1、精選優質文檔-傾情為你奉上矩陣A的m重伴隨矩陣的性質 數學系 01數本 程清妹 指導老師：楊忠鵬摘要本文定義了矩陣的重伴隨矩陣，并利用已有的理論成果，對的性質進行推廣，主要討論了的行列式、秩、轉置和逆矩陣與的關系，及為特殊陣與為特殊陣之間的聯系，發現的重伴隨矩陣的性質與的性質很相似.關鍵詞矩陣；伴隨矩陣；秩；特征值；數學歸納法0引言設是階方陣，的伴隨矩陣定義如下定義1設是階方陣的元素的代數余子式，則階方陣，其中，稱為的伴隨矩陣本文推廣了這一定義，給出了的重伴隨矩陣的概念定義2設為階方陣，稱階方陣為的重伴隨矩陣，記為, 特別地，引理設為階方陣，則秩證明：（1）當秩，即可逆時，由于，故也是可逆的，

2、即秩；（2）當秩時，有，于是，從而秩；又因為秩，所以至少有一個代數余子式，從而又有秩，于是秩（3）當引理設為階方陣，則有證明：（1）當時，由引理1知秩，如果，由引理1知秩，因此如果，令也有（2）當時，則也，則，于是主要結果命題1.1當時，秩當>2時，秩證明：當>時由引理1知，秩 所以秩秩 當時 設，則， 所以因此秩秩命題得證命題1.2設為階方陣（），證明：（1）因為當，時 從而得到關于的指數的一個數列，且 由數列的性質得到通項公式，則同理可證，當， 從而得到關于的指數的一個數列，且 由數列性質得到通項公式，則（2）用數學歸納法證明結論 當，時，取，有，則，等式成立設時，等式成立，即

3、當時， = 等式成立綜上所述，當，有同理可證，當，有命題得證命題1.3證明：若，由引理1知，當時，則有若， 即時，有命題1.4可逆時，有=證明：（數學歸納法）當時，等式成立設時，當時，綜上所述，當時，有又由1.2知，命題得證命題1.5證明：由數學歸納法和1.2即可證得命題1.6若是冪等陣，則也是冪等陣。證明：因為，所以或 若，由引理1知，則 若，可逆，則，即，所以 命題得證命題1.7若是對合陣，則也是對合陣。反之也成立證明：由，得或，且由1.2知，當時，由知， 當時，由知所以，當時，有 反之，若，則或=，且 由1.2知，或， 由1.4，當時， 所以，由知，即同理可證，當時，因此，當，時，有命題

4、得證命題1.8若是正定陣，則也是正定陣，反之為正定陣，且為偶數，可逆時，為正定陣證明：若正定，則，有因為，又由，正定，得正定同理可證，正定，以此類推，正定 反之，若正定，有正定因為，當為偶數時，有為奇數，則由1.2知，當時，正定，所以為正定陣同理可證，當時，也是正定陣命題得證命題1.9若是正交陣，則是正交陣。反之也成立證明：由已知得，且或 當時，由1.5知由1.4知， 由上述可得時，有，即為正交陣若， 當， ，由，知同理可證，當時，有 所以，有，即為正交陣綜上所述，若是正交陣，則是正交陣 反之，若，且或，則由1.2知或由1.5知，當時， 得，由知，即同理可證，當時，綜上所述，當時，有命題得證命

5、題1.10 設是階方陣（），若是冪零陣，則是冪零陣證明： 由，得或秩（1）若，則（2）若秩，由1.1知，當時，秩，則當時，有 所以，當，有命題1.11若是對稱陣，則也是對稱。反之是對稱陣，且是可逆的，則是對稱陣證明：運用1.2即可得到命題1.12若為反對稱陣，當為奇數時，為對稱陣；當為偶數時，為反對稱證明：運用1.2即可得到結束語：本文得出的重伴隨矩陣的一些性質與的關系，使的重伴隨矩陣的性質簡單化，望以后能進一步探論的重伴隨矩陣的其它性質。參考文獻:北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組. 高等代數.第2版.M 高等教育出版社.1978.(176-207)楊子胥. 高等代數習題解.第2版.M

6、山東科學技術出版社.2003.(522-540)姜家輝. 矩陣理論基.第1版.M大連理工大學出版社.1995.(17-19)劉敏捷. 重伴隨矩陣的若干性質.J 廣西大學梧州分校學報.2003.第13卷第1期.金輝. 伴隨矩陣的若干性質探討.J 數學理論與應用. 2005.第25卷第1期.高養恩吳云天馬菊俠. 關于伴隨矩陣的有關問題.J 榆林高等專科學校學報.2002.第12卷.第4期.AbtractThe paper sets times accompany is , uses theory result to expand the property of ,and discusses the relation between its determinant 、matrix rank、adjugate matrix、conversely matrix and .Find that the property of is rather similar to s.Key words: matrix; adjoint matrix; matrix rank;eigenvalue; mathematical induction致 謝:為期一個多月的畢業