1、戴氏教育金沙總校 小升初 荊老師 小升初提升專題 -幾何（二）一、熱點命題方向圓和立體幾何近兩年雖然不是考試熱點，但在小升初考試中也會時常露面。因為立體圖形考察學生的空間想象能力，可以反映學生的本身潛能；而另一方面，初中很多知識點都是建立在空間問題上，所以可以說學?？疾炝Ⅲw也是為初中選拔知識鏈接性好的學生。二、考點預測小升初考試如果考察圓與立體幾何，不會難度太大，只需掌握我們本講中所介紹的幾類基本題型，就可成功在握。考試熱點將會出現(xiàn)在諸如水位問題和三維視圖問題等題型。三、典型例題解析1 與圓和扇形有關(guān)的題型【例1】（）如下圖，等腰直角三角形ABC的腰為10厘米；以A為圓心，EF為圓弧，組成扇形

2、AEF；陰影部分甲與乙的面積相等。求扇形所在的圓面積?！窘狻浚旱妊切蔚慕菫?5度，則扇形所在圓的面積為扇形面積的8倍。而扇形面積為等腰三角形面積：S1/2×10×1050。則：圓的面積為400。【例2】（）草場上有一個長20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈，在羊圈的一角用長30米的繩子拴著一只羊（見左下圖）。問：這只羊能夠活動的范圍有多大？【解】：（此題十分經(jīng)典）如右上圖所示，羊活動的范圍可以分為A，B，C三部分，所以羊活動的范圍是【例3】（）在右圖中，兩個四分之一圓弧的半徑分別是2和4，求兩個陰影部分的面積差?！窘狻浚何覀冎灰辞宄幱安糠秩绾螛?gòu)成則不難求解。左邊的陰影是大

3、扇形減去小扇形，再扣除一個長方形中的不規(guī)則白色部分，而右邊的陰影是長方形扣除這塊不規(guī)則白色部分，那么它們的差應為大扇形減去小扇形，再減去長方形。則為：/4×4×4/4×2×24×23×3.1481.42。【例4】（）如圖，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求陰影部分的面積。（取3）【解】：先看總的面積為1/4的圓，加上一個正方形，加上一個等腰直角三角形，然后扣除一個等腰直角三角形，一個1/4圓，一個45度的扇形。那么最終效果等于一個正方形扣除一個45度的扇形。為1×11/8×3×15/8【例5】（

4、）如下圖，AB與CD是兩條垂直的直徑，圓O的半徑為15厘米，【解】：225平方厘米 225（平方厘米）與立體幾何有關(guān)的題型 小學階段，我們除了學習平面圖形外，還認識了一些簡單的立體圖形，如長方體、正方體（立方體）、直圓柱體，直圓錐體、球體等，并且知道了它們的體積、表面積的計算公式，歸納如下。見下圖。在數(shù)學競賽中，有許多幾何趣題，解答這些趣題的關(guān)鍵在于精巧的構(gòu)思和恰當?shù)脑O(shè)計，把形象思維和抽象思維結(jié)合起來。2 求不規(guī)則立體圖形的表面積與體積【例6】（）用棱長是1厘米的正方塊拼成如下圖所示的立體圖形，問該圖形的表面積是多少平方厘米？【解】：方法一：思 路：整體看待面積問題。解：不管疊多高，上下兩面的

5、表面積總是3×3；再看上下左右四個面，都是2×3+1， 所以，總計9×2+7×4=18+28=46。 方法二：思 路：所有正方體表面積減去粘合的表面積解：從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)，總共有14個正方體，這樣我們知道總共的表面積是：6×14=64，但總共粘合了18個面，這樣就減少了18×1=18，所以剩下的表面積是64-18=46。方法三：直接數(shù)數(shù)。思 路：通過圖形，我們可以直接數(shù)出總共有46個面，每個面面積為1，這樣總共的表面積就是46?！纠?】（）在邊長為4厘米的正方體木塊的每個面中心打一個邊與正方體的邊平行的洞洞口是邊長為1厘米的正方形，

6、洞深1厘米（如下圖）求挖洞后木塊的表面積和體積【解】：提示：大正方體的邊長為4厘米，挖去的小正方體邊長為1厘米，說明大正方體木塊沒被挖通，因此，每挖去一個小正方體木塊，大正方體的表面積增加“小洞內(nèi)”的4個側(cè)面積。6個小洞內(nèi)新增加面積的總和： 1×1×4×624（平方厘米），原正方體表面積：42×696（平方厘米），挖洞后木塊表面積：9624120（平方厘米），體積：4313×658（立方厘米）答：挖洞后的表面積是120平方厘米，體積是58立方厘米【例8】（）如圖是一個邊長為2厘米的正方體。在正方體的上面的正中向下挖一個邊長為1厘米的正方體小洞；

7、接著在小洞的底面正中再向下挖一個邊長為1/2厘米的小洞；第三個小洞的挖法與前兩個相同，邊長為1/4厘米。那么最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米？ 【解】：方法一：思 路：立體圖形的好處就是可以直觀視覺，雖然圖形被挖去，但6個面看過去是都還是面積不變的，特別是從上往下看是，3個正方形的下底面正好和剩下的面積等于原來的面積，這樣就只增加了3個小正方體的各自側(cè)面。解：原正方體的表面積是2×2×6=24平方厘米，增加的面積1×4+(×)×4+(×)×4，所以總共面積為24+1×4+(×)×4+(&

8、#215;)×4=29方法二：思 路：原正方體的表面積是2×2×6=24平方厘米，在頂部挖掉一個邊長為1厘米的正方體小洞后，原大正方體的頂部表面被掉了一個1×1的小正方形，但是內(nèi)部增加了5個1×1的面，所以總共增加了4個1×1的面，即正方形小洞的4個側(cè)面-同樣，再往下挖掉一個邊長為的正方體后，大正方體的表面積又增加4個×的小正方形的面積.最后挖掉一個邊長為厘米的正方體后，大正方體的表面積又增加了4個×的小正方體的面積.所以最終大正方體的表面積=24+1×4+(×)×4+(×)

9、×4=29 總 結(jié)：立體圖形中一定要學會想象，特別是這種面積分開時，我們?nèi)钥梢钥闯上噙B的，這就要求學生必須學會如何看待面積的變化。3 水位問題【例9】（）一個酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如下圖已知它的容積為26.4立方厘米當瓶子正放時，瓶內(nèi)的酒精的液面高為6厘米瓶子倒放時，空余部分的高為2厘米問：瓶內(nèi)酒精的體積是多少立方厘米？合多少升？分析 由題意，液體的體積是不變的，瓶內(nèi)空余部分的體積也是不變的，因此可知液體體積是空余部分體積的3倍（6÷2）62.172立方厘米62.172毫升0.062172升答：酒精的體積是62172立方厘米，合0062172升【例10】（

10、）一個高為30厘米，底面為邊長是10厘米的正方形的長方體水桶，其中裝有容積的水，現(xiàn)在向桶中投入邊長為2厘米2厘米3厘米的長方體石塊，問需要投入多少塊這種石塊才能使水面恰與桶高相齊？【解】：所裝入石塊的體積應等于桶的容積的一半.投入石塊：（10×10×15）÷（2×2×3）=125（塊）.4 計數(shù)問題【例11】（）右圖是由22個小正方體組成的立體圖形，其中共有多少個大大小小的正方體？由兩個小正方體組成的長方體有多少個？【解】：正方體只可能有兩種：由1個小正方體構(gòu)成的正方體，有22個；由8個小正方體構(gòu)成的2×2×2的正方體，有4

11、個。所以共有正方體 224=26（個）。由兩個小正方體組成的長方體，根據(jù)擺放的方向可分為下 圖所示的上下位、左右位、前后位三種，其中上下位有13個，左右位有13個，前后位有14個，共有131314=40（個）?！纠?2】有甲、乙、丙3種大小的正方體，棱長比是1：2：3。如果用這三種正方體拼成盡量小的一個正方體，且每種都至少用一個，則最少需要這三種正方體共多少？【解】： 設(shè)甲的棱長是1，則乙的棱長是2，丙的棱長是3。一個甲種木塊的體積是1*1*1=1；一個乙種木塊的體積是2*2*2=8；一個丙種木塊的體積是3*3*3=27。3+2=5。則這三種木塊拼成的最小正方體的棱長是5。體積是5*5*5=1

12、25。需要丙種木塊1塊，乙種木塊1+1*2+2*2=7塊。甲種木塊的體積是27，乙種木塊的體積是8*7=56。125-27-56=42。需要甲種木塊42/1=42塊。1+7+42=50塊。5 三維視圖的問題【例13】現(xiàn)有一個棱長為1cm的正方體，一個長寬為1cm高為2cm的長方體，三個長寬為1cm高為3cm的長方體。下列圖形是把這五個圖形合并成某一立體圖形時，從上面、前面、側(cè)面所看到的圖形。試利用下面三個圖形把合并成的立體圖形（如例）的樣子畫出來，并求出其表面積。例：【解】：立體圖形的形狀如下圖所示。（此題十分經(jīng)典）從上面和下面看到的形狀面積都為9cm2，共18cm2；從兩個側(cè)面看到的形狀面積

13、都為7cm2，共14cm2；從前面和后面看到的形狀面積都為6cm2，共12cm2；隱藏著的面積有2cm2。一共有181612248（cm2）。6 其他?？碱}型【例14】（）有兩種不同形狀的紙板，一種是正方形的，另一種是長方形的，正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是12.用這些紙板做成一些豎式和橫式的無蓋紙盒.正好將紙板用完.問在所做的紙盒中，豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是多少？【解】：由于紙盒無蓋，所以一個豎式紙盒有一個正方形和4個長方形，一個橫式紙盒有2個正方形和3個長方形，那么一個豎式紙盒和兩個橫式紙盒共有5個正方形和10個長方形，這時所用的正方形紙板與長方形紙板的比恰是12，也

14、就是說按照每做一個豎式紙盒，再做兩個橫式紙盒的比例做紙盒，就可以把兩種不同形狀的紙板用完.因此，在所做的紙盒中，豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是12.【例15】左下圖是一個正方體，四邊形APQC表示用平面截正方體的截面。請在右下方的展開圖中畫出四邊形APQC的四條邊。【解】：把空間圖形表面的線條畫在平面展開圖上，只要抓住四邊形APQC四個頂點所在的位置這個關(guān)鍵，再進一步確定四邊形的四條邊所在的平面就可容易地畫出。（1）考慮到展開圖上有六個頂點沒有標出，可想象將展開圖折成立體形，并在頂點上標出對應的符號，見左下圖。（2）根據(jù)四邊形所在立體圖形上的位置，確定其頂點所在的點和棱，以及四條邊所在的

15、平面：頂點：AA，CC，P在EF邊上，Q在GF邊上。邊AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。（3）將上面確定的位置標在展開圖上，并在對應平面上連線。需要注意的是，立體圖上的A，C點在展開圖上有三個，B，D點在展開圖上有二個，所以在標點連線時必須注意連線所在的平面。連好線的圖形如右上圖小結(jié)本講主要接觸到以下幾種典型題型：1）與圓和扇形有關(guān)的題型。參見例1，2，3，4，52）求不規(guī)則立體圖形的表面積與體積。參見例6，7，83）水位問題。參見例9，104）計數(shù)問題。參見例11，125）三維視圖的問題。參見例136）其他常考題型。參見例14，15【課外知識】剪

16、正方體此題旨在培養(yǎng)同學們的空間想象力和動手能力將一個正方體（圖1）剪開可以展成一些不同的平面圖形（圖2）。圖1正方體               （1）    （2）    （3）    （4）             

17、              圖2 正方體的平面展開圖其中的圖2的（1），（2）都是“帶狀圖”，好像是一條完整的削下來的蘋果皮。仔細觀察（1），（2）兩個圖可以發(fā)現(xiàn)，圖中的每個小正方形都有兩個邊與其它的正方形“共用”，除了兩頭的兩個正方形以外。再觀察圖（3）和圖（4），由于這兩個圖中每個都有一個正方形（粉色）有兩條以上的邊（圖（3）有3條，圖（4）有4條）與周圍的正方形“共用”。所以圖（3）和圖（4）都不是“帶狀圖”。問題1：運用你的空間想象力或者動手將圖2

18、的四個圖折成正方體。問題2：除了圖（1）和圖（2）以外還有兩個正方體的平面展開圖也是“帶狀圖”，你能找出來嗎？答案：作業(yè)題 （注：作業(yè)題-例題類型對照表，供參考）題1，2，3，4類型1；題5類型4；題6，7類型2；題8類型61、（）如下圖，求陰影部分的面積，其中OABC是正方形.解：10.269 × 3.14-1810.26。2、（）如下圖所示，求陰影面積，圖中是一個正六邊形，面積為1040平方厘米，空白部分是6個半徑為10厘米的小扇形。解：412平方厘米所要求的陰影面積是用正六邊形的面積減去六個小扇形面積正六邊可求得，需要知道半徑和扇形弧的度數(shù)，由已知正六邊形每邊所對圓心角為60&

19、#176;，那么AOC120°，又知四邊形ABCD是平行四邊形，所以ABC120°，這樣就得求出扇形的面積。104062842（平方厘米）3、（）如右圖，將直徑AB為3的半圓繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，此時AB到達AC的位置，求陰影部分的面積（取=3）.解：整個陰影部分被線段CD分為和兩部分，以AB為直徑的半圓被弦AD分成兩部分，設(shè)其中AD右側(cè)的部分面積為S，由于弓形AD是兩個半圓的公共部分，去掉AD弓形后，兩個半圓的剩余部分面積相等.即=S，由于：+S=60°圓心角扇形ABC面積4、（）如下圖，兩個半徑相等的圓相交，兩圓的圓心相距正好等于半徑，AB弦約等于1

20、7厘米，半徑為10厘米，求陰影部分的面積。解：陰影部分由兩個相等的弓形組成，我們只需要求出一個弓形面積，然后二倍就是要求的陰影面積了.由已知若分別連結(jié)AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，如圖所示，就可以得到兩個等邊三角形（各邊長等于半徑），則AO2O1BO2O160°，即AO2B120°。這樣就可以求出以O(shè)2為圓心的扇形AO1BO2的面積，然后再減去三角形AO2B的面積，就得到弓形面積，三角形AO2B的面積就是二分之一底乘高，底是弦AB，高是O1O2的一半。5、（）2100個邊長為1米的正方體堆成一個實心的長方體.它的高是10米，長、寬都是大于10（米）的整數(shù)，問長方

21、體長寬之和是幾米？解：長方體體積是2100立方米，高為10米，所以底面積為210平方米.210=1×210=2×105=3×705×42=6×357×30=10×21=14×15.可見，長為15米，寬為14米，長寬之和是15+14=29米.6、（）有一個正方體，邊長是5.如果它的左上方截去一個邊長分別是5、3、2的長方體（如下圖），求它的表面積減少的百分比是多少？解：原立方體的表面積=5×5×6=150.減少的表面積是兩塊3×2長方形7、（）如下圖，在棱長為3的正方體中由上到下，由左到

22、右，由前到后，有三個底面積是1的正方形高為3的長方體的洞，求所得形體的表面積是多少？解：沒打洞之前正方體表面積共 6 × 3 × 3= 54，打洞后，表面積減少 6又增加 6×4（洞的表面積）.即所得形體的表面積是54-624=72.8、（）現(xiàn)有一張長40厘米、寬20厘米的長方形鐵皮，請你用它做一只深是5厘米的長方體無蓋鐵皮盒（焊接處及鐵皮厚度不計，容積越大越好），你做出鐵皮盒容積是多少立方厘米？解：如圖，可有如下三種情況比較后可知：焊上（1）30×10×5=1500立方厘米（2）35×10×5=1750立方厘米（3）20×20×5=2000立方厘米最后一個容積最大。 1 （05年101中學考題）求下圖中陰影部分的面積： 2 （06年清華附中考題）從一個長為8厘米，寬為7厘米，高為6厘米的長方體中截下一個最大的正方體，剩下的幾何體的表面積是_平方厘米. 3 （06年三帆中學考試題）有一個棱長為1米的立方體，沿長、寬