，問轉臺的角速率有多大？解：取6。、以、*分別表示轉臺相對地面的角速度、小孩相對轉臺的角速度、小孩相對地面 的角速度，由相對角速度的關系，小孩相對地面的角速度為. ' = . 0 . - 1 V '% -R以小孩和轉臺為一系統，由于系統初始是靜止的，根據系統的角動量守恒定律，有J0"0 ' J1 "0"1=0

11、0 二 9.52 10二 rad s,式中負號表示轉臺的方向與小孩相對轉臺的速率引起的轉動方向相反。3-17 一質量為 m的地球衛星，沿半徑為 3Re的圓軌道運動，Re為地球的半徑。已知地球的質量為mE,求：（1）衛星的動能；（2）衛星的引力勢能；（3）衛星的機械能。解：（1）衛星與地球之間的萬有引力是提供衛星作圓周運動的向心力，由牛頓定律可得則衛星的動能mEmG23Re2V二 m3Re(2)取與衛星、地球相距無限遠( 的勢能為mEm二 G6Ret s)時的引力勢能為零，則處在軌道上的衛星所具有(3)衛星的機械能為l l l - mEmmEm-E = Ek , EP = G GG6Re3Rem

12、E m6Re3-18如圖所示，一質量為m的子彈在水平方向以速度 v射入豎直懸掛的靶內， 并與靶一起運動,設靶的質量為M解：如3-18 恒定律得求子彈與靶擺動的最大高度。題圖所示,取子彈和靶為一系統，子彈與靶碰撞過程中無水平外力作用，由動量守m-F '1(1)子彈與靶在擺動過程中, 械能守恒定律得只有重力作功，機械能守恒，則由機12m M 1 = m M gh 2聯解(1)、(2)式可得子彈與靶擺動的最大高度為2 2, mh 二22g m M3-18題圖3-19平位置后,如圖所示，質量為 m的鋼球。系在長為l的繩子的一端，繩子的另一端固定。把繩拉到水再把球由靜止釋放，球在最低點與一質量為

13、M的鋼塊作完全彈性碰撞，問碰撞后鋼球能達到多高？解：設9、y、V、h分別表示鋼球下落到剛要與鋼塊碰撞時的速度、鋼球與鋼塊碰撞后鋼球的速度、鋼球與鋼塊碰撞后鋼塊的速度、鋼球與鋼塊碰撞后鋼球能達到的 最大高度，如3-19題圖所示，鋼球由靜止釋放過程中， 只有重力作功，由機械能守恒定律得mg 1 = 1 m23-19題圖1f,2g1(1)以鋼球和鋼塊為一系統，鋼球在最低點與鋼塊作完全彈性碰撞，無水平方向外力作功，則有m- 1 = -m 2 MV(2)1212 1 .m 1 = 一 m 2 MV 222(3)2 jm. 2 = m g h(4)聯解（1）、（2）、（3）、（4）可得鋼球能達到的最大高度

14、為2.h= M。M m3-20長為l質量為m。的細棒可繞垂直于一端的水平軸自由轉動。棒原來處于平衡狀態。現有一質量為 m的小球沿 光滑水平面飛來正好與棒下端相碰（設碰撞為完全彈性）使 桿向上擺到日=60°。如3-20題圖所示，求小球的初速度。3-20題圖解：設（0為小球與棒碰撞后棒獲得的角速度，U為小球與棒碰撞后小球的速度，U。為小球與棒碰撞前小球的初速度，如 3-20題圖所示，取小球和棒為一系統，小球與棒碰撞過程中，外力對轉的 軸力矩為零，則由角動量守恒定律得1. 2,mu0l =J6 +m3 = - m0l 0 +ml（1）3又小球與棒碰撞為完全彈性碰撞，則在碰撞瞬間，12121

15、.2m, 0 = - m - J 222棒在擺動過程中，只有重力作功，機械能守恒，則由機械能守恒定律得-J©2 =mog-（1 -cos600 ）（3）22聯解（1）、（2）、（3）可得小球的初速度為mb 3m gl。二 m 243-21如3-21題圖所示，在光滑的水平面上有一輕質彈簧（其勁度系數為k）,它的一端固定，另一端系一質量為 m,的滑塊。最初滑塊靜止時，彈簧呈自然長度I。，今有一質量為 m2的子彈以速度u0沿水平方向并垂直于彈簧軸線射向滑塊且留在其中，滑塊在水平面內滑動，當彈簧被拉伸至長 度I時，求滑塊速度的大小和方向。解：設Ua、Ub、9分別表示為子彈嵌入滑塊后的共同速度、彈簧被拉伸至長度 I時，滑塊的速度、