1、2021年普通高等學校招生全國統一考試浙江卷數 學理科選擇題局部共50分、選擇題：本大題共 10小題，每題5分，共50分.在每題給出的四個選項中，只有項是符合題目要求的.1 .設集合 A= x|1 V xv 4, B= x| x 2 2x 3 < 0，貝V AA (C rB)=D. (1, 2)A. (1, 4)B. (3, 4)C. (1, 3)【解析】A= (1, 4), B= ( 3, 1)，那么 AA (C rB)= (1, 4).【答案】A2 .i是虛數單位，那么HA. 1 2iB. 2 iC. 2+ iD. 1 + 2i【解析】3+i3+i 1+i2婕=1 + 2i.2【答案

2、】3 .設 aR,那么“ a = 1是“直線li： ax+ 2y 1 = 0 與直線 I2： x+ (a+ 1)y+ 4= 0 平行的A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】當a= 1時,直線I1：x+ 2y 1 = 0與直線I2 : x+ 2y+ 4= 0顯然平行；假設直線I1與直線I2平行，那么有:a_2_1 a 1，解之得：a= 1 or a= - 2.所以為充分不必要條件.【答案】A4.把函數y= cos2x + 1的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍縱坐標不變,然后向左平移1個單位長度，再向下平移 1個單位長度，得到的圖像是得：yi=

3、 cosx+ 1,向左平移1個單位長度得：y2= cos(x1)+ 1，再向下平移1個單位長度得：y3= cos(x 1).令 x= 0,得：y3>0； x= 1，得：y3 = 0;觀察即得答案.【答案】B5 .設a, b是兩個非零向量.A. 假設 |a + b| = |a| - | b|，貝U a 丄 bB. 假設 a丄b,那么 |a+ b| = |a| -|b|C. 假設| a+ b| = | a| - | b|，那么存在實數 入使得a = ?bD. 假設存在實數 人使得a= ?b，那么| a + b| = | a| -1 b|【解析】禾U用排除法可得選項 C是正確的，T |a +

4、b| = |a| - |b|，貝U a, b共線，即存 在實數入使得a = b 如選項A： |a + b| = | a| - | b|時，a, b可為異向的共線向量；選項 B： 假設a丄b，由正方形得|a + b| =|a| - |b|不成立；選項 D：假設存在實數 人使得a = Ab, b可為同向的共線向量，此時顯然| a+ b| = | a| - | b|不成立.【答案】C.假設從1, 2, 2，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，那么不同的取法 共有A. 60 種B. 63 種C. 65 種D. 66 種【解析】1, 2, 2，9這9個整數中有5個奇數，4個偶數.要想同時取 4

5、個不同的 數其和為偶數，那么取法有：4個都是偶數：1種；2個偶數，2個奇數：C；C：60種;4個都是奇數：C55種.不同的取法共有 66種.【答案】D7. 設S n是公差為d(d工0)的無窮等差數列a n的前n項和，那么以下命題錯誤的選項是.A. 假設dv 0,那么數列Sn有最大項B. 假設數列Sn有最大項，那么dv 0C. 假設數列Sn是遞增數列，那么對任意的n N*，均有Sn > 0D. 假設對任意的n N*，均有Sn> 0，那么數列Sn是遞增數列【解析】選項C顯然是錯的，舉出反例：一 1, 0, 1 , 2, 3,.滿足數列Sn是遞增數 列，但是S n> 0不成立.【答

6、案】C2&如圖，F1, F2分別是雙曲線 C:%1 (a, b > 0)的左右焦點，B是虛軸的端點，直線bF1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點，線段設| MF2| = I F1F2I，那么C的離心率是B.雖2D.3A. 3C.2PQ的垂直平分線與 x軸交于點M .假【解析】如圖：| OB| = b, |O Fj = c.直線PQ為：y=b (x+ c)，兩條漸近線為:cby= x .aby= (x+ c)cby=- xa，得：Qacc abc ca)；b y= (x+ c) 由 c b y=x a得:bc匹).直線MN c a為:bcy _c ab,ac(x-c c a),令

7、 y= 0 得：xm =3c2 2c a.又3| MF2| | F1F2| 2c, 3c= xm _2 ,解之得：e2c a2 ca a即e=【答案】B9 .設 a > 0, b > 0【解析】假設2a 2a 2b 3b，必有2a2a 2b 2b .構造函數:f x2x 2x，那么A.假設2a2a2b3b，那么 a> bB.假設2a2a2b3b，貝U av bC.假設2a2a2b3b，那么 a> bD.假設2a2a2b3b，那么 av bf x 2x ln2 2 0恒成立，故有函數f x 2x 2x在x>0上單調遞增，即a> b成立.其 余選項用同樣方法排除

8、.【答案】A10 .矩形 ABCD, AB= 1, BC= 、2 .將ABD沿矩形的對角線 BD所在的直線進行翻著,第】1題圖在翻著過程中,使得直線AC與直線BD垂直使得直線AB與直線CD垂直使得直線AD與直線BC垂直:直線“AC 與 BD “AB與CD “ AD與BC均不垂直A .存在某個位置,B.存在某個位置,C.存在某個位置,D.對任意位置，三【解析】最簡單的方法是取一長方形動手按照其要求進行翻著，觀察在翻著過程，即可 知選項C是正確的.【答案】C非選擇題局部共100分二、填空題：本大題共 7小題，每題4分，共28分.11.某三棱錐的三視圖 單位：cm如下列圖，那么該三棱錐的體積等于 c

9、m3.【解析】觀察三視圖知該三棱錐的底面為一直角三角 形，右側面也是一直角三角形.故體積等于113 1 21 .2 3【答案】112 假設程序框圖如下列圖，那么該程序運行后輸出的值是T112161241120i23456【解析】T，i關系如以下列圖:【答案】丄12013. 設公比為qq>0的等比數列a n的前n項和為Sn.假設S2 3a22 , S4 3a42，貝q =.【解析】將S2 3a2 2 , S4 3a4 2兩個式子全部轉化成用第12題圖印,q表示的式子.即 121?33，兩式作差得：a1q2 ag3 3ag(q2 1), 即: 2q2 q 3 0 ,ai aiq ag3ag

10、23解之得：q - or q1(舍去).23【答案】3214. 假設將函數f x x5表示為25f xa1 1 x a2 1 x a5 1 x其中a0 , a1 , a2，a5為實數，那么a3 = 【解析】法一:由等式兩邊對應項系數相等.a51即：C>5a40a310 .C5 a5C4 a4a30法二:對等式：f5x xa02a1 1 xa> 1 x5a5 1 x兩邊連續對x求導三次得260x6as24a4(1x) 60a5(12x，再運用賦值法，令x 1 得：60 6as,即 as 10 .【答案】1015. 在 ABC中，M 是 BC 的中點，AM = 3, BC= 10,貝U

11、 AB AC =【解析】此題最適合的方法是特例法.假設 ABC是以AB= AC的等腰三角形，如圖，AM = 3, BC= 10, AB= AC=34 .cos/ BAC= "q3；'0 I9 . AB AC = AB |AC cos BAC 29【答案】29y= x 2+ a到直線l: y= x的距離等于C2： x 2+ (y+ 4)2 = 2 到直線l: y= x的距離,那么實數a =【解析】C2 : x 2 + (y + 4) 2 = 2，圓心(0， 4)，圓心到直線l: y= x的距離為:d " ( 4)2 2，故曲線C2到直線I:y= x的距離為d d r

12、d另一方面：曲線Ci:y = x 2+ a，令 y12x °,得：x ?，曲線C1:y= x 2 + a到直線l:y = x的距離的點為(2,4a)，d 212-214.216定義：曲線C上的點到直線I的距離的最小值稱為曲線 C到直線l的距離.曲線C1:【答案】-417.設 a R,假設 x> 0 時均有(a 1)x 1( x 2 ax 1) >0，貝V a =【解析】此題按照一般思路，那么可分為一下兩種情況:(A)(a1)x1 x2 ax1無解;(a 1)x1 0(B) x2 ax-10無解.因為受到經驗的影響， 會認為此題可能是錯題或者解不出此題.其實在x> 0

13、的整個區間上,我們可以將其分成兩個區間 (為什么是兩個？),在各自的區間內恒正或恒負.(如下答圖)我們知道：函數 y1 = (a 1)x 1, y2 = x 2 ax 1都過定點P(0, 1).1考查函數y1 = (a 1)x 1：令y= 0，得M( , 0),還可分析得: a 1考查函數y2= x 2 ax 1:顯然過點 M(L , 0)，代入得：a> 1;210，解之得：a 2，舍去a 2，得答案：a 2 .【答案】a ,2三、解答題：本大題共5小題，共72分，解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.218.(本小題總分值 14分)在 ABC中，內角A, B, C的對邊分別為 a ,

14、 b, c.cosA=,3sinB= .5cosC.(I )求tanC的值;(H )假設a =2，求 ABC的面積.【解析】此題主要考察三角恒等變換， 正弦定理，余弦定理及三角形面積求法等知識點。(I 廠 C0SA= 3 > 0冊-0又 5 cosC= sinB= sin(A+ C) = sinAcosC+ sinCcosA52cosC+ 一 si nC.3整理得：tanC= . 5 .(H )由圖輔助三角形知:又由正弦定理知：故 c .3 .(1)sinC=a csin A sinC對角A運用余弦定理:cosA=2bc解得：b 3 orb=中舍去). ABC的面積為：S=5 .2【答案

15、】(I)5 ； (n )5 .219.(本小題總分值14分)箱中裝有 4個白球和5個黑球，且規定：取出一個白球的2分，取出一個黑球的 1分現從該箱中任取(無放回，且每球取到的時機均等 )3個球,記隨機變量X為取出3球所得分數之和.(I )求X的分布列;(n)求X的數學期望曰X).【解析】此題主要考察分布列，數學期望等知識點。(I ) X的可能取值有:P(X 3)|C9P(X 5)晉C93, 4,542 ；1542 ；6.P(XP(Xc2c44)C93c：6)C4C92042242故，所求X的分布列為X3456P520101552142422142144221(n)所求X的數學期望E(X)為:6

16、91E(X)=i P(X i)i 421【答案】(i)見解析；(n)91.20.(本小題總分值15分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面是邊長為2 3的菱形，且/ BAD=120°且PA丄平面ABCD, PA= 2恵,M , N分別為PB, PD的中點.(I )證明：MN / 平面 ABCD;(n )過點A作AQ丄PC,垂足為點 Q,求二面角 A MN Q的平面角的余弦值.又MN 平面ABCD, MN / 平面 ABCD(n)如圖建系：A(0, 0, 0), P(0, 0, 2 6), M( , 3 , 0),2 2N( .3 , 0, 0), C( 3 , 3, 0).設 Q(x,

17、y, z),貝U CQ (x ,3, y 3, z), CP (、3, 3,2 .6)./ CQCP ( <3 ,3 ,2 6 ) , Q( 33 , 2 6).由OQCPOQ CP 0 ,得:即:2 3Q(W, 2,對于平面AMN :設其法向量為 n (a, b ,c).I , 0) , AN=G3, 0 , 0).那么AMAN n 0J3 一a23a 03b3130詩，3 , 0).同理對于平面AMN得其法向量為(、3,6).記所求二面角AMNQ的平面角大小為 ，那么cosn v 削nl V 5所求二面角 AMNQ的平面角的余弦值為105【答案】(I )見解析;2 2X y(本小題總

18、分值 15分)如圖，橢圓 C:飛+ 2 1 (a>ba b> 0)的離心率為 丄，其左焦點到點P(2 , 1)的距離為210 .不過原點 O的直線I與C相交于A , B兩點，且線段AB被直線OP平分.(I )求橢圓C的方程；(n)求 abp的面積取最大時直線I的方程.【解析】(I)由題:12 ； (1)左焦點(-c.0)到點P(2,1)的距離為：d . (2 c)* 2 12. 10 .(2)由(1)可解得：a24,b23, c所求橢圓C的方程為:2 2x_+y_4(n)易得直線op的方程:1A(XA，yA，B(XB，yB)，R(X0, y0).其中 y0= 2X0. A, B在橢

19、圓上,2 2Xa i 討a432 2 XbyB+ 43yBXaXb3 XaXb4 討ayB3 2Xq4蕩設直線AB的方程為m (m 0),2 2代入橢圓：4 33 y= x23x23mx m23顯然 (3m)24 3(m23)3(12m2)0 .-12 v mv 12 且 m 0.由上又有:XaXb = m,科A yB =m233I AB| =1 kAB | XaXB | =1kAB '：1'(XaXB)4xaXb =點 P(2,1)到直線I的距離為:31 mr.；1kAB433mabp= 1d| AB| = 1|m + 2|當 1 m + 2| = 4 ，即 m=-m23or

20、m = 0(舍去)時，(S1ABF)max= 222.(本小題總分值 14分)a>0, b R,函數f x4ax3 2bx a b .(I )證明：當0w xw 1時,(i )函數f x的最大值為|2a b| + a;(ii) f x + |2 a b| + a> 0;(n )假設-1 w f x w 1對x 0, 1恒成立，求a + b的取值范圍.【解析】此題主要考察不等式，導數,單調性，線性規劃等知識點及綜合運用能力。(I )2(i ) f x 12ax 2b .當 bw 0 時，f x 12ax22b > 0在0w xw 1上恒成立,此時f x的最大值為:1 4a 2b a b 3a b = |2 a b| + a;當 b> 0 時，f x 12ax22b在0w xw 1上的正負性不能判斷,此時f x的最大值為:fmax x max f (0), f(1 b a, bmax( b a), (3a b)' 2a = |2