1、從不同的角度看矩陣的行秩與列秩一一兼論如何學好線性代數線性代數中，有那么幾個神秘又神奇的東西，總是讓初學它的人琢磨不透，無法理解，其中就有矩陣的行向量和列向量的關系，為什么一個矩陣的行向量里有多少個線性無關的向量，列向量里就一定也有多少個線性無關的向量呢或者考慮稍微簡單一點的問題，一個方陣，為什么行向量線性無關或線性相關列向量就一定也線性無關或相關呢行秩為何等于列秩？這本來應該是一個基本又簡單的事實。但是，請回憶一下你當初初學線性代數時的內容編排順序，是怎么引入這個問題的，當時又是怎樣解決這個問題的？傳統的教材編寫思路是從線性方程組開始整個線性代數話題的引入，這個過程中定義行列式和矩陣，用n元

2、數組引入向量，線性相關和無關等概念，討論解存在的條件，解的結構，等等?？傊磺幸苑匠探M為 核心，給人的感覺就是線性代數就是方程組的理論，一切討論的目的都是為了解決小小的方程組問題。在這個過程中，有一個矩陣行秩等于列秩的命題，此時學生只了解方程組理論和行列式，因此這時對這個 問題的解釋當然也無法離開方程組或行列式。下面簡述兩個典型的教材中的證明方法：第一個證明來自陳志杰高等代數與解析幾何。證明：首先，矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩，初等列變換不改變矩陣的列秩。這是由向量組的初等 變換不改變向量組的線性相關或無關性保證的，即將某個向量乘以非零的倍數、將某個向量加到另一個向 量上，都不改變向量組

3、的線性相關或無關性。接著證明矩陣的初等行變換不改變矩陣的列秩。設A是m*n階矩陣，任意從 A的n個列向量中選取k個列向量a1,a2,ak它們線性無關的充要條件是線性方程組aixi+a2x2+-+akxk=(R有零解。而對矩陣A進行初等行變換不改變此方程組的解，因此不改變這k個列向量的線性相關或無關性。這說明A的列向量的秩在矩陣的初等行變換中不變。同理矩陣的初等列變換不改變矩陣的行秩。接下來，可以把A經過初等行變換和初等列變為只有對角線上有1或0,其它位置都為0的矩陣，在這個過程中行秩和列秩都不改變，從這個矩陣中看出行秩等于列秩，因此原來的矩陣行秩也等于列秩。第二個證明來自北大數學系幾何與代數教

4、研室前代數小組編高等代數證明：考慮線性方程組 AX=0,首先證明如果未知數的個數超過 A的行秩，那么它有非零解。設 m*n階矩 陣A的行秩為r,考慮方程組AX=0,它由m個方程n個未知數組成。從 A的行向量中選取r個線性無關的 行向量，重新組合成矩陣 B,那么方程組 AX=0和BX=0同解。這時，如果 B的列數大于行數，那么方程組 BX=0必有非零解，從而 AX=0也有非零解。接著證明行秩等于列秩。 設m*n階矩陣A的行秩為r,列秩為s?？紤]A的任意r+1個列向量組成的矩陣 C, 因為C的行秩不大于r （因為C的行向量都是A的行向量的一部分分量組成的），所以 CX=0有非零解，這 說明這r+1

5、個列向量線性相關。所以 A的列秩最大為r,即s<=r。同理可證r<=s,因此s=r。有了行秩等于列秩的性質，完全可以用行秩或列秩定義矩陣的秩了。編寫教材的人和老師們都認為，只要 能夠順利定義出矩陣的秩，這個證明就足以滿足初學時的需要了，既沒有必要又沒有條件再將它深入地挖 掘下去。但是它仍然讓我困惑，即使把書上的這個證明看得明明白白，也不理解為什么行秩等于列秩。因為向量是 個幾何的概念，現在這個證明中看不出一點幾何上向量的影子，這兩個例子都依賴于線性方程組理論，都 離不開高斯消元法，都是代數上的推導。雖然從代數上推導出了這個結果，但是在幾何上我依然無法接受 這個結果。矩陣的行向量和列

6、向量從圖形上”到底是什么關系可不可以讓我一下子就能看出來它們的秩是相等的盡管經過了行列變換之后行列秩相等是顯然的，但這個過程中卻把原來的行列向量給變得面目全非 了。更有甚者，有些教材上竟然用矩陣的子式和行列式理論推導行秩等于列秩，由于這種證明過于復雜，這里 就不列出了。直到最近的一次偶然機會，又讓我想起了這個問題。一開始，發現它和對偶空間與對偶映射有關系。記得當初學習線性代數時，直到最后才接觸了一些有關對偶空間和對偶映射的知識，教材還寫得十分抽象，以至于我們都囪囹吞棗地過來了，根本沒有什么印象。后來的泛函，因為高等代數理解不深人，對泛函也 沒有留下什么印象。最近有同事讓我講線性代數，有很多次問

7、我關于矩陣轉置的意義的問題。他曾經學習 線性代數時對很多問題不理解，其中就有矩陣轉置到底對應幾何上的什么東西，為什么要轉置其實我也沒 考慮過這個問題，只知道這是代數的特殊需要，當需要把行向量變成列向量的時候就需要考慮轉置，它完 全是代數上的處理方式。至于在幾何上代表什么意義，我也曾困惑過，但一直沒考慮清楚。然而現在比大 一那個時候多了一個學習的更加有效的途徑，那就是網絡。在wiki百科中，我查到了一個觀點：在標準正交基底下，如果一個線性映射對應于矩陣 A,那么A的轉置恰好對應這個線性映射的轉置映射，A的共軻轉置恰好對應這個線性映射的對偶映射。在有限維空間中對偶映射還有一個更直觀的定義: 設丁是

8、從到的線性映射，則u的對偶映射是從g到仃的滿足（工% =科t*眇的線 性映射。這是很好理解的，即使不知道什么是對偶空間及對偶映射，單單從矩陣乘法的性質中也很容易看出A和A的共羯轉置之間的這種關系。這樣就把A的共羯轉置和A之間的關系賦予了幾何的意義，因為內積正好包含向量的角度信息，并且當一 組非零向量兩兩內積為 0時，它們線性無關。A和A的共羯轉置的列向量的秩分別對應于T和T*的值域的維度，能不能就此證明它們相等從而至少可以證明實數矩陣行秩等于列秩。這就是下面的：定理1:線性映射 工的值域和其對偶映射 1片的值域有相同的維數。證明：設T是從U至I V的線性映射，則 T的對偶映射 T*是從V到U的

9、線性映射。設 T與T*的 值域的維數分別為r,s,假設s<r,則在T*值域中可以找一組基底：>%考慮T7F, 這個向量組的秩<s<r因此可以 在T的值域中（維數為r）找到廿豐0使得佃葉丁廣現）=（叫",嚴改）=0 = 1,2-ffO又因為他1411m+1） = （TiG+ijiTuu+i），。故鼠皿 #0即 /*外+1 r 0。 這樣我們 在的值域中找到了與向量 ，修叫: rT*復*都垂直的非零向量，與這個向量組是值域的基底矛盾。因此s>5同理可證s< J故s=r。證畢。這樣，A與A的共羯轉置的列秩相等，從而實數矩陣的行秩等于列秩。為了把它應用于證

10、明復數矩陣行秩與列秩相等，還需要下面的命題：命題1:若復數值向量a1,a2,啟錢性無關，那么他們的共羯向量也線性無關。證明：以a1,a2,an為系數矩陣的方程組 k1a1+k2a2+-+knan=0兩邊取共軻即得到一個以 a1,a2,an的 共羯為系數的線性方程組，這兩個方程組同時有或沒有非零解。證畢。這樣就徹底完全地證明出了矩陣的行秩與列秩相等。這個證明的思路中就明顯地帶有幾何的啟示，因此我 覺得它更能讓我看到矩陣行向量和列向量的本質。然而雖然這個證明帶有很強的幾何色彩，但終究還是覺 得有些抽象，還是沒有道出行列向量之間的關系來。經過對這個問題持續的思考，和對方程組AX=0從不同的角度去解釋

11、，發現如果我們豎著看AX,我們看到一個線性映射，它列向量的秩是它值域的維數；然而如果我們橫著看AX=0,又可得到 A的每個行向量與X的內積是0 （這里以實數矩陣為例，至于復數矩陣則可以利用上面的命題1”），也就是說，A的每個行向量和 AX=0的解都垂直，用映射的觀點說，就是A的每個行向量都在線性映射的零空間的正交補空間中。又 AX=0的所有解的集合（零空間）是垂直于A的每個行向量的向量構成的集合，那么零空間和行空間應該互為正交補空間，它們的維數之和是定義域的維數。那么事情就清楚了，根據秩-零度定理，dim rangeT+dim nullT是T定義域的維數，而行空間維數又與零空間維數互補，因此行

12、空間維數等于值域 維數，即行秩等于列秩。應該說，這才是行向量和列向量真正的本質關系，可惜的是，直到畢業的三年多之后我才自己發現了這個 關系。其實，如果考慮對偶映射，也可以輕而易舉地得出結論：T*的值域恰是 T的零空間的正交補。根據秩-零度定理也立即可以得出T*和T值域維數相等。前面在證明 定理1”時沒有用到它們值域和零空間的關系還有秩-零度定理，這里用了這兩個定理之后，分析過程其實和上段分析 AX=0方程組的過程本質上是一樣的。那時在網絡上還查找到了一個利用了矩陣乘積的現代觀點證明行秩等于列秩的文章，是在臺灣博客中看到 的，抄錄如下（注意在臺灣，把豎著的叫行，把橫著的叫列，與我們恰好相反）：假

13、 m x *隋矩障 V的行秩卷列秩卷7-0可知 且包含門固m一性褐立的行向量，它偽足以.4的 行空燈符道些行向量收集起來成一彳固 m熬廣卜皆矩障口，那麼月的任何一彳固行 叫（j = LZ ., t句都可 以唯一表示卷口的行向量bi，bn*.b之性合，如下：aj = dijhji + cfejb 口 + , +MB 丁 M固式子的性山合重合一彳固 仁川歌隋矩障口 =【小11,她利用以行卷言十算罩元的矩障乘法規即，就 有接著再考矩障A的第，列，以表示，利用以列標十算罩元的矩障乘法皿，於是有rofWi（-A） = rowi （BD）=&+ + 垃已工時式。）矩障a的每一列都可以:d的列向量之

14、性合，因此總的列空雒度不大於d的列向量即弋&亡, 也就是.4的列空度不大於 的行空度。用同檬的推ta方式於.47，可推知.4丁的列空度不大於了的行空度，但.4丁的列空即卷a的行空 而 工丁的行空就是.4的列空" 得知c & 丁。粽合以上結果，者登得 =心，矩障的行秩等於列秩。造彳固者登明 方法表面看似平凡瓢奇，但它只利用矩障乘法i!算便符黑彳固重要的性代數概念 一一性合、基底和建結在一起， 非常值得初阜者氐咻田品味。這個證明雖然也是代數上的分析，但其巧妙的讓人稱奇的地方，就是把一個矩陣分解成了兩個矩陣的乘積， 其中左邊的因子是列慢秩的，然后利用對兩個矩陣乘積的不同的解

15、釋，把左面的列秩（也就是A的列秩）和右面的行秩聯系起來了。本來，有關矩陣列秩與行秩關系的問題討論到這里也可以算是比較圓滿了。但是，在寫這篇文章的時候， 又無意間提出下面的一個問題：為什么如果矩陣 A只有兩行，哪怕它有100歹u,它的列向量的秩也最多是 2現在來看，這是個非常簡單的問題，因為它的100個列向量都是二維的向量，這些二維向量再多，也至多可以找出兩個線性無關的向量。這是由向量空間的維數定理保證的：有限維向量空間中任何極大線性無關組包含向量個數相同?！币虼?，一個矩陣，它的列秩不超過行數，行秩不超過列數。那么，為了完成 列秩等于行秩”的證明，只需把列秩和行秩的大小范圍估計得更精確一些，從列

16、秩小于等于行數”、行秩小于等于列數”精確到列秩小于等于行秩”、行秩小于等于列秩”。我們設想，如果一個 m*n 階矩陣，它的行秩為r,那么它的列向量雖然表面上看每個都是 m維的，但實際上這些 m維向量被限制 在了一個r維的子空間中，實際屬于 r維向量。為了看清楚這一點，我們可以有兩條思路：第一條，既然 A的行空間維數為r,那么可以找到r個線性無關的行向量為基底，矩陣的 m個行向量 都可以用這r個向量線性表示，用矩陣的語言就是其中D就是從A的行向量中選取的線性無關行向量，B的每一行是 A的行向量按D中行向量線性表示的系數（坐標）。那么，接下來還是兩條路：第一，按維數定理，D的列秩不超過其行數 r,

17、且A的值域維數不大于 D的值域維數（因為 A的維數就是把 D的值域再用 B映射到 m維空間，值域的維數是遞 減的），因此 A的列秩不大于r,這實質上是北大線性代數中的證明；第二， B的列秩不超過 B的 列數r,這樣就變成了 線代啟示錄”的證明，因此 線代啟示錄”上的證明思路也就是如此。第二條，我們可以實際地找出£列空間的基底。因為 ？！行秩為，即可以選取 廠個行向量.祀“一一 ttT-,使得其它行向量都可以用這 廠個行向量線性表示，不妨記為=為伊1口方一,，®r）,那么就代表 月的列向量的坐標都具有如下形式：:2顯然只有前r個坐標是可以自由變化的，這樣的向量的全體構成一個子

18、空間，它的基底是清楚的。因此，這是個r維子空間。根據維數定理，這樣的向量不管多少個，秩不大于r。可見，一個簡單的事實，可以從多種角度進行的解釋，但有些看似動機不同的解釋往往實質上又相同，它 們之間也有著千絲萬縷的聯系。因為線性代數的這個特點，使得不同的線性代數的教材的寫法有很大的不 同。同樣一個事實，既可以從線性映射的角度去解釋，又可以從矩陣分析的角度解釋，還可以從線性方程 組，或行列式角度去證明。 線性代數教材的編寫其實很隨意，既可以像北大版那樣把線性方程組作為基礎，其它諸如線性變換、維數定理等等內容都通過方程組理論來證明，也可以像Linear Algebra Done Right那樣完全地

19、從抽象的向量空間和線性映射的角度分析。它們動機雖然不同但是要認識的對象是同構的。但是，如果當初滿足于這個定理的書本上的證明，我是不可能對它挖掘得這么深，也不可能認識到這些東 西的。這里我還是要對以北大版高等代數為代表的教材提一些意見。可能大部分人都認為，線性方程組是線性代數中最易懂最易理解的部分，學生又有中學解多元一次方程組 的基礎知識，線性方程組又可以引申出線性代數的諸多內容，因此是最適合用于大學一年級學生入線代之 門的內容。但是這樣做有兩個問題：一個是如果只提方程組，學生無法想象它的幾何形象，學生學習時頭腦中形成的往往只是變動的符號，不 利于深入理解線性代數，更不利于發揮想象力去主動發現知

20、識。如果說當學生學到線性空間、線性變換的 時候自然會學習到這些幾何觀念，那么在線性方程組之后，線性空間和線性變換之前，還要學習矩陣理論，同樣是沒有幾何直觀，并且比方程組更難理解，到了線性空間的時候學生已經云里霧里了，哪里還有信心 去學習接下來的東西李炯生版線性代數的前言部分說，研究線性空間以及線性空間關于線性變換的分解即構成了線性代數的幾何理論，而研究短陣在各種關系下的分類問題則是線性代數的代數理論?！蹦敲吹降资窍却鷶岛髱缀?，還是先幾何后代數，還是二者同時進行如果先代數后幾何，就像在沒有學習平面幾何 的時候學習解析幾何，并且要預先學習曲線方程的性質，不見曲線只見方程，等把方程的性質在代數上討

21、論清楚了，再帶你認識它們實質上的幾何形象，再用這些方程的性質簡單推導出幾何的性質。但這是一個 非常糟糕的學習方式。更糟糕的是一些理工科專業線性代數學得更淺，甚至只學到矩陣部分，只記住了矩 陣的運算等莫名奇妙的符號在頭腦中搬來搬去，至于為什么那么計算，學過之后考高分的學生也不知道。這里有孟巖的三篇csdn博文為證，尤其是博文開頭幾段話，道出了一般理工科學生的疑問。另一個問題是，這樣的組織缺少發展理論框架的動機，為什么要引入線性相關，線性無關，為什么要討論矩陣為什么有了消元法還要討論行列式和Cramer法則如果都是以解方程為目的， 這些內容統統沒有動機，只要一個消元法，最后能夠寫出通解形式，就夠了

22、。似乎矩陣、向量空間等內容都是方程組問題生發出來 的，研究它們又有什么用途這些問題開始不講清楚，學生厭學，到后續課程真正用到這些知識的時候后悔 莫及。因此，我主張不論是編寫教材，還是老師講授，學生學習，都應該起點底，觀點高，讓學生可以從各個不同方向去 圍攻”一個問題，從各種不同的角度去看待一個知識，即使只是為了講代數，幾何方面的直觀思想和動機也要講清楚，甚至這些更為重要。不妨在講解線性方程組的時候就開始講講方程組中蘊含的向量空間、線性變換等高級內容的道理，即不光講高斯消元法等方程的傳統內容，還要用線性變換那樣的幾何觀點解釋方程組解的結構等等問題，并用三維的幾何圖形（不妨用電腦中的數學軟件或fl

23、ash動畫，至少是圖片）來展示線性代數中那些概念背后的幾何形象，使學生一開始就有豐富的幾何代數經驗，一開始就發 現這部分數學的魅力。理解矩陣與矩陣乘積（一）線性代數中，有那么幾個神秘又神奇的東西，總是讓初學它的人琢磨不透，無法理解。今天討論線性代數 中第二個既基本又神奇的東西：矩陣的乘法。回想起我們中學的那個時代，從初中到高中，數學課的內容完完全全是初等數學，純粹的向量思想在數學課上不占有一席之地，中學階段只有學習物理或復數的時候才能接觸一點向量的身影。即使在最應該體現向量思想威力的地方，也因為只討論二維的簡單情形而省略掉了，只剩下純粹的從幾何角度推導代數性質，比如，直線方程，不是用向量法推導

24、直線方程的一般形式，而是用定比分點；兩直線垂直的條件，不是用向量內積為零，而是通過斜率的關系，等等。在中學唯一能夠從數學課本中接觸到的線性代數知識就只有一點點的行列式的簡介，從解二元和三元一次方程組引入的行列式，而且屬于選學內容，課堂上是不講的。我當時看了看，覺得真是多此一舉，既然一次方程組的解都已經用系數的符號表示出來了，為什么還要用行列式重新表示一遍表達的內容沒變，只是換了一套看上去工整漂亮的寫法，有什么意義呢在這樣的背景下，我進入大學，接觸到一門蠻不講道理的學科 謫等代數。本來高中時看到用行列式表示方 程的解已經夠無聊了，到大學還要把這種無聊繼續深入下去。為了一個小小的方程組，不惜動用人

25、類最高 的智商來創造一個個精致的概念，又是逆序數又是行列式，又是克萊姆法則，倒是得到了一個很漂亮的結 果，但它到底有多少實用和理論的價值后來矩陣被定義出來了， 那更是個無聊的東西，方程組還是原來那個方程組，只是把系數和未知數一分離， 馬上就出現了一個新的概念無陣。難道就非得把系數單獨抽取出來變成矩陣的形式才能用高斯消元法解方 程它不就是方程之間加加減減的過程嗎，即便帶著未知數又能有多大的妨礙呢帶著未知數就不能討論方程 組的通解了還定義矩陣的乘積，又把方程組寫成一個矩陣和一個向量的乘積，我當時覺得實在是吃飽撐的！方程組還是那個方程組，換一種寫法有什么不同我思考它的時候還是需要把它還原為方程組的樣

26、子，倒是 費了二遍力。是誰第一個引入了矩陣的概念他的原始動機到底是什么他似乎只是為了形式上的化簡，并沒 有引入什么新的觀念。但是巧的是這個人的一個無聊發明，竟然發展出一門學科來！不光方程組可以歸結 為矩陣的乘積，就連二次曲線、二次曲面，也表示成矩陣乘積了，矩陣和它們的乘積系統慢慢地脫離了方 程組的范圍，開始向其它方向滲透了，并且充斥了數學的大部分江山。這一切是為什么難道這一切都在矩 陣發明者的預料之中如果發明矩陣的人意識到矩陣將來必有這些重大作用，那么他是怎么想到矩陣的這些 應用的他真的如此天資聰明如果不是這樣，那他為什么要發明矩陣這個東西難道僅僅是偶然可是這偶然之 舉為什么后來又如此巧合地展

27、開出這么多理論這些問題至今還是想不通。但是今天的話題只是討論矩陣和矩陣乘積，所以剛才把話題扯遠了。每當想起大一時的代數課，我都要發 一些牢騷，可見當時代數給我的影響有多深遠！關于矩陣乘積，比較老舊思想的教材不介紹矩陣乘積有什么意義，為什么要引入矩陣的乘積，只是敘述無 端的定義：兩個矩陣 用nt/中召的乘積定義為一個 m KT階矩陣C, C的第i行第j列的元素是 A的第i行和B的第j列元素分別相乘并相加的和，即n稍微好一點的教材會介紹一些線性映射復合的背景：有三組未知數重=（工1，孫丁他）丁、期=（凡見%）丁和石=（班，加用），用甑表示亂的系數矩陣為A,用與表示蓑的系數矩陣為口,即z = j4m

28、 y = Bh那么怎樣用 ）；來表示上工經過計算，亮的第i個分量曲可以寫成ETTLnTT m蜀=£可詼=E叫上£%叼=無帆加;k=Lfe=lj=l>=1 fe=l即a表示成未知數組 h的第j個分量 叫i的系數是m田*瓦叮1=1因此定義兩個矩陣工和口的乘積如上所述。第一種講述就是從第二種講述的思想方法來的，卻連定義的背景和來歷什么的都沒有講，這顯然是十分唐 突的。況且這兩種矩陣乘積定義的講述都只是蠻力運算，如果只是為了定義出矩陣乘法的表達式，這兩種 講述方式尚可接受，尤其是第二種講法，提及了矩陣乘法就相當于兩個線性變換的復合。但是接下來，要 接觸到矩陣乘法的更深層次的規

29、律時，這樣定義出的矩陣乘法就顯得有些奇怪了。比如，證明兩個矩陣乘積的秩定理 rank (AB) < minrank A, ioik B,乘積月打的每一列都 是 &的每一列的線性組合，每一行都是，口的每一行的線性組合，從而證明這個不等式。但是，請問您是怎么從一大堆數的計算式子中看出這些關系的我為什么就沒看到我不但沒有看到，就算人家給我指出這種 關系，我要想看清這些關系還是要費九牛二虎之力的。如果一個東西我理解起來感覺吃力，那么我會本能 地考慮是否是我理解它的方式有問題，它應該還有另外一些更省力的理解途徑，或者說，這個東西缺乏直 觀，如果我能直觀地理解它，那么我就可以接受它。所以我想

30、，還是應該有更加便捷的途徑可以得到這些 關系。其實這個不等式如果從映射復合的值域維數角度看應該是比較簡單的，可惜的是當初除了矩陣，沒 有其它方式可以導出這個結果，向量空間的內容還沒有學習到。再比如，矩陣的分塊乘法，為什么分塊之后乘法的規則和把每一塊看成數的乘法規則是一樣的又比如，學過內積的坐標計算表達式后，學生會驚奇地發現，矩陣乘法的每個元素都是一個內積，為什么會是這樣內積和矩陣乘法之間為什么會有這么大聯系面對這些問題，我知道很多人，包括很多老師都會告訴我，這些都是計算的結果，計算的過程書上寫的明 明白白，沒必要去深究它背后有什么機理，只要能夠確信這些結論，不用去管這些結論是如何得到的。但是，

31、我總是覺得，這樣的推辭無異于填鴨式教育，蠻不講理，讓人生厭，甚至可能把一個曾經喜愛數學 的人搞得從此厭惡這樣的無理數學。因為第一，這些東西顯得過于巧合了，計算無法解釋這些巧合背后是 否有更深層次的原因；第二，即使是計算得來的，還是無法解釋這些計算的動機是什么，這些計算的結果是如何發現的總應該有個自然點的理由能夠說明為什么某人會去考察這些計算過程并得出結論的吧總不能 說一個人某一天沒什么事情閑得無聊了就開始算，然后就發現了某些東西吧他為什么就能看得那么遠就知 道他計算的東西最終能帶給他不平凡的結果告訴我一個東西卻沒有告訴我這個東西是如何發現的，那我怎 么能有信心沿著前人的足跡向前探索呢今天分析當

32、初的困難，多是因為沒有整體思維，無法把矩陣當成一個整體來思考，見到向量可以想到那是 空間中的一個箭頭，但見到矩陣和矩陣乘法，完全想象不到它的整體是個什么東西，我只能想到它的每個 元素就是一堆數經過一堆運算得到的結果。看到書上寫的矩陣乘法，我的頭腦里就出現了它的運算過程的 動畫：左邊一橫，右邊一豎，左邊一橫，右邊一豎，除此之外想象不到其他的東西了。聽說某位數學家擺 弄矩陣就像擺弄整數一樣熟練，我當時也試圖找到把矩陣當成一個整體的感覺，可是在沒有空間直覺支持 的情況下這種努力是見不到明顯效果的。而且從前思考的都是低維空間的問題，對一維二維空間很熟悉， 很少考慮高維空間的問題，對高維空間即不熟悉也不

33、習慣，又沒有外人指點矩陣代數究竟有什么幾何意義, 即使是在低維空間中，也沒有用矩陣處理幾何問題的經驗，所以當時一直冷落代數。現在覺得，為了培養高維空間對象的整體思維方式，一方面就是加強代數的幾何直觀，另一方面就是站在 變換的角度統一抽象地處理矩陣，而不是僅僅把矩陣只當成一堆數的陣列，用線性變換的觀點認識矩陣乘 法，而不是把矩陣乘法當成一堆數又乘又加的運算?；谶@種原因，我們將以映射的觀點重新認識矩陣與矩陣的乘法。（二）本篇有些內容是孟巖中觀點的嚴密化與深化。數域 F上的兩個向量空間 U到 爐的一個映射 干，若保持加法和數量乘法，即滿足,（血 + «2）= p（Ul）+ 孤蜘）雙曲）=

34、比中（W則稱F為線性映射。矩陣及矩陣的乘法與線性映射有十分重大的聯系。為了看清這一點，我們采取以下步驟：、從一維空間談起 顯然，數域 f本身可以看作 卜1上的向量空間，記做 匕門，并且，f上的任何一個一維的向量空間 爐都 同構于 即取定I的一組基底后，1一中的任何向量都可以唯一地表示為 樂巴的形式，因此I廣中 的向量與 F1中的向量是一一對應的。我們把 F】稱作F上一維向量空間的坐標系統。E上的兩個一維向量空間 。和之間的一個線性映射 材,在分別取定 口和v上的基底ul與 燈 之后， Vu w q土； e上捐上.1£ =工到，因此 虱t9 = pfj"也。=上單（血）。設平

35、（加）=能仇，則 甲（生）=axvLo這樣，在兩個一維向量空間的坐標系統之間就衍生出一個線性映射帆H = 附，我們要研究前述的兩個向量空間，只需要研究它們的坐標系統上門，要研究前述兩個向量空間之間的線性映射¥、，只需要研究它們坐標系統之間的線性映射竿（了）=矽，因為它們是一一對應并且性質相同的。上門空間是由基底1張成的向量空間，那么根據上面的論述，F1到上門的任何一個線性映射，都有F中 的唯一一個數 看使得并且任何一個數 律，都唯一地確定一個線性映射= g。因此，我們可以說， F中的數與一維空間之間的線性映射是一一對應的。怎么看待 門和這樣一對數的乘法呢針對以后推廣到高維空間的情形，

36、我們總結以下幾點：1）我們可以說，本身是E”中的一個向量，n是K中的一個數，代表一個線性映射，那么偏工這樣的乘法就是一個線性映射 門作用在向量.匯上得到的像，并且，如果另一個線性映射儀工=如，那么f =a f（F）=遍；2）但是，口本身也是所以也可以看成 F1中的一個向量，它跟 .r并沒有什么本質的區別，在表達式 f = 川中，二者唯一的區別就是 口是固定不變的，而,是變量，但只要脫離映射 f的語境， 二者是對稱的，因為根據乘法的交換律 風工=:9；3）既然二者是對稱的，那么完全可以把 r當作變量而把當作對口的映射，這樣的映射是從, 到上門的映射：自變量是 口，代表一個線性函數，它的像是口工，

37、是F中的一個數；4）如果/ 0,那么線性映射了是個可逆的映射，有逆映射 尸=5Ljro在這個時候，作為 fl中的向量法（=f（l）可以看作新的參考系（即坐標系，或基底），如果在這個新的基底下某個向量 的坐標為,T,那么在原來基底 1下，同一個向量的坐標就是 偏了。這樣，/和f-'可以看作某個向量 的新坐標與原坐標之間的轉換函數。二、多維到一維的映射設匚是數域 F上的n維向量空間，L至|J F的線性映射稱為 口上的線性函數。取定 U的一組基底 3.o . ?無之后，口中的向量一一對應于 上班中的向量。同一維情形類似，我們也可以用U的坐 標系統 代替u本身。u 上的一個線性函數 /同樣也衍

38、生出一個 E”到E的線性映射。因此我們可 以看上的線性函數。E也是由基底張成的，現要計算 t1嘲上的線性函數，的表達式。上任何一個向量 蠹=(皿盧九.-.,，屯)丁，有打匐=，番K 1 + 歿 + + Xn6n)= Zlf(eL)+ 工 2f (匈)+ + Xnf(en)這個算式每一項中，都有一部分是常量，即 ，是跟隨線性函數 而變化的數，它們可代表 了本身;另一部分是變量，對應于的分量.口，可代表自變量。我們把這兩部分分開書寫，定義一個行向量和一個列向量的乘積是它們每個分量分別相乘并把結果相加，如下：(為什么這里定義的是一個行向量和一個列向量相乘為什么不規定成兩個行向量或兩個列向量相乘這個要

39、 等到考察多維到多維的映射的時候才能看出一些端倪來，因為這樣定義之后，橫著的行向量將總可以看成只有在特殊的情況下它們才互相轉化。)一個映射，而縱向的列向量通常就是定義域或值域空間中的向量,設=汽3 那么(2)就可表示為這樣，與一維情形類似， £(q F)中的任何一個線性函數都與一個 n維的行向量一一對應。那么怎么看待多維行向量門與列向量甚的乘積呢i）與一維的情況類似，列向量是定義域中的一個向量， 行向量代表一個多維空間 F71到一維空間 F 的映射，這種映射稱為上的線性函數。F門上的所有線性函數構成一個向量空間，記為或稱為E門的對偶空間。顯然，它也是 n維的，與 朝的維數相同。I I

40、 ，上有一組自然的基底：=（0 0 1 0 0）即第i個基底的第i個坐標分量是1,其它分量是0。這組基底是什么意義呢顯然 *代表一個線性函數， 且滿足/由 =L以手=豐Jo即第i個基底L把E”的第i個基底向量映射為i,其它基底向 量映射為0。2）與一維對一維的映射不同，這時的 R是個n維的行向量，這些行向量可以和定義域 L"中的向量一一 對應，而值域只有一維，所以 口作為n維向量無法看成值域中的元素。但是， 0t的每個分量卻是值域中 的元素，其第i個分量可以看成 ，。既然n維的行向量可以與 口中的向量一一對應，那么 小所對應的向量 諄下就依然與 汨沒有本質區別。 對于 甘壯中的兩個向

41、量小孔 定義記號 任，y）=元7學，那么=阻/） = S醒與月依然是對稱的。3）從這個意義上講，第一，我們可以把映射口當作自變量而把 汗看成是這個映射的線性函數，這樣 En中的每一個向量就可以看作是它的對偶空間上的線性函數；第二，（場處定義了兩個向量的乘積，乘積的結果是一個數。當F是實數域時，這個乘積就是內積，當F是復數域的時候，這樣的乘積只是個對稱雙線性函數。4）因為映射的值域與定義域維數不等，所以映射不是可逆的，因此也就沒有坐標變換之說。但是，如果 m,即。的分量不全為零，那么圖:r就是對上班中向量的一種投影測量，它很像我們三維空間中的高 度，知道了一個物體的高度，雖然不知道這個物體確切位

42、置如何，但是我可以知道這個物體下落到地面重力做了多少功。這部分內容涉及到的內積與雙線性函數的一些認識可能要留待以后去闡述了。三、多維到多維映射基于前面所述的一些原因，我們只需看F13到的線性映射/,和前面一樣的推導過程，可知4- xa/(2)4卜工/%)其中4LC2r：是ym中的一組基底，.門、事是才在這組基底下的坐標。 如果在 Rm中也取一組基底，那么每一個向量 產(4)也有一組坐標，我們把這些坐標也寫成列向量的形式，那么是這些列向量的線性組合，它也是列向量的形式。定義"Z黑用階矩陣與一個 n維列向量的乘積是這個矩陣列向量的線性組合：口 2 = £匚西a xn/其中ff是

43、矩陣的第i列向量。設 =g), 那么，的表達式可寫成央了出)=(/y'l a3 '啟).1部 T1/這個表面上看跟前述多維到一維的映射的矩陣表達式沒什么不同，但是唯一的區別就是這里的每一個靴擴展成了一個 m維的列向量，因此皿組成的實際上是一個 rn階矩陣，我們用月指代這個矩陣。怎么看待.If這個表達式呢D與前述觀點完全雷同，矩陣代表一個線性映射，工 代表自變量，是一個向量。2)A的每一個列向量是值域中的一個向量，這些列向量張成了值域空間。那么， A 的每個行向量呢它們 每一個都是定義域到一個一維向量空間的映射。我們把 且的第i個行向量記為 fi ,經過簡單的計算推導 容易看出，

44、f的表達式也可以寫成如下形式：f fl/人、h為/(-F)=X =.K因此, A 相當于只取了 3）的第i個分量，所以它是到F"；中第i個基向量張成的一維子空間的映射?？梢院苋菀椎乩斫?， Ar即可以看成是 且各個列向量的線性組合，其每個分量又可以看成是 .4的每個行向量與潑的乘積。3）如果考慮到 力與涓的對稱性，把 寸看成是I,F"）”上的線性函數，那么， Ar可以看作八跖廳、 我們也把它看成 才的同類，得到一個 E劭對偶空間上的線性函數。后面我們會看到，這將導出 （心=工丁4丁，只是現在還沒有定義矩陣與矩陣的乘法。4）如果，是E小到自身的映射，并且 *薩：1,那么，（為）

45、/（）可以構成E" 的基底，那么f可逆，且如果一個向量在基底 f（tf但i）g由）下的坐標為.r ,那么在i 1. 1七2一，. f。下的坐標就是 ，。（三）四、線性映射的復合我們已經定義了行向量與列向量的乘法和矩陣與列向量的乘法，現在還差矩陣與矩陣的乘法沒有定義。而矩陣與矩陣的乘法要與線性映射的復合聯系起來。設匚、F和 可分別為r維、n維、m維向量空間。1ff和，分別是U到T和至U印"的線性映射， 那么易證兩個線性映射的復合 f口 D也是線性映射。取三個向量空間的基底，那么三個向量空間就有了坐標系統，如果知道了 /和9在坐標系統下的表達式， 即按前面所述，知道了它們對應的

46、矩陣：式啕=B迷 其中且為打?. h n階矩陣，B 為兩k 丁階矩陣，那么 于口 g對應的矩陣是什么呢依據直觀的推導，/ °。閨=力（程）=ASa好像/ 口？對應的矩陣就是幾口兩 個矩陣的乘積，但是，我們目前并沒有定義它們的乘積是什么，所以最后一個等號目前來講還是沒有意義那么，我們就以求兩個線性映射的復合映射所對應的矩陣為目的，定義兩個線性映射的復合所對應的矩陣 就是這兩個映射對應矩陣的乘積，那么這個乘積如何來求呢我們前面已經知曉，一個線性映射/對應的矩陣，其列向量就恰好等于,+在值域坐標系中的坐標，那么我們只需求出這些坐標，就相當于求出一個線性映射的矩陣了。中的基底 門.才明，在線

47、性映射 g的作用下映射到 中，根據 守對應矩陣口的意義，相應的（藥卜.。卜）在尸中的坐標值就應該是 U的各個列向量 加，加 田一然后,這些向 量再經映射到 耳，它們的像在 砰一坐標系中的坐標就應該是 AM.思外.，他產，也就是說，u 中 的基底£ l 仁史G-在f o g作用下的像在 H中的坐標就是 月加4b冊一 Abt-,把它們作為列向量組成一個矩陣，這就是線性映射，?？蓪木仃??；谝陨险撌觯x兩個矩陣月日弘發空的乘積40如下：A.B = （4瓦+ 4%）其中加加，7 b為口的列向量。這樣的定義使得A（Bx）=依切蕾成立，因此，矩陣乘法滿足結合律：還有，我們看 且B的每個列向量的組成情況，它的的每一列都是44，根據矩陣與列向量的乘法定義，它是應的列向量的線性組合，組合系數是E的分量。這是從列向量的角度分析矩陣乘法得到的結果，我們還可以從行向量角度分析矩陣乘法。前面對矩陣行向量的意義已經說明，每個行向量都是定義域到值域的一維子空間的映射。那么我們分析一 下月日的行向量