1、RC及RL電路的過渡過程 第1頁共15頁RC及RL電路的過渡過程劉訓永（安慶師范學院物理與電氣工程學院 安徽 安慶 246011）指導老師：潘康生摘 要：一個電路從原來的穩定狀態向新的穩定狀態變化需要經過另一個時間過程，這就是電路的過渡過程。電路的過渡過程雖然往往很短暫，但它的作用和影響很重要。本文將用數學分析方法對RC及RL一階線性電路進行全面分析，目的就在于認識和掌握有關的規律，利用過渡過程特性的有利的一面，對其有害的一面進行預防或抑制。關鍵詞：過度過程，放電過程，充電過程，零狀態，非零狀態IRC電路的過渡過程11 RC電路的放電過程設開關原在位置2，電路達到穩態后，電容電壓等于U,在t=

2、0時開關突然倒向位置1,則在t0時，按照基爾霍夫電壓定律列出電路方程iR+uC=0因為 i=C故得 RCduC dt圖（1）RC電路 duC+uC=0 （1） dt這是一個一階、線性、常系數、齊次微分方程，其通解為uC=Aept將上式代入式（1），消去公因子Ae,則得到該微分方程的特征方程 ptRCP+1=0該特征方程根（特征根）為p=-因此，式（1）的通解為 1 RC-uC=Ae其中A為待定的積分常數，由初始條件確定。根據換路定律，換路瞬間電容上的電壓不能突變，即在t=0+時，uC=U，故有A=U。于是微分方程（1）的解為uC=Uet-=Ue （2） t-將電容電壓uC隨時間的變化曲線畫在圖

3、（2）（a）中，這是一個指數曲線，其初始值為U，衰減的終了值為零。RC及RL電路的過渡過程 第2頁共15頁式（2）中t=RC，稱為RC電路的時間常數，它決定了電壓uC衰減的快慢。t的單位t=RC=歐法拉=歐即t代表時間，其單位為秒。當t=t時庫侖安秒=歐=秒 伏伏uc=Ue=-1U=36.8U 2.718可見時間常數t等于電壓uC衰減到初始值U的36.8%所需的時間。可以證明，指數曲線上任一點的次切距的長度ab都等于t，見圖（2）（b），圖中在t=t0點曲線的變化率duC dtt=t0=-Ute-t0=-uC(t0)t它就是曲線在c點的切線的斜率。在直角三角形abc中ac=uC(t0)tgq=

4、故 duCdtuC(t0)t=t0tacuC(t0)ab=t u(t)tgqC0 （a） （b） 圖（2）RC放電電路中電容電壓uc隨時間的變化曲線。t這就意味著，如果在t=t0點，按曲線在該點的切線cb的斜率衰減，經t秒后電容上的電壓uC就會衰減到零。1下表列出RC電路放電時，電容電壓uC隨時間的變化情況從表中可見，當t=3t時，uC衰減到初始值的5%，當t=5t時，uC已衰減到初始值的1%以下。所以一般認為t=(35)t時，電路已經達到穩定狀態。雖然從理論上講，當t=時電路才到達穩定。RC電路放電過程中電容的放電電流和電阻的電壓如下面的式子所示tduCU-ttU-RCi=C=-e=-e d

5、tRRRC及RL電路的過渡過程 第3頁共15頁uR=iR=-Ue-tt=-Ue-tRC上面式中的負號表示放電電流和電阻電壓的實際方向與圖（1）中的參考方向相反。在圖（3）中畫出了uC,uR和i隨時間的變化曲線，從中可以清楚地看出三者之間的關系，從能量關系上講，RC電路的放電過程實際上是電容C的電場能量轉換為電阻上的熱能的過程。到達穩態后，電容上的電場能量全部轉化為電阻上的熱能。這個關系可證明如下：電容原來儲存的電場能量為uC=1CU2 22在整個放電過程中，電阻上消耗的熱能為wR=iRdt=020U2-RCtdtR2tRCU2-RC1=-e=CU2=wc2R02 圖（3） uC,uR和i隨時間

6、的變化曲線放電過程的快慢以時間常數t=RC為標志，C越大，表示儲存的電場能量越大；R越大，表示放電電流越小，這都使放電變慢。所以，改變電路中R或C的數值，就可改變電路的時間常數，從而改變電容放電的快慢。212 RC電路的充電過程圖（1）中，當開關K合向位置2時，RC串聯電路即與直流電源U接通，電源通過電阻R向電容C充電。這實際上就是圖（4）的電路。下面討論RC充電電路的過渡過程。選t=0時換路，則t0時電路的微分方程為duC+uC （3） dtdu式中 i=CC dtU=iR+uC=RC式（3）是一個一階、線性、常系數、非齊次微分方程，它的通解由它的一個特解uC及對應的齊次微分方程的通解uC組

7、成。特解uC與方程中的已知函數U（即電源電壓）有相同的形式，設uC=K,代入式（3）得U=RC圖（4） RC充電電路 dK+K dt故 K=U因而得到方程的特解 uC=URC及RL電路的過渡過程 第4頁共15頁實際上它就是微分方程中待求函數uC的穩態值。因為穩態就是過渡過程在t=時的情況，所以穩態解必定是該微分方程的一個特解。參看圖（4），穩態時電容相當于斷路，根據基爾霍夫電壓定律，電容上的穩態電壓等于電源電壓U。式（3）對應的齊次微分方程就是式（1），其通解記為uC，則有uC=Ae因此微分方程（3）的通解為 -tRCuC=uC+uC=U+Ae121 零狀態 -tRC （4） 下一步是根據初始

8、條件定積分常數A。下面分兩種情況來討論。3若換路瞬間t=0-時電路中的所有儲能元件均沒有儲存能量，即電路中電容電壓和電感電流均為零（初始條件為零），則稱電路為零狀態。在RC電路充電過程中，零狀態就是uC(0-)=0。按照換路定律，有uC(0+)=uC(0-)=0將它代入通解式（4）中，得uC(0+)=U+Ae故 A=-U最后得到微分方程（3）的解為 -0RC=U+A=0 圖（5） RC充電電路中uC隨時間的變化曲線uC=U-Ue-tRCtt-=U1-eRC=U1-et （5）在圖（5）中畫出了電容的充電電壓uC隨時間的變化曲線，其中uC是恒定的，uC按指數規律衰減至零，uC則按指數規律增長而最

9、終趨于穩態值。當t=t時1uC=U(1-e-1)=U1-=63.2%U 2.718電容充電的過渡過程中電容上的電壓uC由兩個分量組成，如式（5）所示，其中uC為穩態分量，即到達穩定狀態時的電壓，它相當于微分方程的特解，與輸入函數（電源電壓）有相同的形式，故又稱強制分量；uC為暫態分量，它只在過渡過程中存在，隨時間按指數規律衰減，最終衰減到零。暫態分量的衰減規律只與R和C有關，而與電源無關，但它的大小則與電源電壓有關。暫態分量相當于對應的齊次微分 4RC及RL電路的過渡過程 第5頁共15頁 方程的通解，有時又稱為自由分量。4RC充電過程中的電流按下式求出duCU-tt=e i=CdtR電阻上的電

10、壓為UR=iR=Ue-tt將uC,uR和i隨時間的變化曲線畫在一起，如圖（6）所示。122 非零狀態若在換路瞬間t=0-時，電路中的儲能元件已儲有能量，即已有電容電壓或電感電流（初始條件不為零），則稱電路處于非零狀態。在RC電路充電過程中，非零狀態就是uC(0-)有非零值，設uC(0-)=U0，按照換路定律，有uC(0+)=uC(0-)=U0將它代入通解式（4）中，得uC(0+)=U+Ae-0RC圖（6）uC,uR和i隨時間的變化曲線 (a)u0u時 圖（7）uC隨時間的變化曲線=U+A=U0故 A=U0-U微分方程的解為uC=U+(U0-U)e-tRC=U+(U0-U)e （6） -t它也是

11、由穩態分量和暫態分量組合而成。圖（7）畫出了uC隨時間變化的曲線。當U0U時， uC由初始值U0逐漸衰減到穩態值，這是一個放電過程，如圖（7）（b）所示。電路的電流duCU-U0-tt=e i=CdtR可見，U0U時i為負，即兩種情況下電路中電流的方向相反，它們分別為充電電流和放電電流。RC及RL電路的過渡過程 第6頁共15頁電阻上的電壓uR=iR=(U0-U)e-t討論了RC串聯電路的過渡過程后，可以歸納出解線性電路過渡過程的一般步驟：5（1）列出換路后的電路的微分方程；（2）求微分方程的特解，即穩態分量；（3）求對應的齊次微分方程的通解，即暫態分量；（4）按換路定律確定過渡過程的初始值，定

12、出積分常數。例1： 如圖（4）所示RC電路中，U=100V,R=50W,C=0.2mF,電容原無儲能。在t=0時合開關K，求：（1）電路的時間常數，（2）電容上的電壓uC和電流i，（3）最大充電電流，（4）開關合上后20ms時的uC和i，（5）電容電壓充到95V所需時間。解：（1）該RC電路的時間常數t=RC=500.210-6=1010-6s=10ms（2）電容上的電壓t-t uC=U1-e-105t=100(1-e)V 電路電流5U-tt100-105te=2e-10tA i=e=R50（3）開關K剛合上時，即t=0+時，電容電壓uC（0+）=uC（0-）=0，這時電源電壓全部降落在電阻R

13、上，電路的電流i(0+)=U100=2A R506RC及RL電路的過渡過程 第7頁共15頁 為最大充電電流，此后該電流按時間常數t逐漸衰落到零。（4）合上開關后20ms時，即t=20ms=2010-6s時uC=100(1-e-102010)=100(1-e-2)=86.5Vi=2e-2=0.27A（5）設t=t1時uC=95V，即UC(t1)=U(1-e故 e-105tt15-6-t1t)=100(1-e-105t1)=95 95=0.05 100-1n0.05-5=310s=30ms t1=510即電容電壓充到95V所需時間為30ms。2 RL電路的過渡過程 =1-21 RL 電路的短接如圖

14、（8）所示，開關K原在打開位置，電路已處于穩定狀態，這時電感中的電流I0=U R+R圖（8）RL電路的短接 圖（9）i,uL,uR隨時間的變化曲線這也是電感電流的初始條件。合上開關后，電路的微分方程為Ldi+Ri=0 dtR-tL這是一個齊次微分方程，它只有暫態分量，即 i=Ae按照換路定律，電感電流不能躍變，即i(0+)=i(0-)=I0故得 A=I0于是有 i=I0e電感上的電壓t-diuL=L=-RI0et dtR-tL=I0et （7） -t電阻上的電壓為RC及RL電路的過渡過程 第8頁共15頁uR=Ri=RI0et電感電壓與電流的變化率成正比，電阻電壓與電流成正比，在RL串聯電路短接

15、后的任一時刻，兩者的數值相等而方向相反。電流i和電壓uL,uR隨時間的變化曲線如圖（9）所示。從能量觀點看，RL串聯電路短接后，電感中原來儲存的磁場能量WL=-t12LI0逐漸轉換為電阻中的熱2能而消耗掉。這個過程的時間常數t與電感L成正比，與電阻R成反比。電感L越大，電感中儲存的磁場能量越多，能量轉換的時間就越長，即t越大；電阻越大，在同樣電流的條件下，電阻消耗的能量就越多，能量轉換的時間就越短，即t越小。而在RC串聯電路中，電阻對時間常數的作用正好相反，R越大，t越大。這是因為電容中儲存的電場能量WC=1CuC2,而在電壓uC相同的條件下，電阻越大，電阻消耗的能2量就越小，因而能量轉換的時

16、間就越長，即t越大。622 RL電路接通直流電壓源如圖（10）就相當于這種情況，根據基爾霍夫電壓定律，有Ldi+Ri=u （8） dt這是一個一階、線性、常系數、非齊次微分方程，它的解是i=i+i這時微分方程（8）的穩態分量i=其通解為U R 圖（10）RL電路t-U+i+Ate （9） i=iR若換路前電感中沒有電流，即i(0-)=0，按照換路定律，有i(0+)=i(0-)=0，代入上面的通解中，得 A=-U Rt-UU-ttU故 i=-e=1-etRRR （10）電感和電阻上的電壓分別為-diUL=L=Uet dtt-uR=Ri=U1-ett 8RC及RL電路的過渡過程 第9頁共15頁圖（

17、11）i,uL,uR隨時間變化的曲線 圖（12）非零狀態的RL電路圖（11）畫出了電流i和電壓uL,uR隨時間變化的曲線。從能量觀點看，RL電路在零狀態下接通直流電源后，電感電流由零增至穩態值2U，電感中的磁場能R121U量WC=Li亦由零增至穩態值L，而電阻R在過程中總是吸收電能的，這兩部分能量均由直流22R電源提供。7若換路前電感中已有電流，如圖（12）所示，這是一個非零狀態的問題。換路前電流i(0-)=I0=U R0+R在t=o時開關閉合，即成為一個RL接直流電源的電路。這時，微分方程的通解仍為式（9）。由初始條件i(0+)=i(0-)=I0，代入通解，得A=I0-所以 U RtUU-R

18、Li=+(I0-)e RR23 RL電路接通正弦交流電源這時的電路仍如圖（10）所示，其中電壓變為u(t)Umsin(wt+yu),電路在t=0時接通，yu為接通電路時電源電壓的初相角，又稱為接入相位角。電路接通后，電路的微分方程為Ri+Ldi=Umsin(wt+yu) dtR-tL其通解i=i+i，其中i為對應的齊次方程的通解，形式仍為Ae，而i應為上面方程的特解，其形式應與電源電壓函數的形式相同。8 可以設定i的表示式，然后用待定常數的方法求得i。從電路上講，i就是電路電流的穩態分量（強制分量），因此可以通過相量法寫出，即為RC及RL電路的過渡過程 第10頁共15頁i=wt+yu-tg-1

19、wLR)=Umsin(wt+yu-j) ZR-tL因而電路電流的通解為 i=i+i=Ae+Umsin(vt+ym-j) Z若電感中原來沒有電流，即i(0-)=0，按照換路定律，i(0+)=i(0-)=0，代入上式，得Umsin(yu-j) ZU故 A=-msin(yu-j) Z 0=A+最后得到電路電流R-tUmUmi=sin(wt+yu-j)-sin(yu-j)eL ZZt-UmUmsin(wt+yu-j)-sin(yu-j)et （11） =ZZ其中時間常數 t=電感上的電壓uL=LL Rdi dtt-pwLRt=Umsinwt+yu-j+Umsin(yu-j)e 2ZZ電阻上的電壓uR=

20、Rit-RUmRUmsin(wt+yu-j)-sin(yu-j)et =ZZ從i、uL、uR的表示式可以看到，電流和電壓的穩態分量（強制分量）與電源電壓有相似的正弦規律。電流、電壓的暫態分量（自由分量）則按同一指數規律衰減，而且這些分量前面的系數與正弦電壓的接入相位角有關，即與開關合上的時刻有關。若在開關合上時，yu=j，則A=-這時，i=010 Umsin(yu-j)=0 ZRC及RL電路的過渡過程 第11頁共15頁故 i=i=Umsin(wt) Z即開關合上后不發生過渡過程，立即進入穩態。其電流波形見圖（13）（a）(a)fu=j時 (b)fu=j-p2時圖（13）RL電路接正弦交流電源時

21、的電流波形若在開關合上時，yu=j A=-p2，則UmUpsin(yu-j)=-msin ZZ2UmZ=mU-這時，i=mmetZtUpU-故 i=msinwtmmetZ2Z在這種情況下開關合上后的暫態分量（自由分量）最大。圖（13）（b）畫出了yu=j-tp2時的電流波形。可見，RL電路接通交流電源，電路過渡過程不僅與電源電壓u和電阻R、電感L有關，還與開關動作的時刻，即接入相位角有關9。這一現象是RL電路接通直流電源時所沒有的。RC電路接通正弦電源也可類似計算。在有損耗的無電源一階電路和直流一階電路中，電路中的電流、電壓都是隨時間按指數規律變化的，從初始值逐漸增長或衰減到穩態值，而且同一電

22、路各元件電流、電壓變化的時間常數都相同。因此在過渡過程中，電路各部分的電流或電壓均由初始值、穩態值和時間常數三個要素確定。10若以f()表示穩態值，f(0+)表示初始值，電路的時間常數為t，則電流和電壓的一般表示式為tf(t)=f()+f(0+)-f()e （12）-t這就是分析一階線性電路過渡過程中電壓電流的一般公式。只要計算出初始值f(0+)，穩態f()和時間常數t三個要素，按式（12）就可直接寫出結果。因此這一方法稱為一階電路分析的三要素法11。RC及RL電路的過渡過程 第12頁共15頁例如對RL電路的短接過程，若用三要素法分析，可先求初始值i(0+)=I0，穩態值i()=0，和電路的時

23、間常數t=L，然后直接寫出電路電流的表達式 RR-tL i=0+I0-0e=I0eR-tL上式就是解電路的微分方程所得到的電路電流式（7）。又如對RL電路在零狀態下接直流電壓源的過渡過程，其初始電流i(0+)=0，穩態電流i()=UL,時間常數t=,用三要素法可直接寫出 RRRt-tUU-RU i=+0-eL=1-eL RRR這一結果與式(10)相同。例2：圖（14）中，L、R分別是發電機勵磁繞組的電感和電阻，Rf為勵磁調節電阻。正常運行時，開關在位置1，直流壓源U通過電阻Rf向勵磁繞組提供直流電流，從而建立勵磁磁場。當不需要圖（14）例（2）電路勵磁磁場時，開關從位置1斷開，因為勵磁繞組電感

24、L很大，儲存的磁場能量很強，為了不燒壞開關的觸頭，在開關從位置1斷開的同時接到位置2，使放電電阻R與勵磁繞組連接。經過一段時間后，再將開關板到位置3，使電路完全斷開。現已知U=300V,L=20H,R=100W,Rf=50W,R=200W，電機原在穩態運行，在t=0時開關斷開電源并與R接通，求：（1）開關接通R的瞬間繞組電壓uRL；（2）開關接通R后多長時間繞組電流衰減到原穩態電流的5%？（3）寫出勵磁繞組電壓uRL隨時間變化的表示式。解 原來穩定運行時，勵磁繞組電流I=U300=2A R+Rf100+50這也是換路前一瞬間t=0-時電感電流的初始狀態。（1）按照換路定律，開關接通R的瞬間電感

25、電流不能躍變，即i(0+)=i(0-)=I=2A,這時勵磁繞組上的電壓等于電阻R和Rf上電壓降之和，其數值為uRL(0+)=i(0+)(R+Rf)=2(200+50)=500V（2）換路后（即t0時）的電路為電阻電感的短接狀態，按式（7），電路電流可寫為RC及RL電路的過渡過程 第13頁共15頁i=i(0+)e=2e-17.5t-R+Rf+RLt=2e-100+50+200t20 A設繞組電流衰減到原穩態電流I=2A的5%的時間為t0，則有2e-17.5t0=25%故得 t0=這時的磁場能量為 1n0.05=0.1712s -17.51211Li(t0)=L(0.05I)2=0.25%LI2

26、222即只有原儲存能量的0.25%。（3）在整個短接過程中，勵磁繞組電壓uRL等于電阻R和Rf上電壓之和uRL=(R+Rf)i=(200+50)2e-17.5t=500e-17.5tV例3：圖（15）電路中開關K在t=0時閉合，求t0時的uC和uR。已知初始狀態uC(0-)=0,U=10V,C=0.01mF,R=20kW,R=20kW。解 這是一個接直流電壓源的一階電路，可用三要素法求解。（1）確定初始值根據換路定律uC(0+)=uC(0-)=0.（2）確定穩態值穩態時，電容相當于開路，故有 圖（15）例（3）電路UR1020103=5V uC()=33R+R2010+2010（3）確定時間常

27、數按換路后的電路，求出從儲能元件電容兩端看進去的等效電阻R0，有RR20103201033R0=1010W=10kW 33R+R2010+2010因而電路的時間常數t=R0C=101030.0110-6=10-4sRC及RL電路的過渡過程 第14頁共15頁于是可直接寫出uC的表示式UC=5+(0-5)e由基爾霍夫電壓定律 t-410=5-5e-104tVuR=U-uC=10-(5-5e-104t)=5+5e-104tV當然，求uR時也可用三要素法直接寫出表達式。3小結RC及RL電路的過渡過程基本原理基于換路定理，本文運用KVL,KCL等基本理論，以數學微分方程為手段分析了RC及RL電路的各種輸

28、入及響應關系。其目的是為了在實際生產生活中更加充分利用過渡過程特性的有利一面，同時也預防它所產生的危害。參考文獻：1姚海彬，電工技術，北京，高等教育出版社，2004年第2版。2沈元隆，劉陳，電路分析，北京，人民郵電出版社，2004年第2版。3李益民，電路基礎，成都，西南交通大學出版社，2001年第2版。4呂慶榮，于曉明，王潤卿，電氣識圖，北京，化學工業出版社，1979年第1版。5趙鶴鳴，周旭東，電路分析基礎，蘇州，蘇州大學出版社，2005年第1版。6葉挺秀，張伯堯，電工電子學，北京，高等教育出版社，1994年第1版。7周守昌，電路原理，北京，高等教育出版社，2001年第1版。8郭木森，電工學，北京，高等教育出版社，2001年第3版。9邱關源，電工基礎，北京，高等教育出版社，1965年第1版。10Hagt, W.H, kem