1、第三章函數極限第三章函數極限 1 1 函數極限概念函數極限概念 2 2 函數極限的性質函數極限的性質 3 3 函數極限存在的條件函數極限存在的條件 4 4 兩個重要極限兩個重要極限 5 5 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量 階的比較階的比較 3.1函數極限函數極限 關于函數的極限，根據自變量的變化過程，我們主關于函數的極限，根據自變量的變化過程，我們主要研究以下兩種情況：要研究以下兩種情況：一、當自變量一、當自變量x的絕對值無限增大時，的絕對值無限增大時，f(x)的變化趨勢，的變化趨勢，的極限的極限時時即即)(,xfx 二、當自變量二、當自變量x無限地接近于無限地接近于x0時，時，f(x)

2、的變化趨勢的變化趨勢的極限的極限時時即即)(,0 xfxx .sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數數 xxx一、自變量趨向無窮大時函數的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數數 xxx一、自變量趨向無窮大時函數的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數數 xxx一、自變量趨向無窮大時函數的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數數 xxx一、自變量趨向無窮大時函數的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數數 xxx一、自變量趨向無窮大時函數的極限.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數數 xxx一、自變量趨向無窮大

3、時函數的極限問問題題: :函函數數)(xfy 在在 x的的過過程程中中, 對對應應函函數數值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的過程的過程表示表示 xXx. 0sin)(,無無限限接接近近于于無無限限增增大大時時當當xxxfx 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:問題問題: 如何用數學語言刻劃函數如何用數學語言刻劃函數“無限接近無限接近”.定義定義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當 Axfx)(lim1、定義：、定義：:.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當:.20情形情

4、形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當Axfx )(lim2、另兩種情形、另兩種情形: Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3、幾何解釋、幾何解釋: X X.2,)(,的帶形區域內的帶形區域內寬為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數函數時時或或當當 AyxfyXxXxAxxysin 例例1. 0sinlim xxx證證明明證證xxxxsin0sin x1 X1 , , 0 ,1 X取取時時恒恒有有則則當當Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故分析 例 6 證明01lim

5、xx 例例2 證明證明 |1| 01|)(|xxAxf 所以01limxx |1| 01|)(|xxAxf 0 X0 當|x|X時 有|f(x)A| xlimf(x)A 0 要使|f(x)A| 只要因為0 0 要使|f(x)A| 只要1|x 0 01X 當|x|X 時 有 01X 當|x|X 時 有 例例3 證明證明21121lim xxx證證|12|12321121 xxx x故不妨設故不妨設|x|1，而當而當|x|1時時|1|2|12|xxx |12|12321121 xxx|3|123xx 0 21121xx要要使使同時成立同時成立和和只須只須 3|1| xx3, 1max X令令時，便

6、有時，便有則當則當Xx |12|12321121 xxx |3x21121lim xxn.)(,)(lim:的的圖圖形形的的水水平平漸漸近近線線是是函函數數則則直直線線如如果果定定義義xfycycxfx 二、自變量趨向有限值時函數的極限二、自變量趨向有限值時函數的極限先看一個例子先看一個例子的變化趨勢的變化趨勢函數函數時時考察考察1)1(2)(,12 xxxfx 這個函數雖在這個函數雖在x=1處處無定義，但從它的圖無定義，但從它的圖形上可見，當點從形上可見，當點從1的的左側或右側無限地接左側或右側無限地接近于近于1時，時， f(x)的值無的值無限地接近于限地接近于4，我們稱，我們稱常數常數4為

7、為f(x)當當x1 時時f(x)的極限。的極限。1xyo4問問題題: :函函數數)(xfy 在在0 xx 的的過過程程中中,對對應應函函數數值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的過過程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點點 x.0程程度度接接近近體體現現xx 函數極限的基本內容函數的內涵之一是：fxyf x（量） （ ）（另一量）xff x（）運動另一運動xyO0 x0f x（ ）典型形式與定義xyO0 xAf x（ ）0( )xxf xA離 越來越近離 越來越近定量刻畫之一：遠近刻畫遠近的

8、工具間隔00|xxxx與 的距離是|f xAf xA（ ）與 的距離是 （ ）|ab“精確值計算的大小的幾乎是也是不可能”不可取的|abab因此，我們選擇用的 來刻畫，即若給定 一個精確度 ， 那么符合這個 精確度要求的精確度數的全體為定量刻畫之二：越來越近刻畫越來越近動態刻畫0( )f xxAx離 離 導致 近 近0|f xxAx（ ）有時邏輯刻畫目的：越來越近根據：一致性任意近的“標準”：在某個適當的范圍：一致地有左邊|f xA（ ）0|xx定定義義 2 2 如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正數數 ( (不不論論它它多多么么小小) ), ,總總存存在在正正數數 , ,使使得得對對于于

9、適適合合不不等等式式 00 xx的的一一切切x, ,對對應應的的函函數數值值)( xf都都滿滿足足不不等等式式 Axf)(, ,那那末末常常數數A就就叫叫函函數數)( xf當當0 xx 時時的的極極限限, ,記記作作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 當當或或定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時時使使當當1、定義：、定義：2、幾何解釋、幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區域內的帶形區域內寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數函數域時域時鄰鄰的去心的去心在在當當 Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10

10、是是否否有有定定義義無無關關在在點點函函數數極極限限與與xxf. 2有有關關與與任任意意給給定定的的正正數數 .,越越小小越越好好后后找找到到一一個個顯顯然然 xOy0 x)(xfy A0給定AA0 x0 x 目的：對任意的e0, 要找d0，使得0|x-x0|d 時，有|f(x)-A|e.即 A-e f(x) 0 d0 當0|x-x0|d 時, 都有 |f(x)-A|c-c|0e , e0 d0 當 0|x-x0|d 有|f(x)-A|0 d0 當0|x-x0|d 時, 都有|f(x)-A|e . 分析 |f(x)A|xx0|e 當0|xx0|d 時 有d e 因為e 0 證明證明 只要|xx

11、0|要使|f(x)A|e e 0 例5 例 2 證明00limxxxx |f(x)A|xx0| 所以00limxxxx e0 d0 當 0|x-x0|d 有|f(x)-A|0 d0 當 0|x-x0|d 有|f(x)-A|0 當0|x1| 時 有 /2只要|x1|e /2 要使|f(x)A|0 =e 當0|x1|d 時 有 例例7 例 4 證明211lim21xxx 所以211lim21xxx f(x)A| 211|2xx|x1| 當 x1 時 |f(x)A| 211|2xx|x1| e 0 只要|x1|e 要使|f(x)A|0 d0 當 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e 0limxxf

12、(x)A 或 f(x)A(xx0)。 例例8.lim00 xxxx 證證0)(xxAxf , 0 任給任給,min00 xx取取,00時時當當 xx00 xxxx ,)( Axf要要使使,0 xx就就有有,00 xxx .00且不取負值且不取負值只要只要 xxx.lim,0:000 xxxxx 時時當當證明證明例例9證明證明2121lim1 xxx證證|12|1|32121 xxxx不妨設不妨設41|1|0 x| )1(21|12| xx|1|21 x214121 |1|6|12|1|32121 xxxxx故故0 6,41min 取取有有時時當當,|1|0 x 2121xx2121lim1 x

13、xx注注 在利用定義來驗證函數極限時，也可考慮對在利用定義來驗證函數極限時，也可考慮對|f(x) A|進行放大，放大的原則與數列時的情形進行放大，放大的原則與數列時的情形完全相同。此外還須注意此時是在完全相同。此外還須注意此時是在x=x0的附近的附近考察問題的，對于考察問題的，對于“附近應如何理解，請揣附近應如何理解，請揣摩一下。摩一下。3.單側極限單側極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設設兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從從左左側側無無限限趨趨近近; 00 xx記記作作,0 xx從從右右側側無無限限趨趨近近; 00

14、xx記記作作yox1xy 112 xyx 的運動形態及關系：固定點00000 |0 xxxxxx0000000&xxxxxxxxxxxxxx0 x0 xx0 xx左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時時使使當當右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時時使使當當000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作000: lim()(0 )(0 ).xxfxAfxfxA定 理 3 . 1證證 必要性，必要性， 0, , 由由 Axfxx)(l

15、im00, , ,使得當使得當00 xx時，時， Axf)(00 xx Axf)(Axfxx)(lim00有有，特別地當，特別地當時，有時，有，故，故. .同理當同理當 xx00 Axf)(Axfxx)(lim00時，也有時，也有, , 故故. .0Axfxx)(lim00 充分性，充分性，, , 由由， 01, , ,使得當使得當100 xx時，時， 有有Axf)( Axf)(),min(2100 xx Axf)(Axfxx)(lim0. 令, 當時，有，.故Axfxx)(lim0002使得當200 xx時，有，又由.lim0不不存存在在驗驗證證xxxyx11 oxxxxxx 00limli

16、m左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例10證證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x無窮遠點與有限點的關系xx這個運動表明：當x沿直線趨于正無窮大時，圓周上對應的點按逆時針方向趨于頂點這個運動表明：當x沿直線趨于正無窮大時，圓周上對應的點按順時針方向趨于頂點演示表明：在直線上無論x是趨于 ，還是趨于 ，反映在圓周上顯示的是，點沿著圓周分別按逆時針和順時針都趨于一個共同的點頂點！xx演示表明：由于在圓周上看，頂點和A點本質上是一樣的，因此x0處的運動和無窮遠處的運動也是一樣。因而0 xA00(,)xxxMxM 000000(0

17、)(0)(0|)|xxxxxxxxMxxxxxMxxxMxxx 記 為000 xxxxxxxxx 且且000lim( ) lim( )lim( )lim( ) lim( )lim( )xxxxxxxxxf xf xf xf xf xf x且且 其中函數極限的種類：( )Af x000 xxxx 極限定義舉例：0,lim( )0,()|( )-|.xMxAAff xMx使得當的鄰域 時,的定義0,0,|()|( )|(.lim)xAf xMxMf xA 使得當|的鄰時域,的定義思考題思考題試問函數試問函數 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的左、右極限是否存在？當的左、右極限是否存在？當0 x時，時，)(xf的的極限是否存在？極限是否存在？ 思考題解答思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.函數極限的統一定義函數極限的統一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim