1、兩角和與差的三角函數(shù)，解斜三角形·半角的正弦、余弦、正切教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生掌握半角的正弦、余弦和正切的公式容及推導(dǎo)方法2初步掌握公式的應(yīng)用，能用聯(lián)系的觀點(diǎn)理解各公式，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力3提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)是半角公式的推導(dǎo)過(guò)程教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)公式的分析和理解教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、新課引入師：這節(jié)課我們研究一組新的三角變換的工具半角公式什么表示（盡快揭示課題，引導(dǎo)學(xué)生的思維盡快進(jìn)入問(wèn)題情境）板書(shū)：半角的正弦、余弦和正切二、學(xué)習(xí)新課1公式的推導(dǎo)師：表示式中除有角三角函數(shù)外，還有其它角的三角函數(shù)，能否只用角的三角函數(shù)來(lái)表示？師：以上兩位同學(xué)的推導(dǎo)，雖然未能完成，但在

2、思路上有一定的價(jià)（對(duì)倍角公式的換元處理，體現(xiàn)了對(duì)“倍”的相對(duì)性的認(rèn)識(shí)）師：好這一點(diǎn)很重要，這個(gè)等式正是我們所需要的，能否繼續(xù)完成這種推導(dǎo)？師：解釋一下這里“±”號(hào)的含義，是正與負(fù)兩個(gè)都要嗎？這就是半角的正弦公式，我們把它記下來(lái)師：這里又出現(xiàn)了“±”號(hào)，請(qǐng)舉例說(shuō)明這里“±”號(hào)的含義選負(fù)號(hào)師：也就是說(shuō)這里“±”號(hào)選取方法與前面公式選取方法是相同的，這就是半角的余弦公式師：半角的正切公式該怎樣來(lái)推導(dǎo)呢？里的“±”號(hào)需稍加解釋，由于分子、分母都是“±”號(hào)，能否把“±”號(hào)約掉？生：不能師：怎么理解結(jié)果中的“±”號(hào)呢？生：應(yīng)是

3、分子，分母的“±”號(hào)搭配的結(jié)果具體地說(shuō)，共有四種情況：當(dāng)分子，分母取同號(hào)時(shí)，結(jié)果為正；當(dāng)分子，分母取異號(hào)時(shí)，結(jié)果為負(fù)師：也就是說(shuō)這里的“±”號(hào)由分子，分母符號(hào)的選取共同決定的，這就是半角的正切公式師：公式（ 3）從形式上似乎還有化簡(jiǎn)的余地， 可以使它變得更簡(jiǎn)單， 更便于使用 找一個(gè)同學(xué)試對(duì)公式 （ 3）進(jìn)行化簡(jiǎn)生：分子、分母同時(shí)乘以1+cos，即師：能乘1+cos嗎？生：可以因?yàn)樵诠剑?）中 1+cos在分母位置上，可以保證其不為零師： 1+cos開(kāi)出根號(hào)，能保證它一定為正嗎？生：由 -1 cos 1 及 1+cos 0 可以保證1+cos一定為正師：從形式上看化簡(jiǎn)結(jié)果并

4、不理想，如果沒(méi)有“±”號(hào)和絕對(duì)值就好了，這樣做行嗎？（對(duì)這個(gè)問(wèn)題的解決，有一定難度，可以讓學(xué)生討論，研究一下，最終由老師加以解釋）是等價(jià)的簡(jiǎn)單分析如下，|sin |去掉絕對(duì)值需看sin的符號(hào)，“±”師：對(duì)于公式（3）化簡(jiǎn)的方法應(yīng)當(dāng)是不唯一的，能否有其它的化簡(jiǎn)方法呢？師：這個(gè)化簡(jiǎn)過(guò)程與剛才的很類似，而且“±”號(hào)和絕對(duì)值的處理的正切公式的第三種形式記錄下來(lái)取相應(yīng)的推導(dǎo)方法 ）師：到此完成了半角公式的全部推導(dǎo)過(guò)程回顧公式的推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)半角的正余弦公式推導(dǎo)是借助了倍角公式來(lái)完成的，說(shuō)明倍角與半角公式是密切聯(lián)系的，我們正是利用這種關(guān)系，應(yīng)用方程思想得到了半角公式（給短暫的停頓

5、，讓學(xué)生從整體上記憶這組公式）師：下面對(duì)這組公式作初步理解與記憶2公式的初步理解與記憶師：先明確何時(shí)能用這些公式，即公式成立的條件是什么呢？先看公式（1）、（ 2）（板書(shū)（ 1）公式成立的條件）生：公式（ 1）、（ 2）成立的條件是R（把條件同時(shí)板書(shū)在各公式的后面）師：再看公式（3）和（ 4）師：再看看公式（5）的條件k Z ，即 k（ k Z ）師：公式（ 4）和公式（ 5）都是由（ 3）推出的，為什么成立的條件不同呢？生：因?yàn)橥?1-cos時(shí)不能保證它一定不為零，為保證變形的等價(jià)性，需添加上這個(gè)條件，即要求2k， k Z ，故增加了公式的使用條件，這與（4）有所不同師：了解它們成立的條件

6、，在使用時(shí)請(qǐng)稍加注意（板書(shū)（ 2）公式的恒等性）師：這五個(gè)公式均為三角恒等式恒等的含義具體指什么？生：公式中的角可以取任意角師：準(zhǔn)確地說(shuō)，應(yīng)當(dāng)是在公式成立圍的任意角均使公式成立，即公式具備恒等性正因?yàn)槭侨我獾模使街薪强梢杂卸喾N表示方法，如果用換元思想去認(rèn)識(shí)公式中的角，左式中角可以用，那么右式中角則應(yīng)換為生：（共答） 2指左式中的角是右式中角的一半自然，這種相對(duì)性還可以理解為右式中的角又是左式中角的2 倍，這就是倍的相對(duì)性從這個(gè)角度上又一次揭示了倍與半之間的密切聯(lián)系，它們的實(shí)質(zhì)是相同的，只是研究的角度不同罷了（板書(shū)（ 3）“半”的相對(duì)性）下面我們簡(jiǎn)單談一下公式的記憶（公式的記憶固然需要在理解

7、的基礎(chǔ)上去記憶，但有時(shí)一些技巧對(duì)公式記憶也很有幫助）師：公式（ 4）和（ 5）雖然形式簡(jiǎn)單，但很容易相互混淆但仔細(xì)觀察能發(fā)現(xiàn)（3），（ 4），（ 5）三個(gè)公式中出現(xiàn)了三個(gè)因式1+cos， 1-cos和 sin，而 1+cos若出現(xiàn)一定會(huì)在分母上，1-cos若出現(xiàn)則一定在分子上，（ 4）和（ 5）兩個(gè)公式，一旦分子或分母確定了，另一個(gè)位置上一定是sin通過(guò)這種方法，從公式中的聯(lián)系出發(fā)，找到了記憶的方法，但是最好的記憶方法還是在公式使用時(shí)去熟練記憶（板書(shū)）3公式的應(yīng)用先一起看一組小題（板書(shū)）師：打算用什么公式來(lái)求值？生：用半角公式師：為什么用半角公式？計(jì)算最方便（有些學(xué)生想利用倍角公式來(lái)求值，此時(shí)

8、應(yīng)提醒學(xué)生這樣做沒(méi)有錯(cuò)，只不過(guò)又推了一次半角公式，而不是直接用公式，所以要注意倍、半公式的選擇）師：用半角公式，僅有cos值夠不夠？師：現(xiàn)在這兩個(gè)條件都具備，找個(gè)同學(xué)具體計(jì)算一下（板書(shū)）（3）是第三象限角師：對(duì)（ 2）和（ 3）只要求指出各值的符號(hào)即可師：對(duì)于這組題的計(jì)算還有什么問(wèn)題嗎？第三象限角，為什么（1）只有一組解，而（3）卻有兩組解呢？師：?jiǎn)栴}提得好有哪位同學(xué)能幫忙解決嗎？生：（ 1）中角是區(qū)間角，是第三象限角中很小的一部分，師：好區(qū)間角和象限角是不同的兩個(gè)概念，在解題時(shí)注意加以區(qū)分師：這節(jié)課主要對(duì)半角公式進(jìn)行了推導(dǎo)，并做了初步的理解與應(yīng)用在整個(gè)過(guò)程中有幾點(diǎn)啟示，需引起我們注意：（1）

9、在公式推導(dǎo)中發(fā)現(xiàn)，倍角和半角是緊密相聯(lián)的，它們是同一種關(guān)系的不同表現(xiàn)形式（2）具體推導(dǎo)時(shí)， 就是利用方程的思想和聯(lián)系的觀點(diǎn)得到半角的五個(gè)公式， 同時(shí)我們也應(yīng)能利用聯(lián)系的觀點(diǎn)把握其余各組公式間的聯(lián)系（ 3）在正確記憶公式的同時(shí)，應(yīng)注意公式在表達(dá)形式上存在著正負(fù)號(hào)的選擇問(wèn)題至于對(duì)公式進(jìn)一步的綜合應(yīng)用將在下節(jié)課繼續(xù)研究作業(yè)：課本 P224 第 1， 2， 3 題課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明1這節(jié)課是一節(jié)典型的公式課，傳統(tǒng)的教學(xué)方法往往是以最快速度給出公式，然后展開(kāi)大規(guī)模的練習(xí)，這樣教學(xué)的結(jié)果會(huì)讓學(xué)生只會(huì)死套公式，而不能靈活運(yùn)用公式并合理選擇公式因此本節(jié)課采用啟發(fā)式教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)公式的容、推導(dǎo)進(jìn)行獨(dú)立思考、探索，使學(xué)生充分吸取公式推導(dǎo)中的營(yíng)養(yǎng)成分2對(duì)于半角第一個(gè)公式的推導(dǎo)是整套公式推導(dǎo)的起點(diǎn)，為充分引導(dǎo)學(xué)生思考，拓展思路， 我事先做了多種方案的準(zhǔn)備，其中有這樣一條思略或被輕易否定了其實(shí)這條路也是很有價(jià)值的一種推導(dǎo)思路，下面簡(jiǎn)在這里又出現(xiàn)了“±”號(hào)和絕對(duì)值