1、第二章第二章微積分學的創始人微積分學的創始人: 德國數學家德國數學家 Leibniz 微分學微分學導數導數描述函數變化快慢描述函數變化快慢微分微分描述函數變化程度描述函數變化程度都是描述物質運動的工具都是描述物質運動的工具 (從微觀上研究函數從微觀上研究函數)導數與微分導數與微分導數思想最早由法國導數思想最早由法國數學家數學家 Ferma 在研究在研究極值問題中提出極值問題中提出.英國數學家英國數學家 Newton一、引例一、引例二、導數的定義二、導數的定義三、導數的幾何意義三、導數的幾何意義四、函數的可導性與連續性的關系四、函數的可導性與連續性的關系五、單側導數五、單側導數第一節第一節導數的

2、概念導數的概念 1. 1. 變速直線運動的速度變速直線運動的速度設質點沿直線作非勻速運動設質點沿直線作非勻速運動,其走過的路程其走過的路程S 與時間與時間 t 的函數的函數關系式為關系式為: S=S (t ) .求某一時刻求某一時刻 t0 的瞬時速度的瞬時速度 .一、引例一、引例0ttS vttSttS )()(00)(tSS so)(0tS)(0ttStt0解解: 設從時刻設從時刻 t0 到到 t0+t這段時這段時間質點走過的路程間質點走過的路程 S = S (t0+t ) - S (t0) 從從 t0 到到 t0+t 這段時間內這段時間內 , 平均速度平均速度對非勻速運動的質點來說對非勻速

3、運動的質點來說 , 平均速度平均速度可作為可作為 t0 這時刻的這時刻的瞬時速度的近似值瞬時速度的近似值 , (t很小時很小時)vvtt 0(t越小越小) ,0越接近越接近與與vvtt (當當t 0時時) ,v極限存在極限存在, 我們就有我們就有vvttt0lim0 即即vvttt0lim0 ttSttSt )()(lim0002.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位

4、置2.2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置 T0 xxxoxy)(xfy CNM 假設假設 N M 時時, 割線割線 MN 的極限位置的極限位置 MT , 稱為曲線在點稱為曲線在點M處的切線處的切線.的的斜斜率率為為割割線線MNxy tan,)()(00 xxfxxf , 0, xMNC沿沿曲曲線線的的斜斜率率為為切切線線MT.)()(limtan000 xxfxxfkx ),(,(00 xfxM設設).(,(00 xxfxxN 兩個問題的共性兩個問題的共性:so0t)(0tS)(tSt瞬時速度瞬時速度 lim0ttv)()(0tStS 0tt 切線斜率切線斜率xy

5、o)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx所求量為函數增量與自變量增量之比的極限所求量為函數增量與自變量增量之比的極限 .類似問題還有類似問題還有:加速度加速度角速度角速度線密度線密度電流強度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是速度增量與時間增量之比的極限是轉角增量與時間增量之比的極限是轉角增量與時間增量之比的極限是質量增量與長度增量之比的極限是質量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題變化率問題二、導數的定義二、導數的定義定義定義1 . 1 . 設函數設函數)(xfy 在點在點0 x0limxxxf

6、xxf )()(00 xyx 0lim存在存在, ,)(xf并稱此極限為并稱此極限為)(xfy 記作記作: :;0 xxy ;)(0 xf ;dd0 xxxy 0d)(dxxxxf 即即0 xxy )(0 xf xyx 0limxxfxxfx )()(lim000hxfhxfh)()(lim000 則稱函數則稱函數假設假設的某鄰域內有定義的某鄰域內有定義 , , 在點在點0 x處可導處可導, , 在點在點0 x的導數的導數. . 導數定義的另外一種形式導數定義的另外一種形式,0 xxx )(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx 若記若記)(0 xf xxfxxfx )()(lim0

7、00,0 xxx 當當x0 x0 時時, , x x 0 0lim xxxfxxf )()(00 xyx 0lim若上述極限不存在若上述極限不存在 ,在點在點 不可導不可導. 0 x假假設設,lim0 xyx也稱也稱)(xf在在0 x若函數在開區間若函數在開區間 I 內每點都可導內每點都可導,此時導數值構成的新函數稱為導函數此時導數值構成的新函數稱為導函數.記作記作:;y; )(xf ;ddxy.d)(dxxf就說函數就說函數就稱函數在就稱函數在 I 內可導內可導. 的導數為無窮大的導數為無窮大 .注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0例例1. 常數函數常數函數Cxf )(解解

8、:yCC 0即即0)( C)()(xfxxf 求初等函數導數的公式求初等函數導數的公式xxyxfx 00lim)( xyxfx 0lim)( 00lim0 xx步驟步驟: :);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限解解:y )()(xfxxf 例例2. 冪函數冪函數)N()( nxxfnnnxxx )(nnnxxxnnxnx)()(! 2)1(221 xyxfx 0lim)( xxxxnnxnxnnnx )()(! 2)1(lim22101nnx 說明：對一般冪函數對一般冪函數 xy ( 為常數為常數) 1

9、)( xx例如，例如，)( x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后將證明）（以后將證明）xxxysin)sin( 例例3. 三角函數三角函數xxfsin)( 的導數的導數. 解解:xxxxx )2cos()2sin(2lim0即即xxcos)(sin 類似可證得類似可證得xxsin)(cos xcosxyxfx 0lim)( )2cos()2sin(2xxx 例例4.)1, 0(log的導數的導數求函數求函數 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(l

10、oglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 例例5. 設設)(0 xf 存在存在, 求極限求極限.2)()(lim000hhxfhxfh 解解: 原式原式 0lim hhhxf2)(0 )(0 xfhhxf2)( 0 )(0 xf)()(lim21000hxfhxfh )()(lim21000hxfhxfh )(210 xf )(210 xf )(0 xf 三、導數的幾何意義與物理意義三、導數的幾何意義與物理意義,.1作作變變速速運運動動物物體體 G, )(tss 已已知知運運行行的的路路程程為為, )(0tv瞬時速度瞬時速度000)()(lim)(0tttststv

11、tt . )(0ts:0得得為為換換tt. )()(tstv . )()()(tvts速率速率的導數為瞬時速度的導數為瞬時速度即路程函數即路程函數, )(G.2tvv 的的速速度度物物體體中速度中速度在時段在時段則則,G0tt, )()(0tvtv 增量為增量為上上在在時時段段為為比比值值,G)()(000tttttvtv ,速度的平均增加率速度的平均增加率, )(,000tattt時時刻刻的的加加速速度度則則得得讓讓 0000tttvtvtatt)()(lim)(. )(0tv:0得得為為換換tt. )()(tvta. )()(tatv的導數為加速度的導數為加速度即速度即速度,.3非均勻的金

12、屬絲非均勻的金屬絲ox0 x,xxo段段的的長長度度為為, )(xmmxo 段段的的質質量量,)()(00段的質量段的質量為為則則xxxmxm .)()(000段段上上的的平平均均密密度度為為xxxxxmxm )(單單位位長長度度上上的的質質量量, )(,000 xxxx 點的質量密度點的質量密度得到得到讓讓0000 xxxmxmxxx)()(lim)( . )(0 xm. )()(xmx 或或. )()()(xmxxmx 的導數的導數對長度對長度是質量是質量即線密度即線密度 幾何意義xyo)(xfy CT0 xM曲線曲線)(xfy 在點在點),(00yx的切線斜率為的切線斜率為)(tan0

13、xf 曲線在點曲線在點處的處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyy 法線方程法線方程:)()(1000 xxxfyy )0)(0 xf,)(0時 xf,)(0時 xf注意注意: 假設假設切線方程切線方程: x = x 0 表示切線垂直于表示切線垂直于x 軸軸,法線方程法線方程: y = y 0 例例6. 問曲線問曲線3xy 哪一點有垂直切線哪一點有垂直切線 ? 哪一點處哪一點處的切線與直線的切線與直線131xy平行平行 ? 寫出其切線方程寫出其切線方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令令,3113132x得得,1x對應對應,1y則在點則在點(1,1

14、) , (1,1) 處與直線處與直線131xy平行的切線方程分別為平行的切線方程分別為),1(131xy) 1(131xy即即023 yx故在原點故在原點 (0 , 0) 有垂直切線有垂直切線1111處處可可導導在在點點xxf)(四、四、 函數的可導性與連續性的關系函數的可導性與連續性的關系定理定理1.處連續處連續在點在點xxf)(證證: 設設)(xfy 在點在點 x 處可導處可導,)(lim0 xfxyx存在存在 , 因此必有因此必有,)(xfxy其中其中0lim0 x故故xxxfy)(0 x0所以函數所以函數)(xfy 在點在點 x 連續連續 .即即可導可導連續連續連續連續可導可導證證:.

15、0不可導不可導在在即即 xx注意注意: 函數在點函數在點 x 連續未必可導連續未必可導.例例7:xy 在在 x = 0 處連續處連續 , 但不可導但不可導.xyoxy 2xxy為初等函數為初等函數 , 所以在所以在R上連續上連續,xfxfxy)0()0(xx0 x,10 x,1xyx0lim不存在不存在 , 在點在點0 x的某個右的某個右 鄰域內鄰域內五、五、 單側導數單側導數)(xfy 若極限若極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000則稱此極限值為則稱此極限值為)(xf在在 處的右處的右 導數導數,0 x記作記作)(0 xf即即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左左

16、)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在在 x = 0 處有處有,1)0(f1)0(fxyoxy 定義定義2 . 設函數設函數有定義有定義,存在存在,定理定理2. 函數函數在點在點0 x)(xfy ,)()(00存在與xfxf且且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在存在)(0 xf)(0 xf簡寫為簡寫為在點在點處右處右 導數存在導數存在0 x定理定理3. 函數函數)(xf)(xf在點在點0 x必必 右右 連續連續.(左左)(左左)若函數若函數)(xf)(af)(bf與與都存在都存在 , 則稱則稱)(xf顯然顯然:)(xf在閉區間在閉區間 a , b 上可

17、導上可導,)(baCxf在開區間在開區間 內可導內可導,),(ba在閉區間在閉區間 上可導上可導.,ba可導的充分必要條件可導的充分必要條件是是且且內容小結內容小結1. 導數的實質導數的實質:3. 導數的幾何意義導數的幾何意義:4. 可導必連續可導必連續, 但連續不一定可導但連續不一定可導;5. 已學求導公式已學求導公式 :6. 判斷可導性判斷可導性不連續不連續, 一定不可導一定不可導.直接用導數定義直接用導數定義;看左右導數是否存在且相等看左右導數是否存在且相等.axf)(02. axfxf)()(00增量比的極限增量比的極限;切線的斜率切線的斜率;,)(0c,)(1 xx,cos)(sin

18、xx,sin)(cosxxaxxaln1)(log 連續函數不存在導數的幾種常見情形連續函數不存在導數的幾種常見情形.,)()()(,)(. 1000函數在角點不可導函數在角點不可導的角點的角點為函數為函數則稱點則稱點若若連續連續函數函數xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如, ,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的的角角點點為為處處不不可可導導在在xfxx 31xyxy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可導不可導有無窮導數有無窮導數在點在點稱函數稱函數但但連續連續在點在點設函數設函數xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, , 1)(3 x

19、xf.1處處不不可可導導在在 x., )()(. 30點點不不可可導導則則指指擺擺動動不不定定不不存存在在在在連連續續點點的的左左右右導導數數都都函函數數xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如, ,.0處不可導處不可導在在 x011/1/xy. )()(,)(. 4000不不可可導導點點的的尖尖點點為為函函數數則則稱稱點點符符號號相相反反的的兩兩個個單單側側導導數數且且在在點點若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 例如例如 y = x23( (其圖形大致如上圖其圖形大致如上圖) )思考與練習思考與練習1. 函數函數 在某點在某點 處的導數處的導數)(xf0 x)(0 xf )(xf 區別區別:)(xf 是函數是函數 ,)(0