1、10數列的綜合問題突破點（一）數列求和1.公式法與分組轉化法：（1）公式法；（2）分組轉化法；2.倒序相加法與并項求和法：（1）倒序相加法；（2）并項求和法：在一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.形如an=（1）nf（n）類型，可采用兩項合并求解.例如，&=1002992+982972+22-12=(1002-992)+(982-972)+-十(2212)=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.3.裂項相消法:(1)把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.常見的裂項技巧：一4.錯位相減法1 ri+2 .2 2n1

2、2n+1 .1. Tj= 3n+1/n+/n+1"一.n考點一分組轉化法求和例1 已知數列an, bn滿足 日=5, an= 2an 1+ 3n 1(n>2, n N) , bn=an3n( nC N).（1）求數列bn的通項公式；（2）求數列an的前n項和S.解(1) . an=2an 1 +3n 1(nC N*, n>2), z. an-3n= 2(an 1-3n 1),*. .bn=2bn1(nCN, n>2). - b1=a1一3 = 2w0, . bnW0(n>2),bnbn = 2,，bn是以2為首項，2為公比的等比數列.bn=2-2nT=2n.(

3、2)由(1)知 an=bn+3n=2n+3n, . $=(2+22+ + 2n) + (3+32+ + 3n) =2n+1+3n+ 1求數列 bn的通項公式；（2）令Cn =an +1bn+2n+ 1,求數列 Cn的前n項和Tn.解（1）由題意知，當 n>2 時，an=S 1=6n+5,當n=1時，a1=S=11,滿足上式,a= b1+ b2,所以an=6n + 5.設數列bn的公差為d.由a2= b2+ b3,11=2b1+ d,17 = 2b1+3d,所以 bn= 3n+ 1.n + 1_,_6n+ 6n+1 一(2)由(1)知 Cn= -3n+3n = 3( n+1) 2 ，又 T

4、n=C1+C2+ Cn,方法技巧分組轉化法求和的常見類型（1）若an=bn±Cn,且tn,Cn為等差或等比數列，可采用分組轉化法求Hn的前n項和.bn,n為奇數，（2）通項公式為an=的數列，其中數列bn,Cn是等比數列或等差數列，可采用分組轉化法求和.Cn,n為偶數考點二錯位相減法求和得Tn=3X2X22+3X23+(n+1)X2n+1,2Tn=3X2X23+3X24+(n+1)X2n+2,兩式作差，得Tn=3X2X22+23+24+2n+1(n+1)x2n+2=-3n-2n+2,所以Tn=3n2方法技巧“一一一一一一一一一一一籍蒞舊斯法隸粕一襁略一一"一一一"

5、一一一"一一(1)如果數列an是等差數列，bn是等比數列，求數列anbn的前n項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數列bn的公比，：然后作差求解.(2)在寫“Sn”與“q&”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“&qSn”的表達式.(3)在應用錯位相減；法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.II考點三一一一|裂項相消法求和例3數列an的前n項和為S=2n+12,數列bn是首項為ar公差為d(d0)的等差數列，且b1,ba,b9成等比數列.2*求數列%與bn的通項公式；(2)若Cn=-(nN),求數列C

6、n的前n項和Tn.n+1bn解(1)當n>2時，a=SS1=20+12n=2"，又a1=S=21+12=2=21,也滿足上式，所以數列an的通項公式為an=2n.則b1=a1=2.由b1,bs,b9成等比數列，得(2+2d)2=2x(2+8d),21(2)由(1)得 Cn=7=' '' 'n+1bnn n+1解得d=0(舍去)或d=2,所以數列bn的通項公式為bn=2n.1一生i，所以數列6的前門項和Tn=W+左T+£nn十Iixz2x53x4+nx1 n+11 11111 n1-2-+ 5一§+ : n+ 1 = 1 n+

7、1 = n+ 1.突破點(二)數列的綜合應用問題廠”1莪*必還而茯5而耗值高*5否而至看壬i詔;一一一”-7一”熱與整IS詼疝*SS的”1的定義、通項公式、前n項和公式、等差比中項、等差比數列的性質；2重點考查基本量:即“知三求二”，解方程組的計算以及靈活運用等差、等比數列的性質解決問題:；2.數列與函數的特殊關系，決定了數列與函數交匯命題的自然性，是高考命題的易考點，主要考查方；:式有：1以數列為載體，考查函數解析式的求法，或者利用函數解析式給出數列的遞推關系來求數列:j的通項公式或前n項和；2根據數列是一種特殊的函數這一特點命題，考查利用函數的性質來研究數jj列的單調性、最值等問題.j:3

8、.數列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點.考查方式主要有三種：1判斷數列問題中的一些不：'等關系，如比較數列中的項的大小關系等.2以數列為載體，考查不等式的恒成立問題，求不等式中的''參數的取值范圍等.3考查與數列問題有關的不等式的證明問題.'|考點一等4列與等比數列的綜合問題例1在等差數列an中，210=30,a20=50.(1)求數列an的通項公式；(2)令bn=2an10,證明：數列bn為等比數列；(3)求數列nbn的前n項和Tn.ai+9d=30,解(1)設數列an的公差為d,則an=ai+(n-1)d,由ai0=30,220=50,得方程組ai+19d

9、=50,ai=12,_解得所以an=12+(n1)x2=2n+10.(2)證明：由(1),得bn=2an-10=221010=22=d=2.n+1n+144n,所以丁=丁=4.所以bn是首項為4,公比為4的等比數列.bn4(3)由nbn=n*4,得Tn=1X4+2X4+nX4,4Tn=1X4+(n-1)X4+nX4,一，得一3Tn=4+42+-+4n-nX4n+1=414nx4n+1.所以Tn=3"1.-39方法技巧一”一一一一”一一一”飛記藪元濟麗而雨天跖一一一一一一一一i(1)設置中間問題：分析已知條件和求解目標，為最終解決問題設置中間問題，例如求和需要先求出通項、求通項需要!先

10、求出首項和公差(公比)等，確定解題的順序.(2)注意解題細節：在等差數列與等比數列綜合問題中，如果等比數列的公|i比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等，這些細節ij對解題的影響也是巨大的.j考點二數列與函數的綜合問題例2設等差數列an的公差為d,點(an,bn)在函數f(x)=2'的圖象上(nCNj.(1)證明：數列bn為等比數列；(2)若a1=1,函數f(x)的圖象在點(a2,b2)處的切線在x軸上的截距12為2萬一,求數列anbn的前n項和S.解(1)證明：由已知，bn=2an>0.當n>l時，聆=2an+1a

11、n=2d.bn所以數列bn是首項為2a:公比為2d的等比數列.一.x1bn= 2n,則 anb2 = n . 4n.(2)函數f(x)=2在(a2,b2)處的切線萬程為y2a2=(2a21n2)(xa?),匕在x軸上的截距為a2-|n-2n 1+ n><4 n,由題意，=2-收，解得a=2.所以d=a2a1=1，所以an=n，S=1X4+2X4+3X4+(n1)X41 -3n 4n 1 4;.所以& 二34s=1X42+2X43+(n1)X4n+nX4n+12n14n+14因此，Sn4Sn=4+4+4n,4=33n-14n1+4方法技巧數列與函數問題的解題技巧j(1)數列與

12、函數的綜合問題主要有以下兩類：已知函數條件，解決數列問題，此類問題一般是利用函數的性質、圖象研究!數列問題；已知數列條件，解決函數問題，解決此類問題一般要充分利用數列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形.!(2)解題時要注意數列與函數的內在聯系，靈活運用函數的思想方法求解，在問題的求解過程中往往會遇到遞推數列，因此|掌握遞推數列的常用解法有助于該類問題的解決.考點三數列號不等式的綜合問題例3(2016鄭州質量預測)已知數列an的前n項和為S,且&=2a2.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn=log2ai+log2a2+log2an,求使(n8)bn>nk對任意nCN恒成立的

13、實數k的取值范圍.解(1)由S=2an2可彳導a=2.因為$=2an2,所以，當n>2時，an=SS1=2an2a一1,即空=2.所以a=2n(nCN*).an1-n.nn+1(2)由(1)知an=2,則bn=log2d+log2a2+log2an=1+2+n=2要使(n8)bnnnk對任意nCN*恒成立，即一n-*2”+1_>k對任意neN*恒成立.1設cn=2(n8)(n+1),則當n=3或4時，cn取得最小值，為一10,所以k<-10.即實數k的取值范圍為(一8,10.方法技巧r一一一一麗干不廂而而i而百而f一一一”一一一”一一一”一一(1)如果是證明題要靈活選擇不等式

14、的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等.(2)如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解;法，如列表法、因式分解法、穿根法等.總之解決這類問題把數列和不等式的知識巧妙結合起來綜合處理就行了.L一一“一一一一“一一“一一一一”一T圣國備石軍箕顫集用演練“一一”一一“一一一一“一一一一一1.(2012新課標全國卷)數列an滿足an+1+(1)nan=2n1,貝Uan的前60項和為()A.3690B.3660C.1845解析：選D不妨令a=1,根據題意，得32=2,a3=a5=a7=3=1,a4=6,a6=10,，所以當n為奇數時，an=1,當n為偶數時構成以a2=2為首項，以4為公差的等差

15、數列.所以前60項和為4。=3030X+ 2X30+ 30 12X4= 1 830.2.(2015新課標全國卷I)&為數列Jan的前n項和.已知an>0,an+2an=4S+3.,、一1一求an的通項公式；(2)設bn=,求數列bn的刖n項和.anan+1解：(1)由an+2an=4S+3,可知an+1+2an+1=4Sn+1+3.一，得an+1an+2(an+1an)=4an+1,即2(an+1+an)=an+1an=(an+1+an)(an+1an).由an>0,得an+1an=2.又a1+2ai=4ai+3,解得ai=1(舍去)或ai=3.所以an=2n+1.(2),

16、一11由an=2n+1可知bn='-：彳anan+12n+12n+322n+12n+3.則工=n32n+33.（2014新課標全國卷n)已知數列an滿足a1=1,an+1=3an+1.證明1an+2是等比數歹U,并求an的通項公式；（2）證明：a+a+a<2.解:由an+1=3an+1得1an+1+2=31131，3an+2.又a1+2=2,所以an+2首項為,公比為3的等比數列.所以n13an+-=,22、r,12一，,證明：由（1）知a=3=.因為當n>l時,3n-1>2X3nj,是L1a1a2卜+<1+x+an33<2.4.（2013新課標全國卷I）

17、已知等差數列an的前n項和S滿足S3=0,S=5.求an的通項公式；（2）求數列02n-132n+1的前n項和.解:（1）設an的公差為d,則S=na+nn-12-d.由已知可得3d+3d=0,5a+10d=5,解得=-1.故an的通項公式為an=2n.(2)由(1)知O2n-1a2n+1132n12n1=2(2n32n1)從而數列a2n1a2n+1的前項和為n12n.檢驗Wj考能力、選擇題1.(2017皖西七校聯考）在數列an中，an=2n12n若an的前n項和Sn=32164n=(A.3D.6解析：選2n1D由an=-2n-1=1-2H則321Sn=n一6411了，將各選項中的值代入驗證得

18、n=6.2.在數列an中,a1=1,a2=2,an+2an=1+(1),那么S°0的值為()A.2500C.2700D.2800解析：選Bn為奇數時，an+2an=0,所以an=1,當n為偶數時，an+2an=2,所以an=n,故1n為奇數nn為偶數口2+100X50是S00=50+2=2600.3 .已知數列an的前n項和為S,ai=1,當n>2時，an+2$-i=n,則展017的值為（）A.2017B.2016C.1009D.1007解析：選C因為an+2S-1=n,n>2,所以an+1+2S=n+1,n>1,兩式相減得an+1+an=1,n>2.又a1=

19、1,所以S2017=a+(a2+a3)+(a016+a2017)=1009,故選C.4 .設&是公差不為0的等差數列an的前n項和，S,S2,0成等比數列，且a3=2,則數列.二一22n十Ian的前n項和Tn=()A而 日 = (an an-1) + (an-1 an 2)+ (a2 a0 + a1C.一媼.C.解析：選Ca=2或a=2.當白=2時，公差d=0不符合題意，舍去；當a1=2時，公差d2=1,所以an=-2+(n1)x(1)=n+2=(2n1),故選二、填空題1.12 016項的和等于5.已知數列an滿足an+1=2+后F,且a1=2,則該數列的前解析：因為a1 =1-1:22 ,又 an + 1 = 2 +an an ,所以 a2=1,從而1日一口a3 = 2 , a4 = 1 ,即an =n=2k1 kC N故數列的前2 016項的和等于S2 016 = 11008 X 1+- = 1 512.答案：1 5121,_ 一n= 2