1、線性代數(B卷)參考解答.填充題(每小題 3分，共15分)32中x的系數為2x4.1 21 .多項式f (x) = 2 01 x2 .設A為3階方陣，且| A|=2，則| A* |=4.12 33 .若矩陣04 4的秩為2,則a = 1 .：-1 2 a14 .已知向量 a =(1,1, 1)與 P =(1, 2, a)正交，則 a= -3.5 .設3階方陣A的特征值為1,2,3,則|A|= 6 .二.選擇題(每小題 3分，共15分).222(B) (AB)2 : A2B2； (D) |AB| = |BA|.1 .設A, B為n階方陣，則必有(D(A) AB = BA ；2-2(C) A2 -

2、B2 =(A B)(A-B);2 .設三階方陣A=a,a1,c(2 , B =,口1,62淇中久,%,為3維列向量 且 | A|= -1 , | B |=2，則| A - B |=( C ).(A)1；(B)2;(C)4;(D)8.3 .設A是3階矩陣，且| A| = 2,則|2A“|=( D ).1(A) 2;(B)1;(C)2;(D)4.4 .下列命題不正確的是(C ).(A)若向量組線性相關，則其部分組可能線性無關；(B)若向量組線性無關，則其部分組必線性無關；(C)若向量組線性相關，則其部分組必線性相關；(D)正交向量組必線性無關.5 .設A是m父n矩陣，秩R( A) = r,則線性方

3、程組 Ax = 0有非零解的充分必要條 件是(A ).(A) r < n ； (B) r a n ； (C) r < m ；(D) r > m .第9頁共6頁.解答下列各題（每小題7分，共21分）、21 .設 A =1 -2I求A2及A9.解A25 。1OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOA8625A9一012506252 .計算行列式D解3.討論向量組解-1OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO625625-1250OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO-2-2-

4、1-6-2-2-218-11212011400-280052OOOOOOOOOOOOO36。OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO% =(11,1)尸2 =(1,2,3)尸3 =(2,1,a)的線性相關性一1T T t 4«2%)= 1-211一10。3 分=4 時，R(«1,#4 時，R(«1,二 2,二 3:243J )=2 )=3-0«1«2«3線性相關;«1«2«3線性無關。5 分。7 分四.（12分）求下列方程組的通解X1 3x2 + 2x3 4x4 = 33x1 - 2x2 11 X3

5、 - 3x4 4| X1 4x2 - 3x3 5x4 - -2 13x1 5x2 -4x3 6x4 = -1解化增廣矩陣為行最簡形：一13-4-2同解方程組為令 X3 = k1X4X2X3“一=k1-3-4-3314-2-1X1 -7X3 -7X459X2 -X3X477=k2-117571k2得通解為一1 1 一7970757079706 175一 7 0OOOOOOOOOOOOOO。8分6 17570一。一,其中k1,k2為任意實數。12 分五.（12分）已知矩陣 A1232221,B =1：343 一.231011）求矩陣A的逆陣；2）解矩陣方程AX=B.26解1） A* = -3 -6

6、22-2OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO2)| A|=1 2 2 (-3) 3 2OOOOOOOOOOOOOOOOOOA|A|A* =一13-211 3-35一221-1ooooooooooooooooooooo o o ooo o o o二 A,Booooooooooooooooooooooooo一1一1-1-2-21-231-1oooooooooooooooooooooooooooo12分1 1六.（12分）求方陣A = 1 11【1的特征值和特征向量._1 1解|A-九 E|= 112，一、=1 (3 - 1)A的特征值為兒=%當 = 0時，解對應于特征值當心

7、 =3時,對應于特征值1 一九= 3ooooooo得基礎解系% = % =0的全部特征向量為k1 P1 + k2 P2（ k1, k2 不同時為解（A 3E）x =0,得基礎解系% =3的全部特征向量為 k3 P3。6 分一一 1】-n1,p2 =0J 一1OOOOOOOOOOOOOOp1 =0)0000000不p3 = 1I1 一(k3 # 0)000000000000000009 分。12 分七.(7分)設A為n階可逆矩陣，'-1 = Ai,，；=A1也線性無關.證明設存在數組ki,，kr,使kiPl +kPr =0。上式兩邊同時左乘A,，得k1kr： r -0因向量組四,，a,線性無關，所以ki 于是B1,，Br線性無關。n維向量組口1,Rr線性無關，試證：向量組。O OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO=0 (i =1,2,r),OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO。7 分八.(6分)設A為n階正定矩陣，E為n階單位陣，證明：A + E也為正定矩陣.證明(A + E)TA + E為對稱矩陣,=ATET對任一非零n維向量x , 又因A為n階正定矩