1、第一章 勾股定理回顧與思考一、學(xué)生起點分析通過前面三節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了勾股定理及逆定理的知識，并能應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實際問題，因而學(xué)生已經(jīng)具備解決本課問題所需的知識基礎(chǔ)和活動經(jīng)驗基礎(chǔ)同時在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過程，具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，具備了一定的合作與交流的能力八年級學(xué)生已初步具有幾何圖形的觀察，幾何證明的理論思維能力他們希望老師創(chuàng)設(shè)便于他們進(jìn)行觀察的幾何環(huán)境，給他們發(fā)表自己見解和表現(xiàn)自己才華的機(jī)會，希望老師滿足他們的創(chuàng)造愿望，讓他們實際操作，使他們獲得施展自己創(chuàng)造才能的機(jī)會但對于勾股定理的綜合應(yīng)用，還需要學(xué)生具備一定的分析、歸納的思

2、維方法和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想意識，但學(xué)生在這一方面的可預(yù)見性和耐挫折能力并不是很成熟，可能部分同學(xué)會有一些困難二、教學(xué)任務(wù)分析勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來，理論上占有重要的地位，它有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起過重要的作用，在現(xiàn)實世界中也有著廣泛的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用蘊(yùn)含著豐富的文化價值勾股定理也是后續(xù)有關(guān)幾何度量運(yùn)算和代數(shù)學(xué)習(xí)必要的基礎(chǔ)，具有學(xué)科的基礎(chǔ)性與廣泛的應(yīng)用本課時教學(xué)是復(fù)習(xí)課，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成與應(yīng)用過程，鼓勵學(xué)生自主探索與合作交流，以學(xué)生自主探索為主，并強(qiáng)調(diào)同桌之間的合作與交流，強(qiáng)化應(yīng)用意識，培養(yǎng)學(xué)生多方

3、面的能力讓學(xué)生通過動手、動腦、動口自主探索，感受數(shù)學(xué)的美，以提高學(xué)習(xí)興趣為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：讓學(xué)生回顧本章的知識，同時重溫這些知識尤其是勾股定理的獲得和驗證的過程，體會勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用在回顧與思考的過程中，提高解決問題，反思問題的能力在反思和交流的過程中，體驗學(xué)習(xí)帶來的無盡的樂趣通過對勾股定理歷史的再認(rèn)識，培養(yǎng)愛國主義精神，體驗科學(xué)給人來帶來的力量三、教學(xué)過程設(shè)計本節(jié)課設(shè)計了六個環(huán)節(jié)第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：知識結(jié)構(gòu)梳理；第三環(huán)節(jié)：合作探究；第四環(huán)節(jié)：拓展提升；第五環(huán)節(jié)：交流小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)第一環(huán)節(jié) 情境引入勾股定理，我們把它稱為世界第一定理它的重要性，通過這一章

4、的學(xué)習(xí)已深有體驗，首先，勾股定理是數(shù)形結(jié)合的最典型的代表；其次，了解勾股定理歷史的同學(xué)知道，正是由于勾股定理得發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)，這一點，我們將在實數(shù)一章里講到，第三，勾股定理中的公式是第一個不定方程，有許許多多的數(shù)滿足這個方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最為著名的就是費(fèi)馬大定理，直到1995年，數(shù)學(xué)家懷爾斯才將它證明勾股定理是我們數(shù)學(xué)史的奇跡，我們已經(jīng)比較完整地研究了這個先人給我們留下來的寶貴的財富，這節(jié)課，我們將通過回顧與思考中的幾個問題更進(jìn)一步了解勾股定理的歷史，勾股定理的應(yīng)用目的：通過對勾股定理歷史及地位的解讀，讓學(xué)生了解知識脈絡(luò)及前后聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)

5、探究熱情效果：從歷史的深度提出問題，學(xué)生探究熱情高漲，為下一環(huán)節(jié)奠定了良好基礎(chǔ)第二環(huán)節(jié)：知識結(jié)構(gòu)梳理本章知識要點及結(jié)構(gòu)：（第16題由學(xué)生獨立思考完成，小組代表展示）1勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，如果用和分別表示直角三角形的直角邊和斜邊，那么_ 2勾股定理各種表達(dá)式：在RtABC中，C=90°，A，B，C的對邊也分別為，則=_，=_，=_ 3勾股定理的逆定理：在ABC中，若三邊滿足_，則ABC為_ 4勾股數(shù)：滿足_的三個_，稱為勾股數(shù)5幾何體上的最短路程是將立體圖形的_展開，轉(zhuǎn)化為_上的路程問題，再利用_兩點之間，_解決最短線路問題6直角三角形的邊、角之間分別存

6、在著什么關(guān)系？（教師引導(dǎo)，小組討論、總結(jié)）從邊的關(guān)系來說，當(dāng)然就是勾股定理；從角度的關(guān)系來說，由于直角三角形中有一個特殊的角即直角，所以直角三角形的兩個銳角互余直角三角形作為一個特殊的三角形如果又有一個銳角是，那么的角所對的直角邊時斜邊的一半7舉例說明，如何判斷一個三角形是直角三角形判斷一個三角形是直角三角形可以從角、邊兩個方面去判斷（1）從定義即從角出發(fā)去判斷一個三角形是直角三角形例如：在ABC中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得，根據(jù)定義可判斷ABC是直角三角形在ABC中，由三角形的內(nèi)角和定理可知，ABC是直角三角形（2）從邊出發(fā)來判斷一個三角形是直角三角形其實從邊來判斷直角三角形它的理論依據(jù)

7、就是判定直角三角形的條件（即勾股定理的逆定理） 例如：ABC的三條邊分別為，而，根據(jù)勾股定理的逆定理可知ABC是直角三角形，但這里要注意的是b所對的角在ABC三條邊的比為，ABC是直角三角形8通過回顧與思考中的問題的交流，由同學(xué)們自己建立本章的知識結(jié)構(gòu)圖 （小組內(nèi)展示自己總結(jié)的知識框圖，相互交流完善知識框圖；每個小組選取一名代表，展示本組的知識框圖）三邊的關(guān)系-勾股定理歷史、應(yīng)用直角三角形 直角三角形的判別應(yīng)用目的：復(fù)習(xí)與直角三有形有關(guān)的知識，加強(qiáng)知識的前后聯(lián)系，把勾股定理及判定納入直角三角形的知識體系中，把以前的零散的知識形成知識體系通過學(xué)生相互交流，整理知識框圖復(fù)習(xí)本章知識點，自覺內(nèi)化到自

8、身的知識體系中效果：學(xué)生有獨立思考的空間，與有合作交流的舞臺，動靜結(jié)合，相得益彰第三環(huán)節(jié)：合作探究內(nèi)容：探究一：利用勾股定理求邊長已知直角三角形的兩邊長分別為3、4，求第三邊長的平方解：（1）當(dāng)兩直角邊為3和4時，第三邊長的平方為25；（2）當(dāng)斜邊為4，一直角邊為3時，第三邊長的平方為7注意事項：因?qū)W生習(xí)慣了“勾三股四弦五”的說法，即意味著兩直角邊為3和4時，斜邊長為5但這一理解的前提是3、4為直角邊而本題中并未加以任何說明，因而所求的第三邊可能為斜邊，但也可能為直角邊探究二：利用勾股定理求圖形面積：1求出下列各圖中陰影部分的面積_(3)21圖（1）陰影部分的面積為；（答案：1）圖（2）陰影部

9、分的面積為；（答案：81）圖（3）陰影部分的面積為；（答案：5）2 已知RtABC中，若，求RtABC的面積探究三：利用勾股定理逆定理判定ABC的形狀或求角度1. 在ABC中，的對邊分別為，且，則（ ）.（A）為直角 （B）為直角 （C）為直角 （D）不是直角三角形解：，故選（A）.注意事項：因為常見的直角三角形表示時，一般將直角標(biāo)注為，因而有同學(xué)就習(xí)慣性的認(rèn)為就一定表示直角，加之對本題所給條件的分析不縝密，導(dǎo)致錯誤.該題中的條件應(yīng)轉(zhuǎn)化為，即，因根據(jù)這一公式進(jìn)行判斷2已知ABC的三邊為a，b，c，有下列各組條件，判定ABC的形狀（1）；（2）解：（1）（2）均為直角三角形探究四：勾股定理及逆定

10、理的綜合應(yīng)用：B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東方向以每小時8 n mile的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個角度以每小時15 n mile的速度前進(jìn)，2小時后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34 n mile，你知道乙船是沿哪個方向航行的嗎？解：甲船航行的距離為BM=（n mile），乙船航行的距離為BP=（n mile），MBP為直角三角形，乙船是沿著南偏東方向航行的注意事項：勾股定理的使用前提是直角三角形，而本題需對三角形做出判斷，判斷的依據(jù)是勾定理的逆定理，其形式為“若，則學(xué)生容易不先對三角形做出判斷而直接應(yīng)用勾股定理進(jìn)行計算目的：通過對四大問題的探究，培養(yǎng)同學(xué)們歸納知識的能力，并將各種

11、數(shù)學(xué)基本思想方法滲透其中，如對數(shù)形結(jié)合思想的滲透，鼓勵學(xué)生由代數(shù)表示聯(lián)想到幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)代數(shù)表示，從而認(rèn)識數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系如對分類討論的滲透，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度效果：探究四綜合運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決實際問題，這種貼近生活的實例，訓(xùn)練學(xué)生解決實際問題的能力，通過學(xué)生的解答和討論，讓學(xué)生自我解決疑難，既是對所學(xué)知識的鞏固應(yīng)用，又讓學(xué)生體驗成功的喜悅第四環(huán)節(jié)：拓展提升內(nèi)容：我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）圖2由“弦圖”變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別

12、為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是 （答案為）目的：學(xué)生可以進(jìn)一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)用，了解我國古代人民的聰明才智，在我們的數(shù)學(xué)史上，好多結(jié)論的發(fā)現(xiàn)都是這樣一個過程，都是從幾個或大量的特例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽猜想出結(jié)論，然后以前面的理論作為基礎(chǔ)，證明猜想，一個偉大的成果就誕生了，掌握這種研究數(shù)學(xué)的方法，大膽創(chuàng)新，刻苦鉆研，說不一定你就是未來的商高，第二個趙爽效果：運(yùn)用勾股定理和方程思想解決實際問題，讓學(xué)生體會生活中處處皆數(shù)學(xué)，并且使新知得到了鞏固，能力得到了訓(xùn)練，認(rèn)識得到了升華第五環(huán)節(jié)：交流小結(jié)內(nèi)容：師生相互交流總結(jié)：1.本章知識要點及在學(xué)習(xí)中用到了哪些數(shù)學(xué)思想

13、方法？2你在學(xué)習(xí)過程中是否積極參與？是否與同伴進(jìn)行了有效的合作交流？目的：鼓勵學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談自己的收獲和感想，體會到勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用及它們的悠久歷史效果：學(xué)生暢所欲言自己的切身感受與實際收獲，總結(jié)解決問題的思路與方法，并贊嘆我國古代數(shù)學(xué)的成就第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)1課本復(fù)習(xí)題2思考題：一個正方體物體沿斜坡向下滑動，其截面如圖所示正方形DEFH的邊長為2 m，坡角m當(dāng)正方形DEFH運(yùn)動到什么位置，即當(dāng)AE m時，有（答案為：）四、教學(xué)設(shè)計反思本節(jié)課是復(fù)習(xí)課，利用勾股定理和勾股逆定理來解決實際問題勾股定理是在學(xué)生已經(jīng)掌握了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，它揭示了一個三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，而勾股定理逆用的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形針對我班學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和心理特征，本節(jié)課的設(shè)計思路是引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”，先由淺入深，在學(xué)生的自主探究與合作交流中解決問題，這樣既遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又充分體現(xiàn)了“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人、教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”的教學(xué)理念.本節(jié)課圍繞激趣引入，歸納知識-綜合練習(xí)，應(yīng)用知識課堂小結(jié)三部分，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識與能力，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心讓學(xué)生自己繪制知識網(wǎng)絡(luò)圖，進(jìn)一步體會本章所學(xué)知識之間的前后聯(lián)系，并培養(yǎng)了學(xué)生這方面的能力設(shè)計的題目既考察了對基本知識的掌握情況，又注