1、.初二平行四邊形的性質(zhì)和判定專題1 平行四邊形的定義(1)定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形平行四邊形的定義有兩層意思：是四邊形；兩組對(duì)邊分別平行這兩個(gè)條件缺一不可(2)表示方法：平行四邊形用符號(hào)“”表示平行四邊形ABCD 記作“ABCD ”，讀作“平行四邊形 ABCD ”(3)平行四邊形的基本元素：邊、角、對(duì)角線平行四邊形的定義的作用：平行四邊形的定義既是性質(zhì)，又是判定方法 由定義可知平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行； 由定義可知只要四邊形中有兩組對(duì)邊分別平行，那么這個(gè)四邊形就是平行四邊形【例 1】對(duì)于平行四邊形ABCD ，AC 與 BD 相交于點(diǎn)O，下列說法正確的是()A 平行四邊形

2、ABCD 表示為“ACDB ”B平行四邊形ABCD 表示為“ ABCD ”CAD BC， AB CDD對(duì)角線為AC， BO解析： 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可知平行四邊形的兩組對(duì)邊平行，故選 C.答案： C2 平行四邊形的性質(zhì)(1) 平行四邊形的對(duì)邊平行且相等例如：如圖所示，在ABCD中， ABCD ，ADBC.由上述 性質(zhì)可得，夾在兩條平行線間的平行線段相等如圖2，直線l 1 l2 .AB， CD 是夾在直線l 1， l 2 間的平行線段，則四邊形ABCD 是平行四邊形，故ABCD.(2)平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)例如：如圖所示，在ABCD 中， ABC CDA ， BAD

3、BCD . ABC BAD 180°， ABC BCD 180°， BCD CDA 180°， BAD CDA 180°.(3)平行四邊形的對(duì)角線互相平分例如：如圖所示，在ABCD 中， OA OC， OBOD .;.圖 (4) 經(jīng)過平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)的直線被對(duì)邊截得的兩條線段相等，并且該直線平分平行四邊形的面積例如：如圖所示，在ABCD 中， EF 經(jīng)過對(duì)角線的交點(diǎn)O，與 AD和 BC 分別交于點(diǎn)E，F(xiàn) ，則 OEOF ，且 S 四邊形 ABFE S 四邊形 EFCD .【例 2】ABCD 的周長(zhǎng)為30 cm，它的對(duì)角線AC 和 BD 交于 O，且

4、 AOB 的周長(zhǎng)比BOC 的周長(zhǎng)大5 cm，求 AB，AD 的長(zhǎng)分析： 依題意畫出圖形，如圖， AOB 的周長(zhǎng)比 BOC 的周長(zhǎng)大5 cm，即 AO ABBO(BOOC BC) 5(cm) 因?yàn)?OA OC， OB 為公共邊，所以 AB BC5(cm) 30由 AB BC 2 15(cm) 可求 AB ，BC，再由平行四邊形的對(duì)邊相等得AD 的長(zhǎng)解： AOB 的周長(zhǎng)比 BOC 的周長(zhǎng)大5 cm， AO AB BO(BOOC BC) 5(cm) 四邊形 ABCD 是平行四邊形， AO OC， AB BC 5(cm) ABCD 的周長(zhǎng)為 30 cm， AB BC 15(cm)AB BC 5，AB

5、10，得AB BC 15，BC 5. AB 10 cm， AD BC 5 cm.3 平行四邊形的判定(1)方法一： (定義判定法 )兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形平行四邊形的定義是判定平行四邊形的根本方法，也是其他判定方法的基礎(chǔ)關(guān)于邊、角、對(duì)角線方面還有以下判定定理(2)方法二：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形如圖，連接 BD ，由 AD BC ， AB CD ，可證明 ABD CDB ，所以 CDB ABD ， CBD ADB ，從而得到 AB CD ， AD BC.由定義得到四邊形 ABCD 為平行四邊形;.其推理形式為： AB DC ，AD BC，四邊形 ABCD 是平行四邊

6、形(3)方法三：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形如圖，由 A= C， B=D ， A+B+ C+ D=360°，可得 B + C=180 °， A+B=180° . 從而得到 AB DC ， ADBC .由定義得到四邊形ABCD 為平行四邊形，其推理形式為： A= C， B= D ，四邊形 ABCD 是平行四邊形(4)方法四：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形其推理形式為：如圖， OA=OC， OB=OD ，四邊形 ABCD 是平行四邊形(5)方法五：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形其推理形式為：如圖， AD BC， AD BC，四邊形 ABCD 是平行

7、四邊形(1) 判定方法可作為 “ 畫平行四邊形 ” 的依據(jù)； (2) 一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形【例 3】已知，如圖，在四邊形 ABCD 中， AC 與 BD 相交于點(diǎn) O， AB CD ，AO CO. 四邊形 ABCD 是平行四邊形，請(qǐng)說明理由解： 因?yàn)?AB CD ，所以 BAC DCA .;.又因?yàn)?AO CO， AOB COD ，所以 ABO CDO .所以 BO DO.所以四邊形ABCD 是平行四邊形4 三角形的中位線(1)定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線(2)性質(zhì)：三角形兩邊中點(diǎn)連線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半(1) 一個(gè)三角形有三

8、條中位線，每條中位線與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系； (2) 三角形的中位線不同于三角形的中線，三角形的中位線是連接兩邊中點(diǎn)的線段，而三角形的中線是連接三角形一邊的中點(diǎn)和這邊所對(duì)頂點(diǎn)的線段【例 4】如圖所示，在 ABC 中，點(diǎn) D， E， F 分別是 AB，BC， CA 的中點(diǎn)，若 ABC 的周長(zhǎng)為 10 cm，則 DEF 的周長(zhǎng)是 _cm.解析： 由三角形的中位線性質(zhì)得，111DF 2BC， EF 2AB，DE 2AC，1答案： 55 兩條平行線間的距離定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離如圖所示， a b，點(diǎn) A 在直線 a 上，過 A 點(diǎn)

9、作 AC b，垂足為 C，則線段 AC 的長(zhǎng)是點(diǎn) A 到直線 b 的距離，也是兩條平行線 a， b 之間的距離(1) 如圖，過直線 a 上點(diǎn) B 作 BD b，垂足為 D，則線段 BD 的長(zhǎng)也是兩條平行線 a， b 之間的距離于是由平行四邊形的性質(zhì)可知平行線的又一個(gè)性質(zhì)：平行線間的距離處處相等(2) 兩條平行線之間的距離是指垂線段的長(zhǎng)度，當(dāng)兩條平行線的位置確定時(shí)，它們之間的距離也隨之確定，它不隨垂線段的位置的改變而改變，是一個(gè)定值【例 5】如圖所示，如果 l 1 l2，那么 ABC 的面積與 DBC 的面積相等嗎？由此你還能得出哪些結(jié)論？;.解： ABC 的面積與 DBC 的面積相等因?yàn)?l1

10、 l2 ，所以它們之間的距離是一個(gè)定值所以 ABC 與 DBC 是同底等高的兩個(gè)三角形所以SABCSDBC.結(jié)論： l1 上任意一點(diǎn)與 B， C 連接，構(gòu)成三角形的面積都等于 ABC 的面積，這樣的三角形有無數(shù)個(gè)6 平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用非常廣泛，可以利用它說明線段相等、證明線段平行、求角的度數(shù)、求線段的長(zhǎng)度、求圖形的周長(zhǎng)、求圖形的面積等對(duì)平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、含30°角的直角三角形、三角形的面積、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，是解決此類問題的關(guān)鍵【例 6】如圖，ABCD 的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過 O 作直線 EF，并與線段AB， CD

11、的反向延長(zhǎng)線交于E， F ， OE 與 OF 是否相等，闡述你的理由解： OE 與 OF 相等理由： 四邊形 ABCD 是平行四邊形， BE DF ， OBOD， FDOEBO，EF. BOE DOF . OE OF .7 平行四 邊形的判定的應(yīng)用熟練掌握判定定理是平行四邊形的判定的關(guān)鍵已學(xué)了平行四邊形的五種判定方法，記憶時(shí)要注意技巧，其中三種方法都與邊有關(guān)：(1)一種關(guān)于對(duì)邊的位置關(guān)系(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形)；(2)一種關(guān)于對(duì)邊的數(shù)量關(guān)系(兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形)；(3 )一種關(guān)于對(duì)邊的數(shù)量與位置關(guān)系 ( 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 )平行四邊形的判

12、定方法是今后解決平行四邊形問題的基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)該熟練掌握判定平行四邊形的一般思路：考慮對(duì)邊關(guān)系：證明兩組對(duì)邊分別平行；或兩組對(duì)邊分別相等；或一組對(duì)邊平行且相等；考慮對(duì)角關(guān)系：證明兩組對(duì)角分別相等；考慮對(duì)角線關(guān)系：證明兩條對(duì)角線互相平分【例7】如圖，請(qǐng)?jiān)谙铝兴膫€(gè)關(guān)系中，選出兩個(gè)恰當(dāng)?shù)年P(guān)系作為條件，推出四邊形ABCD 是平行四邊形，并予以證明(寫出一種即可 );.關(guān)系： AD BC， AB CD ， A C， B C 180°.已知：在四邊形ABCD 中， _ ，_ ；求證：四邊形ABCD 是平行四邊形分析： 選用 關(guān)系時(shí)，證明兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；選用 關(guān)系時(shí)，證明兩組對(duì)

13、邊分別平行的四邊形是平行四邊形；選用 關(guān)系時(shí)，證明一組對(duì)邊平行并且相等的四邊形是平行四邊形；選用 關(guān)系時(shí)，證明兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形解： 已知： ， ， ， 均可，其余均不可以舉例如下：已知：在四邊形ABCD 中， ADBC， A C，求證：四邊形ABCD 是平行四邊形證明： AD BC， A B 180 °. A C， C B 180°. AB CD .四邊形 ABCD 是平行四邊形8 平行四邊形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用主要有以下幾種情況：(1) 直接運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)解決某些問題，如求角的度數(shù)、線段的長(zhǎng)、證明角相等或互補(bǔ)、證明線

14、段相等或倍分關(guān)系；(2)判定一個(gè)四邊形為平行四邊形，從而得到兩角相等、兩直線平行等；(3) 綜合運(yùn)用：先判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，然后再用平行四邊形的性質(zhì)去解決某些問題；或先運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)得到線段平行、角相等等，再判定一個(gè)四邊形是平行四邊形【例 8】如圖所示，在ABCD 中， E， F 分別是AD ， BC 上的點(diǎn)，且AE CF， AF與 BE 交于 G， DF 與 CE 交于 H，連接 EF， GH，試問 EF 與 GH 是否互相平分？為什么？解： EF 與 GH 互相平分理由：在ABCD 中， ADBC， AE CF， AECF. DE BF. 四邊形 AFCE ， BEDF 都是

15、平行四邊形 (一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 ) AF CE， BE DF . 四邊形 EGFH 是平行四邊形 (平行四邊形的定義 ) EF 與 GH 互相平分9 三角形的中位線性質(zhì)的應(yīng)用三角形的中位線的性質(zhì)不僅反映了線段間的位置關(guān)系，而且還揭示了線段間的數(shù)量關(guān);.系，借助三角形中位線的性質(zhì)可以進(jìn)行幾何求值(計(jì)算角度、求線段的長(zhǎng)度)、證明 (證明線段相等、證明線段的不等、證明線段的倍分關(guān)系、證明兩角相等)、作圖，且能解決生活實(shí)際問題應(yīng)用三角形中位線定理解決問題時(shí)，已知條件中往往給出兩個(gè)中點(diǎn)，若已知條件只給出一個(gè)中點(diǎn)，必須要證明另一個(gè)點(diǎn)也是中點(diǎn)，才能運(yùn)用此定理【例 9】在 ABC 中，

16、AB 12， AC 10， BC 9， AD 是 BC 邊上的高將ABC 按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)A 與點(diǎn) D 重合，折痕為EF，則 DEF 的周長(zhǎng)為 ()A 9.5B 10.5C 11D 15.5解析： EDF 是 EAF 折疊而形成的圖形， EDF EAF . AEF DEF . AD 是 BC 邊上的高，由折疊可知AD EF ， EF CB. AEF B， BDE DEF . B BDE. BE DE AE. E 為 AB 的中點(diǎn)同理點(diǎn)F 是 AC 的中點(diǎn) EF 是 ABC 的中位線 DEF 的周長(zhǎng)為 EAF 的周長(zhǎng)，即 AE EF AF 1× (AB BC AC) 1

17、15; (12 9 10) 15.5.22答案： D10 平行四邊形的性質(zhì)探究題平行四邊形是一類特殊的四邊形，它的特殊性體現(xiàn)在對(duì)邊相等、對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)、對(duì)角線互相平分幾方面，因此，由平行四邊形可以得到很多相等線段、相等角所以，要學(xué)會(huì)利用對(duì)比的方法正確區(qū)分平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理，正確地運(yùn)用相關(guān)的結(jié)論解決相關(guān)的問題平行四邊形的探究型問題，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定，構(gòu)造出平行四邊形【例 10】如圖，已知等邊 ABC 的邊長(zhǎng)為 a， P 是 ABC 內(nèi)一點(diǎn)， PD AB， PE BC， PF AC，點(diǎn) D ，E， F 分別在 AC ，AB， BC 上，試探索 PD PE PF 與 a 的關(guān)系;.解： 如圖，作DG BC 交 AB 于點(diǎn) G，因?yàn)?ABC 為等邊三角形，所以 A B C 60 °.所以 A AGD ADG 60 °.所以 GD AG.又可得 EP GD ，所以 EP AG， DP GE.同理可得 PF EB，所以 PD PE PF a.11 平行四邊形的判定的探究題平行四邊形是一類特殊的四邊形，并且它是學(xué)習(xí)矩形、菱形、正方形和梯形的基礎(chǔ)在有關(guān)平行四邊形判定的探究型問題中，要會(huì)判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，運(yùn)動(dòng)型問題的關(guān)鍵是把運(yùn)動(dòng)的問題轉(zhuǎn)化為靜止的問題運(yùn)動(dòng)變化題，這類題的解決技巧是把“ 運(yùn)