1、新人教版-八年級（上）-數學-第十一章11.2.1 三角形的內角三角形的內角 學學 習習 目目 標標11.掌握三角形內角和定理及其推論掌握三角形內角和定理及其推論2.會用添加輔助線的方法進行證明會用添加輔助線的方法進行證明3.靈活運用三角形內角和定理靈活運用三角形內角和定理重點 ： 1、能用多種方法證明三角形內角和定理 2、會在證明中添加合適的輔助線。三角形兩邊的夾角叫做三角形的內角三角形的內角在一個直角三角形里住著三個內角，平時，它們三兄弟非常團結。可是有一天，老二突然不高興，發起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數最大，我也要和你一樣大！”“不行啊！”老大說：“這是不可能的，否則，我們這個

2、家就再也圍不起來了”“為什么？”老二很納悶。同學們，你們知道其中的道理嗎？Z xxk內角三兄弟之爭如下圖所示是我們常用的三角板,它們的三個角之和為多少度?想一想:任意三角形的三個內角之和也為180度嗎?30+60+90=18045+45+90=180思考與探索把三個角拼在一起試試看把三個角拼在一起試試看三角形的內角和是180度。方法一：方法一：ABC演示下一頁123方法二方法二: 將各角沿著一邊所在的直線折疊將各角沿著一邊所在的直線折疊 如果如果ABCABC是畫在一塊不能分割的平面上，如在黑板上是畫在一塊不能分割的平面上，如在黑板上，這時就不可能做到把，這時就不可能做到把A A、B B撕下來再

3、分別放在撕下來再分別放在1 1、2 2的位置上，那么又如何論證的位置上，那么又如何論證A+B+C= 180A+B+C= 180呢？呢？ A B C 1 2 D E 21EDCBA三角形的內角和等于1800.延長BC到D，于是CEBA (內錯角相等，兩直線平行).B=2 Z xxk (兩直線平行，同位角相等).1+2+ACB=180A+B+ACB=180在ABC的外部，以CA為一邊，CE為另一邊作1=A，證法一(等量代換等量代換)21EDCBA三角形的內角和等于1800.延長BC到D， 過C作CEBA， A=1 (兩直線平行，內錯角相等)B=2(兩直線平行，同位角相等)1+2+ACB=180A+

4、B+ACB=180證法二(等量代換等量代換)F21ECBA三角形的內角和等于1800.過A作EFBC，B=2(兩直線平行,內錯角相等) C=1(兩直線平行,內錯角相等) 2+1+BAC=180B+C+BAC=180證法三(等量代換等量代換)CBEA三角形的內角和等于1800.過A作AEBC，B=BAE(兩直線平行,內錯角相等)EAB+BAC+C=180(兩直線平行,同旁內角互補)B+C+BAC=180證法四(等量代換等量代換) 在這里，為了證明的需要，在原來在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做的圖形上添畫的線叫做輔助線輔助線。在平面。在平面幾何里，輔助線通常畫成幾何里，輔助線通常

5、畫成虛線虛線。 為了證明三個角的和為為了證明三個角的和為1800,轉轉化為一個平角或同旁內角互補化為一個平角或同旁內角互補,這這種種轉化思想轉化思想是數學中的常用方法是數學中的常用方法.思路總結思路總結三角形內角和定理三角形內角和定理: :三角形的內角和等于三角形的內角和等于1801800 0. .即在即在ABC中，中， A +B +C=180 wA+B+C=A+B+C=1800的幾種變形的幾種變形:wA=A=1800 (B+C).(B+C).wB=B=1800 (A+C).(A+C).wC=C=1800 (A+B).(A+B).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-

6、A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.w這里的結論這里的結論, ,以后可以直接運用以后可以直接運用. . 三種語言三種語言ABCCBA2.推論：推論： 直角三角形中，兩銳角互余。直角三角形中，兩銳角互余。 即在直角即在直角 A B C 中，若中，若C =90， 則則A +B =90 。 Z x xk 直角三角形直角三角形ABC，記作：，記作：RtABC定理應用定理應用 三角形的三內角和是三角形的三內角和是180 ，所以三內角可，所以三內角可能出現的情況：能出現的情況：一個鈍角一個鈍角 兩個銳角兩個銳角鈍角三角形鈍角三角形銳角三角形銳角三角形一個直角一個直角 兩個銳角兩個銳角直角三角形直角

7、三角形三個都為銳角三個都為銳角鈍角三角形鈍角三角形直角三角形直角三角形銳角三角形銳角三角形(口答)下列各組角是同一個三角形的內角嗎?為什么?（2）60， 40， 90（3）30， 60， 50（1）3， 150， 27 （是是 ）（ 不是不是）（ 不是不是）鞏固練習已知三角形三個內角的度數之比為已知三角形三個內角的度數之比為1:3:5，求這三個內角的度數。，求這三個內角的度數。解：設三個內角度數分別為：解：設三個內角度數分別為：x、3x、5x,由三角形內角和為由三角形內角和為180 得得x+3x+5x=180 解得解得x=20 所以三個內角度數分別為所以三個內角度數分別為20 ,60 ,100

8、 。（1）在）在ABC中，中，A=35， B=43 C= . （2）在）在ABC中，中， A :B:C=2:3:4則則A = _ B= C= . （3） A ： B ：C=3：2：1，問，問 ABC是是_三三角形角形.（4） A C =35 B C =10 ，則，則B =？（5）一個三角形中最多有一個三角形中最多有 個直角，最多有個直角，最多有_ 個鈍角個鈍角，最多有，最多有_個銳角，個銳角，至少有至少有 個銳角。個銳角。（6）任意一個三角形中）任意一個三角形中,最大的一個角的度數至少最大的一個角的度數至少為為 .應用新知應用新知7.在在ABC中，若中，若A+B=2C，則，則C= 。8.ABC

9、中中,若若ABC,則則ABC是（是（ ）9、如圖：、如圖：= 。320440480ABC已知ABC中,ABCC=2A ,BD是AC邊上的高，求DBC的度數。D解：設Ax0，則ABCC2x0 x2x2x180 （三角形內角和定理）解得x36C2360720DBC1800900720（三角形內角和定理）在BDC中，BDC900(三角形高的定義）DBC180?例題講解例題講解1 1如圖,C島在A島的北偏東50方向，B島在A島的北偏東80方向，C島在B島的北偏西40方向。求下面各題.（1）DAC_ DAB_ EBC_ CAB _ A(2)從C島看A 、B兩島的視角C是多少?508040DBCE北北解：

10、 ADBE DABABE180 ABE 180DAB 180 80 100 在在ABC中中,C 180 CAB ABC 18030 60 90 ABCABECBE30 1004060例題講解例題講解2 2方法一DCE北A50B40 北MN在AMC中 AMC=90, MAC=50解：過點C畫MNAD分別交AD、BE于點M、N12方法二方法二1=180 -90-50 =40 ADBE AMC+ BNC =180 BNC =90同理得2 =50 ACB =180 -1 -2=180 -40-50 =90BDCE北A 你能想出一個更簡捷的方法來求C的度數嗎？125040解：解： 過點過點C畫畫CFAD

11、 1DAC50 , F CFAD, 又又AD BE CF BE2CBE 40 ACB12 50 40 90 方法三方法三解解：在在ACD中中 CAD 30 D 90 DABC ACD =180 -30 -90 =6 0 在在BCD中中 CBD = 45 D 90 BCD = 180 - 90-45 =45 ACB = ACD - BCD = 6 0 - 45 =15鞏固練習1.如圖,從A處觀測C處時仰角CAD30,從B處觀測C處時仰角CBD45.從C處觀測A、B兩處時視角ACB是多少?2.如圖,某同學把一塊三角形的玻璃打碎成三片,現在他要到玻璃店去配一塊形狀完全一樣的玻璃,那么最省事的辦法是

12、( )(A)帶帶去去(B)帶帶去去(C)帶帶去去(D)帶帶和和去去C鞏固練習3.ABC中,若ABC,則ABC是( )A、銳角三角形B、直角三角形 C、鈍角三角形D、等腰三角形4. 一個三角形至少有（ ） A、一個銳角 B、兩個銳角 C、一個鈍角 D、一個直角BB鞏固練習5. 如圖ABC中,CD平分ACB,DEBC,A70,ADE50, 求BDC的度數.ABCDE解:A70 ACB=180 -A-B=180-70-50=60DE/BCB=ADE50 CD平分ACB30602121ACBDCBDCBBBDC1801003050180鞏固練習證明：證明： DE BC （已知）（已知） AED= C（

13、兩直線平行，同位角相等）（兩直線平行，同位角相等） C=700（已知）（已知） AED= 700 （等量代換）（等量代換） A+ AED+ ADE=1800（三角形的內角和定理）（三角形的內角和定理） A=600（已知）（已知） ADE=1800600700=500（等量代換）（等量代換） 即即 ADE= 500DCBAE（第（第1題）題）6、已知、已知:如圖在如圖在ABC中，中，DEBC,A=600, C=700. 求證：求證： ADE=5007 7、如圖，直線、如圖，直線ABABCD,CD,在在ABAB、CDCD外有一點外有一點P P，連結，連結 PBPB、PDPD，交，交CDCD于于E E點。點。 則則 B B、 D D、 P P 之間是否存在一定的大小關系？之間是否存在一定的大小關系？A AB BC CP PD DE E他們是怎樣的，并加以證明他們是怎樣的，并加以證明？甲樓高16米,乙樓座落在甲樓的正北面,已知當地冬至中午12點,太陽光線與水平面夾角為450,如果甲樓的影子剛好不落在乙樓上,那么兩樓的距離應是多少？甲甲乙乙16米米450？45016米米解:由題意知ABC45,90ACBABCACBABCBAC1804590180 45BC=AB=16答:兩樓的距離是16米.拓展與思考12、在中，如果= B= C，那么是什么三角形？2131解:設A=x,那么B=2x