1、線性代數中矩陣的消元法與高等數學中解多元方程問題的聯系在高等數學中，解多元方程的過程一般是雜而煩的，大量的未知數常常使我們眼花繚亂、不知所措，所能做的，就是不斷的移項、消元、加加減減，最后，還不一定能得出答案，得出的答案也不一定正確。在學完矩陣的消元法以后，頓時覺得類似解多元方程的問題用矩陣來解會簡單許多。在這里，我舉個例子：2x1 - x 2 3x3 = 14x1 2x2 5x3 = 4例1：解線性方程組：0*0公(見線性代2x12 x 3 = 6數課本P17)解：ri_ 2一31七 2一1 31+戶0 2 6Q101 31r*”0 9、 。9、A=42542 104 -121 3 003

2、-18I-0 01 -60 0 1-6 2 010-1匕 0 3 6b% 1 -15r2I43P 1-15)© 1T 5)910-1 901-6,'x1 = 9所以，方程有唯一解 x2 = - 1。、x3 = - 6用矩陣的消元法解多元線性方程明顯比我們從前學習的普通方法要簡單的多。雖然計算不能說變得簡單了，但是至少看起來一目了然，可以減少計算錯誤的發生，也省去了重復地寫大量的未知數， 使步驟變得簡單多了。當然這僅僅是線性代數運用在解線性方程中的一個方面， 再舉一個例子:X1 2x2 2x3 = 7例2:解線性方程組,X1+X2+X3=4（見線性代數課本P67）。解：D =3

3、 + 0+2-0-1 一6 = -2 ,按照三階行列式的定義,我們可以計算:7D1 =47=-2,D2=-2, D3=-4.所以,XiD1.1x .2.1x .2-3D，X2 一 D 供 一 D這里，我們有必要提一下二階行列式的定義:設二元線性方程組21X +a12X2 =n (1)1X1,對方程組進行消元a22 M (1) 一 a12 M (2),有(a11a22 - a12 a21)X1=b1a22 - a12b2,當 aiia22 -a12a21，。日寸,b1a22 - a12b2X1 二a11a2 - a12a21類似的,4e22-耍21#0時，有a11b2 - b1a21X2 二用包

4、2 一42a21為了便于記憶，引入記號:可以記為bla12b2a22a11a21a1a?唯一解X，W，X2”,其中,a12a22a12a22=四包2 -叫2a21，這樣 b1%2 a12b2*0時，方程組a11X1 + a12X2 = b1 .上 有a21X1a22X2 = b2C _ ha1212 ba22一a11R = 11a21b1b2這樣，方程組的解就由系數和常數項表示出來了,這組解我們稱之為公式解其中，我們稱 a11 a12 =811822 a12a21 為二階行列式。 a21 a22這是矩陣的消元法在解二元方程中的運用，在二元方程中，利用消元法去解不免有些繁瑣。但是，矩陣的消元法也

5、可引申到解多元方程 中，這能使解多元方程變得簡單的多，在此，就不舉相應的例子了。線性代數中矩陣與概率論判定隨機變量的獨立性問題的聯系在概率論中，判定隨機變量的獨立性通常是采用檢驗聯合分布是否 等于邊際分布的乘積，在正態分布的前提下也可以用相關性和獨立性 的關系來判斷，但對于多維的隨機變量這種方法計算比較復雜，這時,利用特殊矩陣的特殊性質來判斷多維正態隨機變量的獨立性會簡單 得多。這里，我們舉一個例子：例：X1,X2,X3,X4是相互獨立、而且服從方差為 一的正態分布的隨 機變量，證明：3991939111-f1(X1,X2,X3,X4)= X；+X； + X； + X： -7X1X3 +X3X

6、4+_X1X4 與4242.22f2(X1,X2,X3,X4)=72X1+2X3 -亞X4 相互獨立。證記 X =(X1,X2,X3,X4)rZ=(乙，Z2,Z3,Z4)r,其中乙,Z2,Z3,Z4 是X1 , X 2 , X3 , X4通過線性變換得到的隨機變量，1、，1 、，1、,二X1 X 2 X一 .22Z2-1X12Z3-1Xi21、，1、，X2X4,221、，1、，X3X422Z4則Z=AX,其中A =1212121<21.2 120000121.22121212所以矩陣A為1、，1 、，1、，二一X1 X3 X4222正交矩陣丁cc IICT 2i = j一 一、.VarZ

7、 =AVarXA=A<i2EA=<i2E,即 cov(Zi Z0 =,又因為0i * jJ乙。=1,2,3,4）服從正態分布，所以 Z1，Z2，Z3，Z4相互獨立。2X32111X1X3-X3X4X1X4 - 2. 22X； X2 X； X3 - 1X12.21,X； -X4 XX2 3 2 4,2 13 X3X4-X1X4, 22=X122221112_2_22X2 X3 X4 -(-X1 X3X4)=X X -Z4 =X A AX -Z4 =Z Z -Z42.22_ 2_ 2_2=乙Z2Z3所以，得到32212"。小公廠"X2 1X33X24X41 . .1

8、 . .1 .2JX X1X3 + 1X X3X4 X1 X4與 X =(X1,X2,X3,X4)Z=(Z1,Z2,Z3,Z4)相互獨立。線性代數與直線、平面位置關系問題的聯系空間直線與平面的位置關系，為線性方程組的結構理論提供了直觀 的幾何解釋，同樣，線性代數中的線性方程組的結構理論對深刻領會 直線與平面的位置關系起到重要作用。下面，我用一個三元一次線性 方程組來說明方程組的解的幾何意義。a1x b1y c1z = d1(二 1)設空間中三個平面Xi,期,X3,其方程為：4 a2x+b?y+C2z = d2(兀2),其系 國3X +b3y+ qz = d3(兀 3)數矩陣為A,增廣矢!陣為A

9、,那么方程組的解可以分為以下幾個情形：1、如果r(A)=r( A)=r , 一個平面有共同點，方程組有解1 )如果r=3,方程組的系數矩陣可逆，則方程存在唯一解，這時一個平面相交于一點；2 )如果r=2,方程組的解等價于某兩個線性無關的解，存在無窮多個解，此時，一個平面相交于一條直線；3 )如果r=1 ,三個方程組重合為一個方程組，方程組有你無窮多個解，三個平面重合。2、當r(A)*r(A),三個平面沒有共同交點，方程無解。由平面方程定義可知 1 一 r(A)：二 r(A) = r(A) *1如果 r(A) =2,r(A) =3,設 A =(占總京)，。如果ai,aj ( i * j )線性無關，則三個平面互相平行但不重合。如果A的其中兩個行向量線性無關，不妨假設為 a1,a2,則產2 重合，與，平行。結論：線性代數與幾何的聯系是廣泛的，線性代數的許多理論可以認為是幾何上的二維平面空間、三維立體空間的延伸和推廣，因此，在線性代數中把握兩者之間的關系， 融入幾何的知識，這對我們學習 線性代數也會起到與眾不同的作用，為線性代數的學