1、大題分層練(七)解析幾何、函數與導數(C組)1.已知函數f(x)=ax2-(2a+1)x+2ln x(aR).(1)若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值.(2)求f(x)的單調區間.(3)設g(x)=x2-2x,若對任意x1(0,2,均存在x2(0,2,使得f(x1)<g(x2),求a的取值范圍.【解析】f(x)=ax-(2a+1)+2x(x>0).(1)由題意知f(1)=f(3),即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+23,解得a=23.(2)f(x)=(x>0).當a0時,因為x>0,所以ax-1<0,在區間(0,2)上,f(x)

2、>0;在區間(2,+)上,f(x)<0,故f(x)的單調遞增區間是(0,2),單調遞減區間是(2,+).當0<a<時,1a>2,在區間(0,2)和上,f(x)>0;在區間2,1a上,f(x)<0,故f(x)的單調遞增區間是(0,2)和,單調遞減區間是2,1a.當a=12時,f(x)=(x-2)22x0,故f(x)的單調遞增區間是(0,+).當a>12時,0<1a<2,在區間0,1a和(2,+)上,f(x)>0;在區間1a,2上,f(x)<0,故f(x)的單調遞增區間是和(2,+),單調遞減區間是1a,2.(3)由題意知,在

3、(0,2上有f(x)max<g(x)max.由已知得g(x)max=0,由(2)可知,當a時,f(x)在(0,2上單調遞增,故f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln 2=-2a-2+2ln 2,所以-2a-2+2ln 2<0,解得a>ln 2-1,故ln 2-1<a.當a>12時,f(x)在0,1a上單調遞增;在1a,2上單調遞減,故f(x)max=f =-2-12a-2ln a.由a>12可知ln a>ln 12>ln 1e=-1,所以2ln a>-2,即-2ln a<2,所以-2-2ln a<0,所以f(x)

4、max<0,綜上所述,a>ln 2-1.2.如圖,已知橢圓C:x2a2+y2=1(a>1)的上頂點為A,右焦點為F,直線AF與圓M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.(1)求橢圓C的方程.(2)若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P,Q兩點,且·=0,求證:直線l過定點,并求出該定點N的坐標.【解析】(1)將圓M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化為標準方程為(x-3)2+(y-1)2=3,圓M的圓心坐標為M(3,1),半徑r=3.由A(0,1),F(c,0)(c=a2-1)得直線AF:xc+y=1,即x+cy-c=0.由直線AF與圓M相切,得=3.所以c=或c=-2(舍去).所以a=3,所以橢圓C的方程為x23+y2=1.(2)由·=0,知APAQ,從而直線AP與坐標軸不垂直,由A(0,1)可設直線AP的方程為y=kx+1,直線AQ的方程為y=-1kx+1(k0),將y=kx+1代入橢圓C的方程+y2=1并整理得:(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x=-,因此P的坐標為-6k1+3k2,-6k21+3k2+1,即-6k1+3k2,1-3k21+3k2.將上式中的k換成-1k,得Q6kk2+3,k2-3k2+3.所以直線l的方程為y=k2-3k2+3-1-3