1、精選優質文檔-傾情為你奉上第三章，湍流模型第一節， 前言湍流流動模型很多，但大致可以歸納為以下三類：第一類是湍流輸運系數模型，是Boussinesq于1877年針對二維流動提出的，將速度脈動的二階關聯量表示成平均速度梯度與湍流粘性系數的乘積。即： 31推廣到三維問題，若用笛卡兒張量表示，即有： 32模型的任務就是給出計算湍流粘性系數的方法。根據建立模型所需要的微分方程的數目，可以分為零方程模型（代數方程模型），單方程模型和雙方程模型。第二類是拋棄了湍流輸運系數的概念，直接建立湍流應力和其它二階關聯量的輸運方程。第三類是大渦模擬。前兩類是以湍流的統計結構為基礎，對所有渦旋進行統計平均。大渦模擬把

2、湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通過求解三維經過修正的Navier-Stokes方程，得到大渦旋的運動特性，而對小渦旋運動還采用上述的模型。實際求解中，選用什么模型要根據具體問題的特點來決定。選擇的一般原則是精度要高，應用簡單，節省計算時間，同時也具有通用性。FLUENT提供的湍流模型包括：單方程（Spalart-Allmaras）模型、雙方程模型（標準-模型、重整化群-模型、可實現(Realizable)-模型）及雷諾應力模型和大渦模擬。Zero-Equation ModelsOne-Equation Models Spalart-AllmarasTwo-Equation Models St

3、andard k-e RNG k-e Realizable k-e Reynolds-Stress ModelLarge-Eddy SimulationDirect Numerical Simulation包含更多物理機理每次迭代計算量增加FLUENT提供的模型選擇RANS-basedmodels湍流模型種類示意圖第二節，平均量輸運方程雷諾平均就是把Navier-Stokes方程中的瞬時變量分解成平均量和脈動量兩部分。對于速度，有： 33其中，和分別是平均速度和脈動速度（i=1,2,3）類似地，對于壓力等其它標量，我們也有： 34其中，表示標量，如壓力、能量、組分濃度等。把上面的表達式代入瞬時

4、的連續與動量方程，并取平均（去掉平均速度上的橫線），我們可以把連續與動量方程寫成如下的笛卡兒坐標系下的張量形式： 35 36 上面兩個方程稱為雷諾平均的Navier-Stokes（RANS）方程。他們和瞬時Navier-Stokes方程有相同的形式，只是速度或其它求解變量變成了時間平均量。額外多出來的項是雷諾應力，表示湍流的影響。如果要求解該方程，必須模擬該項以封閉方程。如果密度是變化的流動過程如燃燒問題，我們可以用法夫雷（Favre）平均。這樣才可以求解有密度變化的流動問題。法夫雷平均就是出了壓力和密度本身以外，所有變量都用密度加權平均。變量的密度加權平均定義為： 37符號表示密度加權平均；

5、對應于密度加權平均值的脈動值用表示，即有：。很顯然，這種脈動值的簡單平均值不為零，但它的密度加權平均值等于零，即：， Boussinesq近似與雷諾應力輸運模型為了封閉方程，必須對額外項雷諾應力進行模擬。一個通常的方法是應用Boussinesq假設，認為雷諾應力與平均速度梯度成正比，即： 38Boussinesq假設被用于Spalart-Allmaras單方程模型和雙方程模型。Boussinesq近似的好處是與求解湍流粘性系數有關的計算時間比較少，例如在Spalart-Allmaras單方程模型中，只多求解一個表示湍流粘性的輸運方程；在雙方程模型中，只需多求解湍動能k和耗散率兩個方程，湍流粘性

6、系數用湍動能k和耗散率的函數。Boussinesq假設的缺點是認為湍流粘性系數是各向同性標量，對一些復雜流動該條件并不是嚴格成立，所以具有其應用限制性。另外的方法是求解雷諾應力各分量的輸運方程。這也需要額外再求解一個標量方程，通常是耗散率方程。這就意味著對于二維湍流流動問題，需要多求解4個輸運方程，而三維湍流問題需要多求解7個方程，需要比較多的計算時間，對計算機內存也有更高要求。在許多問題中，Boussinesq近似方法可以得到比較好的結果，并不一定需要花費很多時間來求解雷諾應力各分量的輸運方程。但是，如果湍流場各向異性很明顯，如強旋流動以及應力驅動的二次流等流動中，求解雷諾應力分量輸運方程無

7、疑可以得到更好的結果。 第三節， 湍流模型3.3.1 單方程（Spalart-Allmaras）模型Spalart-Allmaras模型的求解變量是，表征出了近壁（粘性影響）區域以外的湍流運動粘性系數。的輸運方程為： 39其中，是湍流粘性產生項；是由于壁面阻擋與粘性阻尼引起的湍流粘性的減少；和是常數；是分子運動粘性系數。湍流粘性系數用如下公式計算：其中，是粘性阻尼函數，定義為：，并且。湍流粘性產生項，用如下公式模擬： 310其中，而。其中，和k是常數，d是計算點到壁面的距離；S。定義為： 311由于平均應變率對湍流產生也起到很大作用，FLUENT處理過程中，定義S為： 312其中，平均應變率定

8、義為： 313在渦量超過應變率的計算區域計算出來的渦旋粘性系數變小。這適合渦流靠近渦旋中心的區域，那里只有“單純”的旋轉，湍流受到抑止。包含應變張量的影響更能體現旋轉對湍流的影響。忽略了平均應變，估計的渦旋粘性系數產生項偏高。湍流粘性系數減少項為： 314其中， 315 316 317其中，是常數，。在上式中，包括了平均應變率對S的影響，因而也影響用計算出來的r。上面的模型常數在FLUENT中默認值為：，。壁面條件在壁面，湍流運動粘性設置為零。當計算網格足夠細，可以計算層流底層時，壁面切應力用層流應力應變關系求解，即： 318如果網格粗錯不能用來求解層流底層，則假設與壁面近鄰的網格質心落在邊界

9、層的對數區，則根據壁面法則： 319其中，k=0.419，E=9.793。對流傳熱傳質模型在FLUENT中，用雷諾相似湍流輸運的概念來模擬熱輸運過程。給出的能量方程為： 320式中，E是總能量，是偏應力張量，定義為： 321其中，表示粘性加熱，耦合求解。如果默認為分開求解，FLUENT不求解處。但是可以通過變化“粘性模型”面板上的湍流普朗特數（Prt），其默認值為0.85。湍流質量輸運與熱輸運類似，默認的Schmidt數是0.7，該值同樣也可以在“粘性模型”面板上調節。標量的壁面處理與動量壁面處理類似，分別選用合適的壁面法則。綜上所述，Spalart-Allmaras模型是相對簡單的單方程模型

10、，只需求解湍流粘性的輸運方程，并不需要求解當地剪切層厚度的長度尺度。該模型對于求解有壁面影響流動及有逆壓力梯度的邊界層問題有很好模擬效果，在透平機械湍流模擬方面也有較好結果。Spalart-Allmaras模型的初始形式屬于對低雷諾數湍流模型，這必須很好解決邊界層的粘性影響區求解問題。在FLUENT中，當網格不是很細時，采用壁面函數來解決這一問題。當網格比較粗糙時，網格不滿足精確的湍流計算要求，用壁面函數也許是最好的解決方案。另外，該模型中的輸運變量在近壁處的梯度要比中的小，這使得該模型對網格粗糙帶來數值誤差不太敏感。但是，Spalart-Allmaras模型不能預測均勻各向同性湍流的耗散。并

11、且，單方程模型沒有考慮長度尺度的變化，這對一些流動尺度變換比較大的流動問題不太適合。比如，平板射流問題，從有壁面影響流動突然變化到自由剪切流，流場尺度變化明顯。3.3.2 標準模型標準模型需要求解湍動能及其耗散率方程。湍動能輸運方程是通過精確的方程推導得到，但耗散率方程是通過物理推理，數學上模擬相似原形方程得到的。該模型假設流動為完全湍流，分子粘性的影響可以忽略。因此，標準模型只適合完全湍流的流動過程模擬。標準模型的湍動能k和耗散率方程為如下形式： 322 323在上述方程中，表示由于平均速度梯度引起的湍動能產生，是用于浮力影響引起的湍動能產生；可壓速湍流脈動膨脹對總的耗散率的影響。湍流粘性系

12、數。在FLUENT中，作為默認值常數，1.44，=1.92，湍動能k與耗散率的湍流普朗特數分別為1.0，1.3。可以通過調節“粘性模型”面板來調節這些常數值。3.3.3 重整化群-模型重整化群-模型是對瞬時的Navier-Stokes方程用重整化群的數學方法推導出來的模型。模型中的常數與標準-模型不同，而且方程中也出現了新的函數或者項。其湍動能與耗散率方程與標準-模型有相似的形式： 324 325 表示由于平均速度梯度引起的湍動能產生，是用于浮力影響引起的湍動能產生；可壓速湍流脈動膨脹對總的耗散率的影響，這些參數與標準-模型中相同。和分別是湍動能k和耗散率的有效湍流普朗特數的倒數。 湍流粘性系

13、數計算公式為： 326 其中，對上面方程積分，可以精確得到有效雷諾數（渦旋尺度）對湍流輸運的影響，這有助于處理低雷諾數和近壁流動問題的模擬。對于高雷諾數，上面方程可以給出：，。這個結果非常有意思，和標準-模型的半經驗推導給出的常數非常近似。在FLUENT中，如果是默認設置，用重整化群-模型時候是針對的高雷諾數流動問題。如果對低雷諾數問題進行數值模擬，必須進行相應的設置。重整化群-模型有旋修正通常，平均運動有旋時候對湍流有重要影響。FLUENT中重整化群-模型通過修正湍流粘性系數來考慮了這類影響。湍流粘性的修正形式為： 327其中，是不考慮有旋計算出來的湍流粘性系數；是FLUENT計算出來的特征

14、旋流數；是旋流常數，不同值表示有旋流動的強度不同。流動可以是強旋或者中等旋度的。FLUENT默認設置0.05,針對中等旋度的流動問題，對于強旋流動，可以選擇較大的值。湍動能及其耗散率的有效湍流普朗特數倒數的計算公式為： 328式中，1，在高雷諾數流動問題中，。湍流耗散率方程右邊的R為： 329其中，。為了更清楚體現R對耗散率的影響，我們把耗散率輸運方程重寫為： 330則： 331在的區域，R的貢獻為正；大于。以對數區為例，這和標準-模型中給出的1.92接近。因此，對于弱旋和中等旋度的流動問題，重整化群-模型給出的結果比標準-模型的結果要大。重整化群模型中，。3.3.4 可實現-模型可實現-模型

15、的湍動能及其耗散率輸運方程為： 332 333 其中，在上述方程中，表示由于平均速度梯度引起的湍動能產生，是用于浮力影響引起的湍動能產生；可壓速湍流脈動膨脹對總的耗散率的影響。和是常數；，分別是湍動能及其耗散率的湍流普朗特數。在FLUENT中，作為默認值常數，1.44，=1.9，1.0，1.2。可實現-模型的湍動能的輸運方程與標準-模型和重整化群-模型有相同的形式，只是模型參數不同。但耗散率方程有較大不同。首先耗散率產生項（方程右邊第二項）不包含湍動能產生項，現在的形式更能體現能量在譜空間的傳輸。另外的特色在于耗散率減少項中，不具有奇異性。并不象標準-模型模型那樣把K放在分母上。該模型適合的流

16、動類型比較廣泛，包括有旋均勻剪切流，自由流（射流和混合層），腔道流動和邊界層流動。對以上流動過程模擬結果都比標準-模型的結果好，特別是可實現-模型對圓口射流和平板射流模擬中，能給出較好的射流擴張角。湍流粘性系數公式為，這和標準-模型相同。不同的是，在可實現-模型中，不再是個常數，而是通過如下公式計算： 334其中，是 is the mean rate-of rotation tensor viewed in a rotating reference frame with the angular velocity 。模型常數，而：，式中W，我們可以發現，是平均應變率與旋度的函數。在平衡邊界層慣性

17、底層，可以得到0.09,與標準-模型中采用底常數一樣。雙方程模型中，無論是標準-模型、重整化群-模型還是可實現-模型，三個模型有類似的形式，即都有和的輸運方程，它們的區別在于：1，計算湍流粘性的方法不同；2，控制湍流擴散的湍流Prandtl數不同；3，方程中的產生項和Gk關系不同。但都包含了相同的表示由于平均速度梯度引起的湍動能產生，用于浮力影響引起的湍動能產生；可壓速湍流脈動膨脹對總的耗散率的影響。湍動能產生項 335 336 式中，Prt是能量的湍流普特朗數，對于可實現-模型，默認設置值為0.85。對于重整化群-模型，。熱膨脹系數，對于理想氣體，浮力引起的湍動能產生項變為： 337在FLU

18、ENT程序中，如果有重力作用，并且流場里有密度或者溫度的梯度，浮力對湍動能的影響都是存在的。浮力對耗散率的影響不是很清楚，因此，默認設置中，耗散率方程中的浮力影響不被考慮。如果要考慮浮力對耗散率的影響，用“粘性模型”面板來控制。浮力對耗散率影響是用來體現。但并不是常數，而是如下的函數形式： 338 v是平行于重力方向的速度分量；u是垂直于重力方向的速度分量。如果流動速度與重力方向相同的剪切流動，1，對于流動方向與重力方向垂直的剪切流，0。對于高馬赫數的流動問題，可壓速性對湍流影響在中體現。其中，是馬赫數，定義為：（是聲速）。默認設置中，只要選擇可壓速理想氣體，可壓速效應都是考慮的。在上述的雙方

19、程模型中，對流傳熱傳質模型都是通過雷諾相似湍流動量輸運方程得到的。能量方程形式為： 339 式中，E是總的能量，是有效導熱系數；是偏應力張量，定義為： 340表示的是粘性加熱，耦合求解時總是計算。如果不是耦合求解時候，作為默認設置，并不求解該量。如果有需要，需在“粘性模型”面板中設置。對于重整化群-模型，有效導熱系數為： 341用（328）計算，式中，。事實上，隨著的變化而變化，這是重整化群-模型的一個優點，因為實驗中證明，湍流普朗特數隨分子普朗特數及湍流而變化。湍流質量輸運處理過程與能量輸運過程類似。對于標準-模型和可實現的-模型，默認的Schmidt數是0.7，重整化群模型中，是通過方程3

20、28來計算的，其中，Sc是分子Schimidt數。3.3.5 雷諾應力模型（RSM）雷諾應力模型是求解雷諾應力張量的各個分量的輸運方程。具體形式為： 對流項湍流擴撒項 分子擴散應力產生項 浮力產生項目壓力應變項 耗散項 342系統旋轉產生項上面方程中，不需要模擬，而，需要模擬以封閉方程。下面簡單對幾個需要模擬項的模擬。可以用Delay and Harlow L38的梯度擴散模型來模擬，即： 343但這個模型會導致數值不穩定，因此FLUENT程序中采用標量湍流擴散模型： 344 式中，湍流粘性系數用來計算，根據Lien and Leschziner L98，這和標準-模型中選取1.0有所不同。根

21、據Gibson and Launder L58, Fu L55, Launder L88,L89, 壓力應變項可以分解為三項，即： 345，和分別是慢速項，快速項和壁面反射項。，常數。，。壁面反射項用于重新分布近壁的雷諾正應力分布，主要是減少垂直于壁面的雷諾正應力，增加平行于壁面的雷諾正應力。該項模擬為： 346式中，0.5，是在垂直于壁面方向上的單位分量，d是到壁面的距離；，k=0.41。默認設置時候，FLUENT不計算。如果需要計算時候，在“粘性模型”面板中設置。線性壓力應變模型對于小雷諾數流動，特別是用雙層模型求解近壁流動問題時，FLUENT中通過改進模型常數，和來改進壓力應變項Laun

22、der L91。這一過程只有在選擇雙層流模型時候，在“粘性模型”面板上調節。其中，參數A和張量不變量A2, A3定義為：式中，是雷諾應力張量各向異性部分，定義為： 347二階壓力應變模型二階壓力應變模型由Spezible L157等人提出。 348式中，是雷諾應力各向異性張量，定義為： 349 平均應變率定義為: ；模型常數，。二階壓力應變模型不需要考慮壁面反射影響去模擬對數區湍流邊界層過程。浮力對湍流的影響浮力引起的產生項模擬為： 350其中，Prt是能量的湍流普朗特數，默認設置值為0.85。對于理想氣體，把熱膨脹系數的定義代入上式，得： 351 耗散項的模擬耗散張量模擬為： 352式中，是

23、馬赫數；標量耗散率用標準k-模型中的采用的耗散率輸運方程求解。雷諾應力模型的邊界條件在流場進口，雷諾應力模型需要各個雷諾應力分量和湍動能耗散率的值。這些值可以直接輸入，也可以湍流強度和特征長度來計算。在壁面，雷諾應力模型通過壁面函數，給出各個雷諾應力分量和耗散率的值。雷諾應力模型的能量與質量輸運方程在雷諾應力模型中，對流傳熱傳質模型都是通過雷諾相似湍流動量輸運方程得到的。能量方程形式為： 353式中，E是總的能量；是偏應力張量，定義為： 354表示的是粘性加熱，耦合求解時總是計算。如果不是耦合求解時候，作為默認設置，并不求解該量，并且Prt=0.85。如果有需要，需在“粘性模型”面板中設置。3

24、.3.6 大渦模擬（LES）湍流中包含了不同時間與長度尺度的渦旋。最大長度尺度通常為平均流動的特征長度尺度。最小尺度為Komogrov尺度。LES的基本假設是1，動量、能量、質量及其它標量主要由大渦輸運；2，流動的幾何和邊界條件決定了大渦的特性，而流動特性主要在大渦中體現；3，小尺度渦旋受幾何和邊界條件影響較小，并且各向同性；大渦模擬過程中，直接求解大渦，小尺度渦旋模擬，從而使得網格要求比DNS低。3.3.6.1大渦模擬的控制方程LES的控制方程是對Navier-Stokes方程在波數空間或者物理空間進行過濾得到的。過濾的過程是去掉比過濾寬度或者給定物理寬度小的渦旋，從而得到大渦旋的控制方程。

25、過濾變量（上橫線）定義為： 355 其中，D表示流體區域；G是決定渦旋大小的過濾函數。在FLUENT中，有限控制體離散本身暗中包括了過濾運算， 356其中V是計算控制體體積，過濾函數為： 357目前，大渦模擬對不可壓流動問題得到較多應用，但在可壓縮問題中的應用還很少，因此這里涉及的理論都是針對不可壓流動的大渦模擬方法。在FLUENT中，大渦模擬只能針對不可壓流體（當然并非說是密度是常數）的流動。過濾不可壓的Navier-Stokes方程后，可以得到LES控制方程： 358 359其中，為亞網格應力，定義為： 360很明顯，上述方程與雷諾平均方程很相似，只不過大渦模擬中的變量是過濾過的量，而非時

26、間平均量，并且湍流應力也不同。3.3.6.2 亞網格模型由于LES中亞網格應力項是未知的，并且需要模擬以封閉方程。目前，采用比較多的亞網格模型為渦旋粘性模型，形式為： 361式中，是亞網格湍流粘性系數；是求解尺度下的應變率張量，定義為： 362求解亞網格湍流粘性系數時，FLUENT提供了兩種方法。第一，Smagorinsky-Lilly模型；第二，基于重整化群的亞網格模型。最基本的亞網格模型是Smagorinsky L145最早提出的，Lilly L99把它進行了改善，這就是今天的Smagorinsky-Lilly模型。該模型的渦粘性計算方程為： 363 式中，是亞網格的混合長度；。是Smag

27、orinsky常數，則亞網格混合長度可以用下式計算。 364其中，k=0.42，d是到最近壁面的距離，V是計算控制體體積。Lilly通過對均勻各向同性湍流慣性子區湍流分析，得到了0.23。但是研究中發現，對于有平均剪切或者過渡流動中，該系數過高估計了大尺度渦旋的阻尼作用。因此，對于比較多的流動問題，0.1有比較好的模擬結果，該值是FLUENT的默認設置值。我們再來看看基于重整化群思想的亞網格模型。人們用重整化群理論推導出了亞網格渦旋粘性系數L182，該方法得到的是亞網格有效粘性系數，而 365式中，H(x)是Heaviside函數， 366V是計算控制體體積；重整化群常數,而常數C=100。對

28、于高雷諾數流動（ ），基于重整化群理論的亞網格模型就與Smagorinsky-Lilly模型相同，只是模型常數有區別。在流動場的低雷諾數區域，上面的函數就小于零，從而只有分子粘性起作用。所以，基于重整化群理論的亞網格模型對流動轉捩和近壁流動問題有較好模擬效果。3.3.6.3 大渦模擬的邊界條件對于給定進口速度邊界條件，速度等于各個方向分量與隨機脈動量的和，即：其中，I是脈動強度，是高斯隨機數，滿足，。如果網格足夠密并可以求解層流底層的流動的話，壁面切應力采用線性應力應變關系，即： 367如果網格不夠細，則假定與壁面鄰近網格質心落在邊界層對數區內，則： 368 其中，k=0.418，E=9.793。 表31，雷諾平均模型的比較模型名字優點缺點Spalart-Allmaras 計算量小，對一定復雜程度的邊界層問題有較好效果計算結果沒有被廣泛測試，缺少子模型，如考慮燃燒或浮力問題標準應用多，計算量合適，有較多數據積累和相當精度對于流向有曲率變化，較強壓力梯度有旋問題等復雜流動模擬