1、1 概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性的學科概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性的學科. 隨機現象的規律性隨機現象的規律性只有在相同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現出來只有在相同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現出來. 也就是說，要從隨機也就是說，要從隨機現象中去尋求必然的法則，應該研究大量隨機現象現象中去尋求必然的法則，應該研究大量隨機現象. 研究大量的隨機現象，常常采用極限形式，由此導致對極限定理進行研究研究大量的隨機現象，常常采用極限形式，由此導致對極限定理進行研究. . 極限定理的內容很廣泛，其中最重要的有兩種極限定理的內容很廣泛，其中最重要的有兩種: :與與大數定律大數定

2、律中心極限定理中心極限定理2 設設m是是n重貝努利試驗中事件重貝努利試驗中事件A發生的次數，發生的次數，p是事件是事件A發生的概率，則對任給的發生的概率，則對任給的 0，定理定理1（貝努利大數定律）（貝努利大數定律）或或1)|(|lim pnmPn0)|(|lim pnmPn 貝努利大數定律表明，當重復試驗次數貝努利大數定律表明，當重復試驗次數n充分大時，事件充分大時，事件A發生的頻率發生的頻率m/n會會靠近事件靠近事件A的概率的概率p5.2 大數定律大數定律3 設設 X1,X2, 是獨立同分布的隨機變量序列，是獨立同分布的隨機變量序列，EXi =, DXi=2 ，i=1,2, ，定理定理2

3、（切比雪夫大數定律）（切比雪夫大數定律） niinXnP11)|1(|lim 則對任意的則對任意的0， 定理定理2表明，獨立隨機變量序列表明，獨立隨機變量序列Xn, 如果方差如果方差存在，則存在，則與其數學期望與其數學期望 偏差很小的概率偏差很小的概率接近于接近于1. 取值非常接近于其數學期望取值非常接近于其數學期望.即當即當n充分大時，充分大時，差不多不再是隨機的了差不多不再是隨機的了, niiXn11 niiXn114 中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景 在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產生總影響在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產生總影響. 例如：炮彈射擊的落點與

4、目標的偏差，就受著許多隨機因素的影響例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素的影響.5.3 中心極限定理空氣阻力所產生的誤差，空氣阻力所產生的誤差，對我們來說重要的是這些隨機因素的總影響對我們來說重要的是這些隨機因素的總影響.如瞄準時的誤差，如瞄準時的誤差，炮彈或炮身結構所引起的誤差等等炮彈或炮身結構所引起的誤差等等.5，設炮彈落點的偏差為設炮彈落點的偏差為 X總和，總和，它是許多隨機小誤差的它是許多隨機小誤差的 niiXX1即即.,相互獨立相互獨立而且而且iX隨機變量和的分布隨機變量和的分布的分布就是要討論獨立的分布就是要討論獨立因此要討論因此要討論X 由于無窮個隨機變量之和可能

5、趨于由于無窮個隨機變量之和可能趨于，故我們不研究，故我們不研究n個隨機變量之和本身而個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的隨機變量考慮它的標準化的隨機變量的分布函數的極限的分布函數的極限. niininiiinXDXEXY111)()( 可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標準正態分布可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標準正態分布. 6定理定理1（獨立同分布下的中心極限定理）（獨立同分布下的中心極限定理） 設設X1,X2, 是獨立同分布的隨機變量序列，且是獨立同分布的隨機變量序列，且EXi = ，DXi =2 ，i=1,2,，則，則)(lim)(lim1xnnXPxFniinnn )(

6、x 滿滿足足對對的的分分布布函函數數xxFnnXXDXEXYnniiniininiiin )()()(1111 7 雖然在一般情況下，我們很難求出雖然在一般情況下，我們很難求出X1+X2+ +Xn 的分布的確切形式，但當的分布的確切形式，但當n很很大時，可以求出近似分布大時，可以求出近似分布.即當即當n充分大時，充分大時，n個獨立同分布的個獨立同分布的r.v之和近似服從標準正態分布之和近似服從標準正態分布.)(x )(1xnnXPnnii 很很大大時時，它它表表明明，當當)(x )(1xXPnii 則則)(nnx )(lim)(lim1xnnXPxFniinnn 8例例1 根據以往經驗，某種電

7、器元件的壽命服從均值為根據以往經驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數分布小時的指數分布. 現隨機地取現隨機地取16只，設它們的壽命是相互獨立的只，設它們的壽命是相互獨立的. 求這求這16只元件的壽命的總和大于只元件的壽命的總和大于1920小時的概率小時的概率.由題給條件知，由題給條件知，Xi獨立同分布，獨立同分布，解解: 設第設第i只元件的壽命為只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16EXi=100, DXi=10000)(1xXPnii )(nnx =1- - (0.8)=1- -0.7881=0.2119)40016001920(1 )1920(1)1920(161161

8、iiiiXPXP則則9定理定理2( (棣莫弗拉普拉斯定理）棣莫弗拉普拉斯定理） 定理表明，當定理表明，當n很大，很大，0p1是一個定值時，是一個定值時，有有則則對對，設設xppnBZn , 10),()1(limxpnpnpZPnn )(x 下面介紹的下面介紹的棣莫弗拉普拉斯定理棣莫弗拉普拉斯定理（二項分布收斂于正態分布）是上述定理的（二項分布收斂于正態分布）是上述定理的特殊情況特殊情況.即二項分布近似于正態分布即二項分布近似于正態分布)(xZPn 則則)1(pnpnpx 10knkbkaknnppCbZaP )1()()(xZPn )1(pnpnpx )1()1(pnpnpapnpnpb )

9、(計算繁瑣！計算繁瑣！)(查表即可！查表即可！)()(aZPbZPnn 11例例2 某車間有某車間有100臺車床臺車床, 設開工率為設開工率為0.8, 并設每臺車床的工作是獨立的，求在并設每臺車床的工作是獨立的，求在某時刻同時開工的臺數在某時刻同時開工的臺數在70到到86之間的概率之間的概率.解解：用用X表示在某時刻工作著的車床數，表示在某時刻工作著的車床數，則則 XB(100,0.8)由棣莫弗由棣莫弗- -拉普拉斯極限定理拉普拉斯極限定理P(70X86)48070()48086( 這里這里 np=80, np(1- -p)=16)(bZaPn )1()1(pnpnpapnpnpb )5 .

10、2()5 . 1( 927. 0)5 . 2(1)5 . 1( 12例例2 某車間有某車間有200臺車床臺車床, 設開工率為設開工率為0.6, 并設每臺車床的工作是獨立的，且在并設每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力開工時需電力1千瓦千瓦.問應供應多少千瓦電力就能以問應供應多少千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產生產?用用X表示在某時刻工作著的車床數，表示在某時刻工作著的車床數，P(XN)0.999的最小的的最小的N.要求滿足要求滿足解解：設需：設需N千瓦電力，千瓦電力， 對每臺車床的觀察作為一次試驗，對每臺車床的觀察作為一次試驗，每次試驗觀每次試驗觀察該臺車床是否工作，察該臺車床是否工作， 工作的概率為工作的概率為0.6，共進行，共進行200次試驗次試驗.則則 XB(200,0.6)由棣莫弗由棣莫弗- -拉普拉斯極限定理拉普拉斯極限定理P(XN)48120( N這里這里 np=120, np(1- -p)=4813查正態分布