1、立體幾何的向量法 基礎知識總結和邏輯關系梳理一、基本概念1）空間向量的平行和垂直的條件：設，（）；2）兩個向量的夾角與向量的長度的坐標計算公式：，二、基本應用位置向量：已知向量，在空間固定一個基點，再作向量，則點在空間的位置就被向量所唯一確定了這時，我們稱這個向量為位置向量由此，我們可以用向量及其運算來研究空間圖形的性質1）給定一個定點和一個向量，為空間中任一確定的點，為直線上的點，則在為過點且平行于向量的直線上 這三個式子都稱為直線的向量參數方程向量稱為該直線的方向向量2）設直線和的方向向量分別為和，（或與重合）；若向量和是兩個不共線的向量，且都平行于平面（即向量的基線與平面平行或在平面內）

2、，直線的一個方向向量為，則或在內 存在兩個實數，使3）如果向量的基線與平面垂直，則向量就稱為平面的法向量設是空間任一點，為空間內任一非零向量，則滿足的點表示過點且與向量垂直的平面，稱為該平面的向量表示式4）設分別是平面的法向量，則或與重合；5）線面角：斜線和它在平面內的正射影的夾角叫做斜線和平面所成的角，是斜線與這個平面內所有直線所成角中最小的角6）二面角：平面內的一條直線把平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；這條直線叫做二面角的棱每個半平面叫做二面角的面棱為，兩個面分別為的二面角，記作在二面角的棱上任取一點，在兩半平面內分別作射線，則叫

3、做二面角的平面角二面角的平面角的大小就稱為二面角的大小我們約定二面角的范圍為設，則角與二面角相等或互補 解題方法總結和題型歸類一、空間向量求立體幾何中的角和距離歸納總結：空間角（異面直線所成角、線面角、二面角）轉化為向量與向量的夾角問題；距離一般轉化為點到平面的距離。一般有這樣幾個角度：1）求異面直線所成角：轉化為求兩條直線的方向向量的夾角。2）求線面角：轉化為求線的方向向量BA與平面的法向量n的夾角， 3）求二面角：轉化為求兩個平面的法向量的夾角。4）求距離：一般轉化為求點到平面的距離，設AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則B到平面的距離 .【例1】如圖，四邊形為菱形，是平面同一側的

4、兩點，平面，平面，,（1）證明：平面平面（2）求直線與直線所成角的余弦值【答案】（1）略（2）【解析】(1)（）連接,設,連接,在菱形中，不妨設，由,可得.由平面，可知，又，.，在中，可得,故，在中，可得.在直角梯形中，由，可得，平面，平面，平面平面(), ,平面,面，平面平面（2）如圖，以為坐標原點，分別以、的方向為軸，軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標系，由（1）可得， 故.所以直線與所成的角的余弦值為.【例2】如圖，在正方體中，、分別是棱、的中點，則異面直線與所成的角的大小是_【答案】以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設棱長為2，則，,，,，,所以，即，異面直線與所成的角大

5、小為.【點評】本題求異面直線所成的角，是通過兩條直線的方向向量的夾角來求解，而兩異面直線所成角的范圍是，兩向量的夾角的范圍是，所以要注意二者的區別與聯系，應有.【例3】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面，是的中點已知，.求：（1）三角形的面積；（2）異面直線與所成的角的大小【答案】(1)；（2）【解析】（1）因為底面，所以,又,所以平面,從而.因為，所以三角形的面積為（2）解法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，則,，,，設與的夾角為，則,由此可知，異面直線與所成的角的大小是解法二：取中點，連接、，則,從而（或其補角）是異面直線與所成的角.在中，由、，知是等腰直角三角形，所以，因此異面直線與所成

6、的角的大小是.【點評】本題可方便地建立空間直角坐標系，通過點的坐標得到向量坐標，求兩條直線的方向向量的夾角，然后求解 【例4】如圖，四棱柱中， 側棱底面，為棱的中點（1）證明：（2）求二面角的正弦值（3）設點在線段上， 且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長【答案】(1)見詳解.（2）（3）【解析】(1)證明：因為側棱底面，平面，所以，經計算可得，從而，所以在中，又，平面中，所以平面，又平面，故.（2）過作于點，連接，由()可知，故平面，得，所以為二面角的平面角，在中，由，可得，在中，所以，即二面角的正弦值為.（3）連結,過點做于點，可得平面，連結，則為直線與平面所成的角.設，從而在中，有，

7、在中，得，在中，由 ，得，整理得，解得，所以線段的長為.【點評】本小題主要考查空間線線、線面的位置關系，以及二面角、直線與平面所成的角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查考生的空間想象能力、運算能力和推理論證能力【例5】如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.（1）求證：平面；（2）若，求與所成角的余弦值；(3)當平面與平面垂直時，求的長【答案】（1）略（2）與所成角的余弦值為（3）【解析】（1）證明：因為四邊形是菱形.所以,又因為平面，所以,所以平面.（2）設，因為,所以，如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，,，所以,，設與所成角為，則；（3）由（2）知,設，則，設平

8、面的法向量，則，所以，令，則，所以，同理，平面的法向量，因為平面與平面，所以，即，解得，所以【點評】平面的法向量是利用向量方法解決位置關系或夾角的關鍵，本題可通過建立坐標系，第三問可利用待定系數法求出點坐標，進而求解.【例6】如圖與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面，.求點到平面的距離.【解析】過點作的垂線交于點，過做于，連接，根據與都是邊長為2的正三角形，平面平面，利用勾股定理，解得：，設點到平面的距離為，利用,則：，解得：. 【點評】點到平面的距離，利用向量法求解比較簡單，注意公式的應用和計算的準確性.【例7】如圖，四棱錐中，底面，為的中點，.（1）求的長；（2）求二面角的正弦值【答案

9、】（1）（2）【解析】(1)如圖，連接交于點，平分，以為坐標原點，、所在直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標系，則，而，可得.又，可得，由于底面，可設為邊的中點，由此可得，且，解之得（舍負）因此，可得的長為（2）由(1)知,，設平面的法向量為，平面的法向量為且,，取得，同理，由且,解出，向量、的夾角余弦值為因此，二面角的正弦值等于【點評】本題考查立體幾何問題，意在考查考生空間想象能力和運算能力通過兩個平面的法向量的夾角得到所求角的大小，但要注意平面間的夾角的范圍為.【例8】如圖，直四棱柱中，為上一點，.（1）證明：平面；（2）求點 到平面的距離【答案】（1）略（2）【解析】過點作于點，則：，,在中，；在中，因此，中可得，可得，平面，平面，又、是平面內的相交直線，平面.（