1、全國高中數學聯賽模擬試題(八)姓名 得分第一試、選擇題：(每小題6分，共36分)1、設集合附 2,0,1 , N=123,4,5，映射 f ：M戶N使對任意的x Ml,都有2、x+f (x)+xf (x)(A) 45是奇數，則這樣的映射(B) 27f的個數是(C) 15(D) 11已知sin2 =acos2 =b, 0 V一,給出tan4值的五個答案:4b;1 ab 13、a b 1其中正確的是:(A)若干個棱長為2、(B)(C)3、5的長方體，依相同方向拼成棱長為(D)90的正方體，則正方體的一條對角線貫穿的小長方體的個數是(A) 64(B) 66(C) 68(D) 704、遞增數列1,3,

2、4,9,10,12,13,，由一些正整數組成，它們或者是3的哥，或者是5、若干個3的哥之和,則此數列的第(A)729(B)972100項為(C) 243(D) 981CnCn Cn4mC n1 -(其中,x表示不超過x的最大整數)的值為(A)2n cosn(B)on n2 sin 46、(C)2nncos一4(D)2ns吟一個五位的自然數 abcde稱為“凸”數，當且僅當它滿足a<b< c, c>d>e (如12430, 13531等)，則在所有的五位數中“凸”數的個數是(A) 8568(B) 2142(C) 2139(D) 1134二、填空題:(每小題9分，共54分)

3、22PH(H為垂足)，并延長1、過橢圓 L 3一1上任意一點P,作橢圓的右準線的垂線 32PH到Q使得HR PH(>1).當點P在橢圓上運動時，點 Q的軌跡的離心率的取值范圍是2、已知異面直線a、b所成的角為60° ,過空間一點 P作與a、b都成角 （0<<90° ）的直線1,則這樣的直線l的條數是f（尸.片4X23、不等式2 2x 9的解集為.1,1 2x4、設復數z滿足條件|zi|二1，且zw 0, z w 2i ,又復數 使得2i- -z為實數，z 2i則復數 2的輻角主值的取值范圍是 .1111 一5、 設 a1, a2, , 22002均為正頭數

4、, 且 一，貝U a1a2-j 220022 a12a22 220022的最小值是.6、在一個由十進制數字組成的數碼中，如果它含有偶數個數字8,則稱它為“優選”數碼（如12883, 787480889等），否則稱它為“非優選”數碼（如2348756, 958288 等），則長度不超過n （n為自然數）的所有“優選”數碼的個數之和 為.三、（20分）已知數列an是首項為2,公比為1的等比數列，且前 n項和為 2（1 ） 用&表木Sn+1 ；S- c（2）是否存在自然數 c和k,使得 上 >2成立.Sk c四、（20分）設異面直線a、b成60°角，它們的公垂線段為 EF,且

5、| EF=2 ,線段AB的長 為4,兩端點 A B分別在a、b上移動.求線段 AB中點P的軌跡方程.五、(20分)已知定義在R+上的函數f(x)滿足(i )對于任意 a、be R+,有 f (ab)=f (a)+f (b)；(ii )當 x> 1 時，f (x) v 0；(iii ) f (3)= 1.現有兩個集合 AB,其中集合A=(p, q)|f (p2+1)f(5q)2>0,p、qCR+,集合 B=( p, q)| f( )+ - =0, p、qC R+.試問是否存在 p、q,使 A B ，說 q 2明理由.第二試、(50 分)如圖，AM AN是。的切線，M N是切點，L是劣

6、弧MNLk異于M N的點，過2 _點A平行于MN的直線分別交 ML NL于點Q P.若SoOSA POQ ,求證：/3POQ60 .二、(50分)1+5anan+1已知數列ai=20, a2=30, an+2=3an+i an ( n> 1).求所有的正整數 n,使得 是完全平方數.(50 分)設M為坐標平面上坐標為(p 2002,7 p 2002)的點，其中p為素數.求滿足下 列條件的直角三角形的個數：(1) 三角形的三個頂點都是整點，而且M是直角頂點；(2) 三角形的內心是坐標原點.參考答案 第一試、選擇題:題號123456答案ACBDDB二、填空題:四、五、1、3、5、2,04002Sn 1不存在.、證略;n=3.20022Sn2、0,01, 2,303,4,030603