1、1第第4章章 習(xí)題解習(xí)題解4-1 開環(huán)零、極點(diǎn)如圖開環(huán)零、極點(diǎn)如圖E4-1所示所示,試?yán)L制出相應(yīng)試?yán)L制出相應(yīng)的概略根軌跡圖。的概略根軌跡圖。 0（a）0j（b）0（c）jj2j（d）（e）0（f）圖圖E4-1E4-1jj0034-2 單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下,試畫試畫出相應(yīng)的閉環(huán)根軌跡圖。出相應(yīng)的閉環(huán)根軌跡圖。 )3)(2()5()( )1(1ssssKsG)1010)(1010()20()( )2(1jsjsssKsG解：解：建立復(fù)平面坐標(biāo)，標(biāo)注出開環(huán)零極點(diǎn)。建立復(fù)平面坐標(biāo)，標(biāo)注出開環(huán)零極點(diǎn)。40j)3)(2()5()( )1(1ssssKsG-2-3

2、-5015251023sss用試探法求出會(huì)合點(diǎn)約為用試探法求出會(huì)合點(diǎn)約為-0.9 n-m=2,兩條漸近線，其參數(shù)為兩條漸近線，其參數(shù)為2a0a0)()()()(sAsBsBsA閉環(huán)特征方程如下，當(dāng)閉環(huán)特征方程如下，當(dāng)K1 0時(shí)穩(wěn)定。時(shí)穩(wěn)定。05)6(51123KsKss5)1010)(1010()20()( )2(1jsjsssKsG0j n-m=2,兩條漸近線，其參數(shù)為兩條漸近線，其參數(shù)為2a0a-10-2010-10-p1-p2-p3 出射角出射角0)1359045(1802p閉環(huán)特征方程如下，當(dāng)閉環(huán)特征方程如下，當(dāng)K1 0時(shí)穩(wěn)定。時(shí)穩(wěn)定。020)20(201123KsKss64-5 單位

3、反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖,并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的根軌跡增并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的根軌跡增益益K1的取值范圍。的取值范圍。)7)(2()(1sssKsG0j-2-7解：解：（1）漸近線參數(shù)漸近線參數(shù)和3a3a（2）由分離點(diǎn)公式求得由分離點(diǎn)公式求得)(08. 593. 021舍去ddss（3）閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征方程0149123Ksss12601K若以若以s=j 代入，可求出代入，可求出與虛軸的交點(diǎn)與虛軸的交點(diǎn)74-6 控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 （1）試證明其閉環(huán)根軌跡的一部分是一個(gè)園。）試證明其閉環(huán)根軌跡的一部

4、分是一個(gè)園。（2）畫出根軌跡。）畫出根軌跡。（3）確定最小的阻尼比及相應(yīng)的）確定最小的阻尼比及相應(yīng)的K1值。值。)3)(1()5()(1sssKsG解：解：（1）設(shè)復(fù)平面根軌跡上的某點(diǎn)）設(shè)復(fù)平面根軌跡上的某點(diǎn) s= +j 代入代入 相角方程或閉環(huán)特征方程進(jìn)行證明相角方程或閉環(huán)特征方程進(jìn)行證明,(過程略）過程略）；（2）畫出根軌跡如下）畫出根軌跡如下80j-3-5-1sd1sd2其中其中 17. 21ds343. 0K 1 83. 72ds7 .11K 1)3)(1()5()(1sssKsG9（3）過坐標(biāo)原點(diǎn)作園的切線交于點(diǎn)）過坐標(biāo)原點(diǎn)作園的切線交于點(diǎn)P，切線即為最，切線即為最小阻尼比線。小阻尼

5、比線。0j-3-5-1sd1sd2P3 .38517. 25sin1824. 03 .38cos 17. 21ds100j-3-5-1sd1sd2PmjjniizspsK111 據(jù)ABCCPBPAP 1 . 283. 205. 29 . 2用余弦定理求用余弦定理求AP、BP)3)(1()5()(1sssKsG114-7 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試作根軌跡試作根軌跡,并分析并分析K1取值不同時(shí)取值不同時(shí),系統(tǒng)的階躍響應(yīng)特性。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)特性。) 1()3)(2()(1ssssKsG0j-2-3-1解：解：作出根軌跡如下。作出根軌跡如下。sd1sd29 . 31K 4 .

6、 20.0718K 634. 0122111ddss用分離點(diǎn)公式和幅值方程求得用分離點(diǎn)公式和幅值方程求得（1）當(dāng)）當(dāng)K1 K11或或K1 K12時(shí)，系統(tǒng)有兩時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根， 1，階躍響應(yīng)是單，階躍響應(yīng)是單調(diào)收斂的。調(diào)收斂的。120j-2-3-1sd1sd2（2）當(dāng)）當(dāng)K11 K1 K12時(shí)，時(shí)， 0 1，系統(tǒng)有一對(duì)負(fù)，系統(tǒng)有一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)根，階躍響應(yīng)是振蕩收斂的。實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)根，階躍響應(yīng)是振蕩收斂的。（3）當(dāng)）當(dāng)K1=K11或或K1 = K12 時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)相等的實(shí)時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)相等的實(shí)根，根， = 1，階躍響應(yīng)是單調(diào)收斂的，即無超調(diào)也無，階躍響應(yīng)是單

7、調(diào)收斂的，即無超調(diào)也無振蕩。振蕩。134-8 負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 （1）繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。）繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。（2）求根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和相應(yīng)的）求根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和相應(yīng)的K1值。值。21) 1()()(ssKsHsG解解：（1）作出根軌跡如下）作出根軌跡如下0j-1sd1sd2其中其中 sd1=-0.33, sd2=-115. 067. 033. 021 K01 K144-9 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 畫出該系統(tǒng)的根軌跡圖畫出該系統(tǒng)的根軌跡圖,說明不論系數(shù)說明不論系數(shù)K1為何值時(shí)為何值時(shí),系系統(tǒng)均不穩(wěn)定統(tǒng)均不穩(wěn)定,利用根軌跡

8、圖說明在負(fù)實(shí)軸上增加一個(gè)利用根軌跡圖說明在負(fù)實(shí)軸上增加一個(gè)零點(diǎn)零點(diǎn),將開環(huán)傳遞函數(shù)改為將開環(huán)傳遞函數(shù)改為) 1()()(21ssKsHsG(0a1) 1()()()(21ssasKsHsG則可以使系統(tǒng)穩(wěn)定。則可以使系統(tǒng)穩(wěn)定。解：解：原系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為原系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為0123Kss缺項(xiàng)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，其根軌跡如下圖缺項(xiàng)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，其根軌跡如下圖(A)所示所示150j0j當(dāng)附加開環(huán)零點(diǎn)當(dāng)附加開環(huán)零點(diǎn)-a (oa1)后后,系統(tǒng)根跡如系統(tǒng)根跡如圖（圖（B）所示，由于有條根跡起于）所示，由于有條根跡起于-1開環(huán)開環(huán)極點(diǎn)，終于極點(diǎn)，終于-a開環(huán)零點(diǎn)，向右運(yùn)動(dòng)。因此，開環(huán)零點(diǎn)，向右運(yùn)動(dòng)。因此，

9、在在n-m 2情況下，情況下，另兩條必向復(fù)平面左另兩條必向復(fù)平面左方向運(yùn)動(dòng)，在方向運(yùn)動(dòng)，在K 0時(shí)時(shí)三條根跡均在左半三條根跡均在左半s平面，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。平面，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。圖（圖（A）圖（圖（B）164-11 已知系統(tǒng)特征方程：已知系統(tǒng)特征方程：023KKsass試確定使根軌跡上僅有一個(gè)非零值分離點(diǎn)的試確定使根軌跡上僅有一個(gè)非零值分離點(diǎn)的a值。值。解：解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程變形為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程變形為0) 1(123asssK得據(jù) 0)()( )()( sAsBsBsA02)3(22asass)( 01舍去 s416)3()3(23 , 2aaasaa16) 3( 2令據(jù)條件有：據(jù)條件有：0

10、),1(a 9,a 舍去零極點(diǎn)對(duì)消3s 9a 2,3開環(huán)傳函開環(huán)傳函17則開環(huán)傳遞函數(shù)則開環(huán)傳遞函數(shù))9() 1()(2sssKsG-3-4184-12 已知負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 (1).繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。 (2).確定使閉環(huán)傳遞函數(shù)具有階躍響應(yīng)超調(diào)量為確定使閉環(huán)傳遞函數(shù)具有階躍響應(yīng)超調(diào)量為 16.3%的的K1值。值。 )15)(5)(1()3()()(1ssssKsHsG解：解：（1）漸近線參數(shù)）漸近線參數(shù)2a92) 3(21a（2）分離點(diǎn)）分離點(diǎn)55. 90)()()()(dssAsBsBsA（3）繪制概略的根跡圖如下）繪制

11、概略的根跡圖如下%5 .16%21e60 5 . 0 190j-1-3-5-9-15sdS6 .159jS將將s代入幅值方程代入幅值方程,得得282315511ssssK55.179694 .10415.117111)()(6 .159jssHsG180)15)(5)(1()3()()(1ssssKsHsG204-14 設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制根軌跡，求：試?yán)L制根軌跡，求： (1).系統(tǒng)出現(xiàn)等幅振蕩時(shí)的振蕩角頻率與系統(tǒng)出現(xiàn)等幅振蕩時(shí)的振蕩角頻率與K1值？值？ (2).系統(tǒng)出現(xiàn)一對(duì)復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)使阻尼比系統(tǒng)出現(xiàn)一對(duì)復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)使阻尼比 等于某值等于某值時(shí)的閉

12、環(huán)復(fù)數(shù)根為時(shí)的閉環(huán)復(fù)數(shù)根為-0.7 j1.3， (a).系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的振蕩角頻率為多少？的振蕩角頻率為多少？ (b).在這種情況下，當(dāng)輸入信在這種情況下，當(dāng)輸入信號(hào)為號(hào)為r(t)=2t時(shí)其穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)其穩(wěn)態(tài)誤差ess=？)5)(2()()(1sssKsHsG解：解：（1）0107)(123KssssD系統(tǒng)要穩(wěn)定，則系統(tǒng)要穩(wěn)定，則107011KK且21時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定當(dāng)1071K0j-2sd1-5此時(shí)此時(shí)0)7)(10(70107)(223ssssssD對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的3個(gè)閉環(huán)特征根分別為個(gè)閉環(huán)特征根分別為102, 1js73 s故等幅振蕩角頻率故等幅振蕩角頻率16. 310 n

13、d（2）由分離點(diǎn)公式求得）由分離點(diǎn)公式求得)-3.7(s 88. 0d21舍去ds-s1-s23 . 17 . 01js7 .617 . 03 . 11tg22(a)474. 07 .61coscos此時(shí)振蕩角頻率此時(shí)振蕩角頻率sradd/ 3 . 112.2 3 . 157 . 03 . 127 . 03 . 17 . 0 521111jjjsssK(b)在這種情況下，系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的開環(huán)傳函為在這種情況下，系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的開環(huán)傳函為)5)(2(2 .12sssGK) 12 . 0)(15 . 0(22. 1sss22. 1Ktbttr2)( )1 ( 64. 122. 12 型系統(tǒng)Kbessr)5)(2()()(1sssKsHsG234-16 單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 作以作以a為參變量的根軌跡