1、第33講 圓錐曲線方程及性質(zhì)備注：【高三數(shù)學一輪復習必備精品共42講 全部免費 歡迎下載】一【課標要求】1了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；2經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)；3了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì)二【命題走向】本講內(nèi)容是圓錐曲線的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是高考重點考查的內(nèi)容，在每年的高考試卷中一般有23道客觀題，難度上易、中、難三檔題都有，主要考查的內(nèi)容是圓錐曲線的概念和性質(zhì)，從近十年高考試題看主要考察圓錐曲線的概念和性質(zhì)。圓錐曲線在高考試題中占有穩(wěn)定的較大的比例，且選

2、擇題、填空題和解答題都涉及到，客觀題主要考察圓錐曲線的基本概念、標準方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和處理有關(guān)問題的基本技能、基本方法對于本講內(nèi)容來講，預測2010年：（1）1至2道考察圓錐曲線概念和性質(zhì)客觀題，主要是求值問題；（2）可能會考察圓錐曲線在實際問題里面的應(yīng)用，結(jié)合三種形式的圓錐曲線的定義。三【要點精講】1橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點，則有橢圓的標準方程為：（）（焦點在x軸上）或（）（焦點在y軸上）。注：以上方程中的大小，其中；在和兩個方程中都有的條件，要分清焦點的位

3、置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，）當時表示焦點在軸上的橢圓；當時表示焦點在軸上的橢圓（2）橢圓的性質(zhì)范圍：由標準方程知，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；對稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點在曲線上時，點也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對稱，同理，以代替方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱。若同時以代替，代替方程也不變，則曲線關(guān)于原點對稱。所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點坐標。在橢圓的標準方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個交點。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交

4、點。所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同時，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為；在中，且，即；離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率。，且越接近，就越接近，從而就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時橢圓越接近于圓。當且僅當時，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。2雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線（）。注意：（*）式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支（含的一支）；時為雙曲線的另一支（含的一

5、支）；當時，表示兩條射線；當時，不表示任何圖形；兩定點叫做雙曲線的焦點，叫做焦距。橢圓和雙曲線比較：橢 圓雙 曲 線定義方程焦點注意：如何有方程確定焦點的位置?。?）雙曲線的性質(zhì)范圍：從標準方程，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。對稱性：雙曲線關(guān)于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點。令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。1）注意：雙曲線的頂

6、點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。2）實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。等軸雙曲線：1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為： ；（2）漸近線互相垂直注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3）注意

7、到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設(shè)為： ，當時交點在軸，當時焦點在軸上注意與的區(qū)別：三個量中不同（互換）相同，還有焦點所在的坐標軸也變了。3拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。方程叫做拋物線的標準方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（,0），它的準線方程是 ；（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：，.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表：

8、標準方程圖形焦點坐標準線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點離心率說明：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強調(diào)的幾何意義：是焦點到準線的距離。四【典例解析】題型1：橢圓的概念及標準方程例1求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）兩個焦點的坐標分別是、，橢圓上一點到兩焦點距離的和等于；（2）兩個焦點的坐標分別是、，并且橢圓經(jīng)過點；（3）焦點在軸上，；（4）焦點在軸上，且過點；（5）焦距為，；（6）橢圓經(jīng)過兩點，。解析：（1）橢圓的焦點在軸上，故設(shè)橢圓的標準方程為（），所以，橢圓的標

9、準方程為。（2）橢圓焦點在軸上，故設(shè)橢圓的標準方程為（），由橢圓的定義知，又，所以，橢圓的標準方程為。（3），又由代入得，又焦點在軸上，所以，橢圓的標準方程為。（4）設(shè)橢圓方程為， ， 又，所以，橢圓的標準方程為（5）焦距為， ，又，所以，橢圓的標準方程為或（6）設(shè)橢圓方程為（）， 由得，所以，橢圓方程為點評：求橢圓的方程首先清楚橢圓的定義，還要知道橢圓中一些幾何要素與橢圓方程間的關(guān)系例2（1）（06山東）已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是 。（2）（06天津理，8）橢圓的中心為點，它的一個焦點為，相應(yīng)于焦點的準線方程為，則這個橢圓的方程是

10、（） 解析：（1）已知為所求；（2）橢圓的中心為點它的一個焦點為 半焦距，相應(yīng)于焦點F的準線方程為 ，則這個橢圓的方程是，選D。點評：求橢圓方程的題目屬于中低檔題目，掌握好基礎(chǔ)知識就可以。題型2：橢圓的性質(zhì)例3（1）（06山東理，7）在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應(yīng)準線的距離為1，則該橢圓的離心率為（ ）(A) (B) (C) (D)（2）（2009全國卷理）設(shè)雙曲線（a0,b0）的漸近線與拋物線y=x2 +1相切，則該雙曲線的離心率等于( )A. B.2 C. D.【解析】設(shè)切點，則切線的斜率為.由題意有又解得: .【答案】C點評：本題重點考查了橢圓和雙曲線的基本性質(zhì)。例

11、4（1）（2009全國卷理）已知橢圓的右焦點為,右準線為，點，線段交于點，若,則=( )A. B. 2 C. D. 3【解析】過點B作于M,并設(shè)右準線與X軸的交點為N，易知FN=1.由題意,故.又由橢圓的第二定義,得.故選A【答案】A（2）（2009浙江理）過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為若，則雙曲線的離心率是 ( )A B C D【解析】對于，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點為B，C，則有，因【答案】C題型3：雙曲線的方程例5（1）已知焦點，雙曲線上的一點到的距離差的絕對值等于，求雙曲線的標準方程；（2）求與橢圓共焦點且過點的雙曲線的方程；（3）已知雙

12、曲線的焦點在軸上，并且雙曲線上兩點坐標分別為，求雙曲線的標準方程。解析：（1）因為雙曲線的焦點在軸上，所以設(shè)它的標準方程為，。所以所求雙曲線的方程為；（2）橢圓的焦點為，可以設(shè)雙曲線的方程為，則。又過點，。綜上得，所以。點評：雙曲線的定義；方程確定焦點的方法；基本量之間的關(guān)系。（3）因為雙曲線的焦點在軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標準方程為；點在雙曲線上，點的坐標適合方程。將分別代入方程中，得方程組：將和看著整體，解得，即雙曲線的標準方程為。點評：本題只要解得即可得到雙曲線的方程，沒有必要求出的值；在求解的過程中也可以用換元思想，可能會看的更清楚例6已知雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,且焦距與虛

13、軸長之比為，則雙曲線的標準方程是_.解析：雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,則焦點在x軸上，且a=3，焦距與虛軸長之比為，即，解得，則雙曲線的標準方程是；點評：本題主要考查雙曲線的基礎(chǔ)知識以及綜合運用知識解決問題的能力。充分挖掘雙曲線幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，更為直觀簡捷題型4：雙曲線的性質(zhì)例7（1）（2009安徽卷理）下列曲線中離心率為的是. . . .【解析】由得，選B.【答案】（2）（2009江西卷文）設(shè)和為雙曲線()的兩個焦點, 若，是正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為 A B C D3【解析】由有,則,故選B.【答案】B（3）（2009天津卷文）設(shè)雙曲線的虛軸長為2，焦距為，則雙曲線

14、的漸近線方程為（ ）A. B . C . D.【解析】由已知得到，因為雙曲線的焦點在x軸上，故漸近線方程為【答案】C【考點定位】本試題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)和運用?？疾炝送瑢W們的運算能力和推理能力。例8（1）(2009湖北卷理)已知雙曲線的準線過橢圓的焦點，則直線與橢圓至多有一個交點的充要條件是( )A. B. C. D. 【解析】易得準線方程是 所以 即所以方程是聯(lián)立可得由可解得A.【答案】A（2）（2009四川卷文、理）已知雙曲線的左、右焦點分別是、，其一條漸近線方程為，點在雙曲線上.則·( ) A. 12 B. 2 C. 0 D. 4【解析】由漸近線方程為知雙曲線是等軸雙曲

15、線，雙曲線方程是，于是兩焦點坐標分別是（2，0）和（2，0），且或.不妨去，則，.·【答案】C（3）（2009全國卷理）已知雙曲線的右焦點為,過且斜率為的直線交于兩點，若,則的離心率為 ( )A B. C. D. 【解析】設(shè)雙曲線的右準線為,過分 別作于,于, ,由直線AB的斜率為,知直線AB的傾斜角,由雙曲線的第二定義有.又 .【答案】A題型5：拋物線方程例9（1）)焦點到準線的距離是2；（2）已知拋物線的焦點坐標是F(0，2)，求它的標準方程解析：（1）y=4x，y=4x，x=4y，x=4y；方程是x=8y。點評：由于拋物線的標準方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個系數(shù)p，因

16、此只要給出確定p的一個條件，就可以求出拋物線的標準方程。當拋物線的焦點坐標或準線方程給定以后，它的標準方程就唯一確定了；若拋物線的焦點坐標或準線方程沒有給定，則所求的標準方程就會有多解。題型6：拋物線的性質(zhì)例10（1）若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（ ）A B C D（2）拋物線的準線方程是（ ） (A) (B) (C) (D) （3）（2009湖南卷文）拋物線的焦點坐標是（ ）A（2，0） B（- 2，0） C（4，0） D（- 4，0）解析：（1）橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D；（2）2p8，p4，故準線方程為x2，選A；（3）【解析】由,易

17、知焦點坐標是，故選B. 【答案】B點評：考察拋物線幾何要素如焦點坐標、準線方程的題目根據(jù)定義直接計算機即可。例11（1）（全國卷I）拋物線上的點到直線距離的最小值是（ ）A B C D（2）對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：焦點在y軸上；焦點在x軸上；拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6；拋物線的通徑的長為5；由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為（2，1）。（3）對于拋物線y2=4x上任意一點Q，點P（a，0）都滿足|PQ|a|，則a的取值范圍是（ ）A.（，0） B.（，2 C.0，2D.（0，2）能使這拋物線方程為y210x的條件是 （要求填寫合適條件的序號）解析：（1）設(shè)拋物線上一點為(m，m2)，該點到直線的距離為，當m=時，取得最小值為，選A；（2）答案：，解析：從拋物線方程易得，分別按條件、計算求拋物線方程，從而確定。（3）答案：B解析：設(shè)點Q的坐標為（，y0），由 |PQ|a|，得y02+（a）2a2.整理，得：y02（y02+168a）0，y020，y02+168a0.即a2+恒成立.而2+的最小值為2.a2.選B。點評：拋物線問題多考察一些距離、最值及范圍問題。五【思維總結(jié)】在復習