1、最優(yōu)控制習(xí)題及參考答案習(xí)題1求通過(guò)x(0) =1, x(1)=2 ,使下列性能指標(biāo)為極值的曲線:t f 2J = ( (x2+1)dt九解：由已知條件知：to = 0 , t f = 1d由歐拉方程得： (2x) = 0 dtx= C1x = C1t + C2將 x(0) = 1, x(1) = 2代入，有：C2 = 1, C1 = 1得極值軌線：x (t) = t + 1習(xí)題2 求性能指標(biāo):1J =1(x2+1)dt在邊界條件x(0) = 0 , x(1)是自由情況下的極值曲線。n x*(t)%”解：由上題得：x (t) = C1t + C2由 x(0) = 0 得：C2 = 0?L由一 =

2、2x(t f) = 2C1 t=t f = 0t=tf?x于是：x* (t) = 0【分析討論】對(duì)于任意的 x(0) = xo , x(1)自由。>_ I 一*有：C2 = x0 , C1 = 0，即：x (t) = x0其幾何意義：x(1)自由意味著終點(diǎn)在虛線上任意點(diǎn)。習(xí)題3已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：xi(t) = x2(t) , x2(t) = u(t)邊界條件為：xi(0) = x2(0) = 1 , xi(3) = x2(3) = 0 , 31試求使性能指標(biāo)J = -u2(t)dt取極小值的最優(yōu)控制u* (t)以及最優(yōu)軌線x*(t)。在？解:由已知條件知：f = ? 2 ?u ? T

3、Hamiton 函數(shù)：H = L + 入 f?人=0由協(xié)態(tài)方程：？ 1? i =-?人二C得：？ 1 一 二? 4 = - C1t + C ?H由控制方程：=u + = 0?u 2得：u =-'二C1t - C2由狀態(tài)方程：x2 = u = Gt - C2得：x (t) = 1c t2 - C t + C 12322由狀態(tài)方程：x1 = x2得：x (t) = 1c t3 -16 11c t2 + C t + C2 234?1?0將 x(0) = ? ? , x(3) = ? ?代入，方? ?10聯(lián)立解得：C1 =§，C2 = 2，C3 = C4 = 1 由、式得：習(xí)題4u*

4、 (t)=* .Xi (t)=x* (t)=210 八 t - 29t3 - t 2 + t +12725 t2 - 2t +1已知系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為x=u， x(0) = 1試確定最優(yōu)控制使下列性能指標(biāo)取極小值。1J = £ (x2 + u2)e2tdt解:H = x2e2t + u2e2t + 入u? x= u?列方程：？入=-2xe? 2e2t u + 入=0由得，u = - 1 - 2t、2 e入代入得，2x1 e 2t 入x1 e-2t 入 e-2t=-+2將，代入，并考慮到u = x1 - 2t2t、- 2t 2t、x= - -e (- 2xe ) + e (- 2

5、e x)2整理可得：x+ 2x- x = 0特征方程：s + 2s - 1 = 0S = - 1+、. 2, s5 = - 1 - 2 2于是得：x*(t) = GeS1t + C2es2t)*002t Q 2t入(t ) =- 2e u = - 2e xX (t) = - 2e2t (Gses1, + G & e，由 x(0) = 1，得：G + C2 = 1由人(tf) = M1)= 0得：Gses1 + C2 e77 = 0、聯(lián)立，可得g、C2求導(dǎo)代回原方程可得X* 一 u*(略)習(xí)題5求使系統(tǒng)：x1 = x2 , x2 = u由初始狀態(tài)x1(0) =x2(0) =0出發(fā)，在tf

6、 = 1時(shí)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集11 2x(1)+ x2 (1)= 1,并使性能指標(biāo) J = - fu (t)dt 2 0為最小值的最優(yōu)控制 u* (t)及相應(yīng)的最優(yōu)軌線 x* (t)。解：本題f (i), L(i)與習(xí)題3同，故H (i)相同一方程同一通解同G,4=-Ct + C21 c t6 - Jc t于是：G =?1 + C22C1 = C2 + c t + C61C t2 -1u = Cit - C2x(0)二，有：C3 = C4= 0由 Xi(1)+ X2(1)= 1,有:+ 1C - C = 1t3 ? ?/X, - 1由 乂1)= +?丫 = 0，巾=x +?x ?x?有：入(1)= ?

7、丫 = 0 ?入(1)=入(1)*x -1*X -21 t3 + 3 t2143 t,7+ 6t14習(xí)題 6已知一階系統(tǒng)：Xt)-x(t) + u(t) , x(0) -3(1)試確定最優(yōu)控制u (t),使系統(tǒng)在ft - 2時(shí)轉(zhuǎn)移到x(2) - 0,并使性能泛函2J - / (1 + u2 )dt - min(2)如果使系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到 X0 )=0的終端時(shí)間tf自由，問(wèn)U(t)應(yīng)如何確定?解：H = 1+ u2 + U - Ax? x= - x + u?列方程：？入=入?八、八? 2u+ 入=0由協(xié)態(tài)方程得：入=c1e1 t由控制方程：u= - C1e21t1 八 t代入狀態(tài)方程：x = - x

8、- - C1e , x(t) = C2et = c e24 1t f = 2, x(2) = 0I1 - 42-e2 3 c c ? 9？解得:C2 =2 e2?獷.紀(jì)？1c = 34 1 ttf - C e f代入得：u (t) x(tf) = 2, tf 自由? ?H(tf ) = 0解得:40 - 6= 0.325u* (t) =- 0.162S習(xí)題7設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為x(t) = u(t) , x(0) = 1試確定最優(yōu)控制u* (t),使性能指標(biāo)1tf 2J = tf + U u dt2 J。為極小，其中終端時(shí)間tf未定，x(t f ) = 0。解： H = u2 + 入u2

9、由協(xié)態(tài)方程得：入=0 -由控制方程：u +入=0由狀態(tài)方程：x = u =-C1由始端：x(0) = 1 一 C由末端：x(tf ) = 0 一 ?考慮到：H (tf)=- *1 2有：一u + u = - 12 991 C 2 - C 2 = - 1?2 11C = 土&當(dāng)C1 = J2時(shí)，代入有：t f _ 1_ 1= C1 一 .：實(shí)用大全斗入二G-> u = - G? x(t) = - Gt + C2；2 = 1-Gtf + 1 = 0-?山？ Y = - 1?tfC 2 = 212J2時(shí)，代入當(dāng) C1 =-有：t f1 A _ ,1 ,不合題意，故有C1 j 2C1=

10、2最優(yōu)控制習(xí)題8設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為Xi(t) = X2 (t) , Xi (0) = 2X2(t) = U(t)，X2 (0) = 1性能指標(biāo)為 J=1u2dt2 0要求達(dá)到x(t f ) = 0 ,試求:(1) tf = 5時(shí)的最優(yōu)控制u* (t)；(2) tf自由時(shí)的最優(yōu)控制U (t);解：本題f (i), L(i ), H (i)與前同，故有4 = 1 C1t 3+ C1c t3 -61C t2 +2C t2 - c t + C? u = Cit -C2 由 x(0) = ? ?x(5)= ? °?,?C25 1得：？25G + 5C3 + C4 = 02-5Cu* =

11、 0.432 - 1.28聯(lián)立得：C1 = 0.432 C2 = 1.28,? 一4七2t?-?q1 fC t2 -t_ ?一 ?21 C t 2 + C + C = 0工 2 f 3 f 42C + C = 02 f 3? H(tf ) = 0聯(lián)立有：C2t 2 - 2C + 2 = 0 ,無(wú)論C為何值，t均無(wú)實(shí)解。t2 f2 f2f習(xí)題9給定二階系統(tǒng)x (t) = x (t) + 1 , x (0) = - 1并使12X2 (t) = u(t),1控制約束為u <-,要求最優(yōu)控制24114x2(0)=-u*(t),使系統(tǒng)在t = t時(shí)轉(zhuǎn)移到x(t f ) = 0 ,f9J = / u

12、 (t)dt = min其中t f自由。解：H = u2 + 入x + 11 2 4本題屬最小能量問(wèn)題，因此:? - 1 入 X <1?22*? 2 221 (t)=-入>1? 一2? 22? 1, < - 1?人= 0 一 入二 C由協(xié)態(tài)方程：？ 11102 人=-1 入 T X = -1C t+ C2%是t的直線函數(shù)。當(dāng) u* (t) = - 1 X = 1C t- 1C 時(shí)(試取)2 22 12 2x (t) = 1c t2 -2C t + C2123x (t) = _C t3 - _C t2 + 1t + C t + C112 14 24341由始端條件-C3 = C

13、4 =-由末端條件一1 Ct 3 - 1 C 2 +，t +1=04c 21 f112cCtt4 1 f另：H (tf ) = 01八 c . c聯(lián)立解得：C1 =C2= 0, t = 39f于是，入 1? 4 = 1時(shí)，t < 0t29?-1時(shí)，t = 9習(xí)題10 設(shè)二階系統(tǒng)Xi(t) = - Xi(t) + u(t) , Xi(0) = 1X2(t) = Xl(t) ,X2(0) = 0控制約束為u(t) <1 ,當(dāng)系統(tǒng)終端自由時(shí)，求最優(yōu)控制u*(t),使性能指標(biāo)J = 2Xi(1)+ X2(1)取極小值，并求最優(yōu)軌線X (t)。解：由題意，f ?-X1+u?H = Xu -

14、XX1*? +1由控制方程可得：u = ?9? ?后人-X由協(xié)態(tài)方程可得：？ 11?卜=0?2?由 Mtf) =? ?1?1，C = e-12? x = e1 +1 一在t > 0的范圍內(nèi)? 1? % = 1*故：ut C0,U把需只-1代入狀態(tài)方程，可得：4 *2(t) = - 2e- - t + 2習(xí)題11設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為Xi(0) = X10Xl(t) = X2 (t),x2(t) = u ，x2 (0) = X20i CO-性能指標(biāo)為J = - /(4x2 + u2)dt2 J。?4 0? Q = ?0 0?試用調(diào)節(jié)器方法確定最優(yōu)控制u* (t)。?0 1?0?解：由已知條件得：A = ?, B = ? ?,?0 0?1?0 1?B AB= '' , 二可控一_最優(yōu)解存在?1 03?4 0? ? 2?考慮到 Q= = - 2 0 = Dt D,故 D = 2 0?0 0? ?0? D?_?2 0?=?DZ? ?0 2?閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定由 Riccati 方程 ATg PA - PBR1BT P + Q = 0,有 ?0 0?P R? + ?P R?0 1? ? E?0?0 產(chǎn) E ?+ ?4 0?P? ?