1、 x3 = 0, x2 + (1 + x1 + x1 + (1 + x2 + x3 = 3, 設有方程組 x + x + (1 + x3 = . 1 2 ， (1 唯一解 ； 問取何值時 取何值時， 此方程組有 此方程組有(1 唯一解； (2 (3有無限多個解？并在有無限多解時求其通解 。 無解； 無解；( 有無限多個解？并在有無限多解時求其通解。 解：方法一： 1 1 1 0 r r 1 1+ 1 + 1 3 1 3 1+ 1 1 3 B= 1 1+ 1 1 0 1 1 1+ 1+ 1+ 1 1 0 3 0 0 (3 + (1 (3 + 1+ 1 1 3 0 r3 (1+ r1 0 (2 +

2、 (1 + r2 r1 r3 + r2 于是 當 0 且 l 3 時，R(A = R(B = 3 ，有唯一解。 當 = 0 時，R(A = 1， R(B = 2 ，無解。 當 = 3 時，R(A = R(B = 2 ，有無限多解。 方法二： 因為系數矩陣 A 是方陣，所以方程組有唯一解的充分必要條件是 |A| 0 1+ 1 1 | A |= 1 1 = (3 + 2 1+ 1 1 1+ 于是當 0 且 3 時，方程組有唯一解。 1 1 1 0 1 1 1 0 r B = 1 1 1 3 0 0 0 1 R(A = 1，R(B = 2，方程組無解 當 0 時， ，方程組無解 1 1 1 0 0

3、0 0 0 2 1 1 0 1 0 r B = 1 2 1 3 0 1 當 3 時， 1 1 2 3 0 0 x1 1 1 多個解，其通解為： x2 = c 1 + 2 1 0 x 3 1 1 1 2 R(A = R(B = 2 ，方程組有無限 0 0 。 -6- 非齊次線性方程 否 R( A = R( B 是 否 R( A = n 無解 唯一解 無限多個 包含 n-R(A 個自由變量的通 第四章 向量組的線性相關性 4.1 向量 b 能由向量組 A : a1 , a2 , , am 線性表示： 存在一組實數 k1 , k 2 , , km 使得 b = k1a1 + k2 a2 + + km

4、 am 線性方程組 Ax = b 有解 R( A = R( A, b 4.2.1 向量組 B : b1 , b2 , , bl 能由向量組 A : a1 , a2 , am 線性表示： 矩陣方程組 Ax = B 有解 R( A = R( A, B 4.2.2 A B 等價 R( A = R( B = R( A, B 4.3.1 向量組 A : a1 , a2 , , am 線性相關： 存在不全為零的實數 k1 , k 2 , , km 使得 k1a1 + k2 a2 + + km am = 0 （零向量） m 元齊次線性方程組 Ax = 0 有非零解 R( A < m 向量組 A 中至少

5、有一個向量能由其余 m 1 個向量線性表示 向量組 B : a1 , a2 , , am , am +1 線性相關 4.3.2 向量組 A : a1 , a2 , , am 線性無關： ） （零向量） ，則必有 k1 = k2 = = km 如果 k1a1 + k2 a2 + + km am = 0 （零向量 m 元齊次線性方程組 Ax = 0 只有零解 R( A = m 向量組 A 中任何一個向量能由其余 m 1 個向量線性表示 向量組 A 中任意一個或幾個元素構成的向量組一定無關 ，且 b1 = a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 。試證明向量 設向

6、量組 a1 , a2 , a3 線性無關 線性無關， 組 b1 , b2 , b3 線性無關。 證明：解法一 轉化為齊次線性方程組的問題： -7- 1 0 1 可知 (b1 , b2 , b3 = (a1 , a2 , a3 1 1 0 ，記作 B = AK 。 0 1 1 設 Bx = 0 ，則 ( AK x = A( Kx = 0 。因為向量組 a1 , a2 , a3 線性無關，所以 Kx = 0 又 K = 2 0 ，那么 Kx = 0 只有零解 x = 0 ，從而向量組 b1 , b2 , b3 線性無關。 解法二 轉化為矩陣的秩的問題： 1 0 1 可知 (b1 , b2 , b3

7、 = (a1 , a2 , a3 1 1 0 ，記作 B = AK 。 0 1 1 ， R( A = R ( B ， , R( A = 3 因為 K = 2 0 ， 所以 K 可逆 可逆， 又向量組 a1 , a2 , a3 線性無關 線性無關, 從而 R( B = 3 ，向量組 b1 , b2 , b3 線性無關 2 1 3 1 3 0 1 1 1 設 a = , a = , a = , b = , b = 1 , 證明向量組 a1 , a2 , a3 與向量組 1 1 2 0 3 2 1 1 2 1 1 2 0 1 3 3 2 1 3 1 1 1 0 1 1 r2 r1 1 解：( B, A = 1 1 1 0 2 r 3 r 1 1 r4 + r1 1 3 1 2 0 1 1 1 3 2 1 3 r2 ÷ ( 2 r2 r3 0 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b1 , b2 等價。 1 3 1 1 3 3 2 0 1 1 2 1 1 2 0 0 0 0 R( B = R( B, A = 2 ,易知 R( A = 2, R( B = R( B, A = R( A 向量組 a1 , a2