1、 讓更多的孩子得到更好的教育 有理數單元復習與鞏固一、目標與策略 明確學習目標及主要的學習方法是提高學習效率的首要條件，要做到心中有數！學習目標：l 理解正負數的意義，掌握有理數的概念和分類；l 理解并會用有理數的加、減、乘、除和乘方五種運算法則進行有理數的運算；l 通過熟練運用法則進行計算的同時，能根據各種運算定律進行簡便運算；l 通過本章的學習，還要學會借助數軸來理解絕對值，有理數比較大小等相關知識。重點難點：l 有理數的相關概念，如：絕對值、相反數、有效數字、科學記數法等,有理數的運算；l 有理數運算法則尤其是加法法則的理解；有理數運算的準確性和如何選擇簡便方法進行簡便運算。學習策略：l

2、 先通過知識要點的小結與典型例題練習，然后進行檢測，找出漏洞，再進行針對性練習，從而達到內容系統化和應用的靈活性。二、學習與應用“凡事預則立，不預則廢”。科學地預習才能使我們上課聽講更有目的性和針對性。我們要在預習的基礎上，認真聽講，做到眼睛看、耳朵聽、心里想、手上記。知識網絡詳細內容請參看網校資源ID：#tbjx1#210520知識要點預習和課堂學習認真閱讀、理解教材，嘗試把下列知識要點內容補充完整，帶著自己預習的疑惑認真聽課學習，請在虛線部分填寫預習內容，在實線部分填寫課堂學習內容。課堂筆記或者其它補充填在右欄。詳細內容請參看網校資源ID：#tbjx6#210520。知識點一：有理數的概念

3、（一）有理數：（1）整數與分數統稱 按定義分類： 按符號分類： 注意：0既不是_，也不是_，是唯一的中性數. 注：正數和零統稱為 ；負數和零統稱為 ；正整數和零統稱為 ；負整數和零統稱為 .（2）認識正數與負數：正數：像1，1.1，2008等大于 的數，叫做 .負數：像-1，-1.1，-，-2008等在正數前面加上“”（讀作負）號的數，叫 注意： 都大于零， 都小于零.“0”即不是 ，也不是 .（3）用正數、負數表示相反意義的量：如果用正數表示某種意義的量，那么負數表示其 意義的量，如果負數表示某種意義的量，則正數表示其 意義的量.如：若-5米表示向東走5米，則+3米表示向 走3米； 若+6米

4、表示上升6米，則-2米表示 ；+表示零上，-則表示 .（4）有理數“0”的作用：作用舉例表示數的性質0是自然數、是有理數、是整數表示沒有3個蘋果用+3表示，沒有蘋果用0表示表示某種狀態表示冰點表示正數與負數的界點0非正非負，是一個中性數（二）數軸（1）概念：規定了 、 和 的直線注： 、 、 稱為數軸的三要素，三者缺一不可. 單位長度和長度單位是兩個不同的概念，前者指所取度量單位的 ，后者指所取度量單位的 ，即 是一條人為規定的代表“1的線段，這條線段 ，按實際情況來規定，同一數軸上的單位長度一旦確定，則不能再改變.（2）數軸的畫法及常見錯誤分析畫一條水平的 ；在這條直線上適當位置取一實心點作

5、為 ：確定向右的方向為 ，用 表示；選取適當的長度作單位長度，用細短線畫出，并對應標注各數，同時要注意同一數軸的 要一致.數軸畫法的常見錯誤舉例：錯例原因 不統一沒有 （3）有理數與數軸的關系一切有理數都可以用數軸上的 表示出來.在數軸上，右邊的點所對應的數總比左邊的點所對應的數 ，正數都大于 ，負數都小于 ，正數大于一切負數.注意：數軸上的點不都是有理數，如.（三）相反數（1）相反數：只有 的兩個數互稱為相反數特別地，0的相反數是 ；若，則，反之亦然 .（2）相反數的性質：代數意義：只有 的兩個數叫做互為相反數，特別地，O的相反數是0相反數必須 出現，不能單獨存在例如+5和 互為相反數，或者

6、說+5是 的相反數，5是 的相反數，而單獨的一個數不能說是 另外，定義中的“只有”指除 以外，兩個數 ，注意應與“只要符號不同”區分開例如+3與3互為相反數，而+3與2雖然 不同，但它們不是相反數幾何意義：一對相反數在數軸上應分別位于 兩側，并且到原點的 相等這兩點是關于 對稱的求任意一個數的相反數，只要在這個數的前面添上“ ”號即可一般地，數a的相反數是 ；這里以a表示任意一個數，可以為 、 、負數，也可以是任意一個代數式注意a不一定是 注意：當a0時，a 0(正數的相反數是 數)；當a=0時，a O(0的相反數是 )；當a0時，a O (負數的相反數是 )互為相反數的兩個數的和為 ，即若a

7、與b互為 ，則a+b=0，反之，若a+b=O，則a與b互為 多重符號的化簡：一個正數前面不管有多少個“”號，都可以全部 ；一個正數前面有 個“”號，也可以把“”號全部去掉；一個正數前面有 個“”號，則化簡后只保留一個“”號，即“ 負 正”（其中“奇偶”是指正數前面的“ ”號的個數的 ，“負正”是指化簡的最后結果的 .（四）絕對值（1）絕對值的代數意義及幾何意義 絕對值的代數意義：一個正數的絕對值是 ；一個負數的絕對值是它的 ；0的絕對值是 . 絕對值的幾何意義：一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的 與 的距離.數a的絕對值記作 .注意：取絕對值也是一種 ，這個 符號是“ ”，求一個數的絕對值，

8、就是根據性質 絕對值符號.絕對值具有 性，取絕對值的結果總是 .任何一個有理數都是由 部分組成： 和它的 ，如：5，符號是 ，絕對值是 .（2）字母a的絕對值的分類或或（3）利用絕對值比較兩個負有理數的大小規則：兩個負數，絕對值大的反而 .步驟：計算兩個負數的 .比較這兩個 的大小.寫出正確的判斷結果.如果若干個非負數的和為0，那么這若干個非負數都必為 .例如：若知識點二：有理數運算（一）有理數比較大小（1）數軸上的數，右邊的數總 左邊的數（2）正數大于0，負數小于0，正數大于負數；（3）兩個負數，絕對值大的反而 ；（4）兩數比較大小，可按符號情況分類： （二）有理數的加減法（1）有理數加法法

9、則同號兩數相加，取相同的 ，并把絕對值 .絕對值不相等的異號兩數相加，取 的加數的符號，并用較大的 減去較小的 .一個數同0相加，仍得 .（2）有理數加法的運算步驟法則是運算的依據，根據有理數加法的運算法則，可以得到加法的運算步驟：確定和的 ；求和的絕對值，即確定是兩個加數的絕對值的 .（3）有理數加法的運算律兩個加數相加，交換加數的位置， 不變.即a+b=b+a(加法 律)三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加， 不變.即 (a+b)+c=a+(b+c)（加法 律）（4）有理數加法的運算技巧分數與小數均有時，應先化為 形式.帶分數可分為 與 兩部分參與運算.多個加數相加時，若有互

10、為相反數的兩個數，可先結合 得 若有可以湊整的數，即相加得整數時，可先結合 .若有同分母的分數或易通分的分數，應先結合在一起. 相同的數可以先結合在一起.（5）有理數減法法則減去一個數，等于 ，即a-b=a+( )（6）有理數減法的運算步驟把減號變為加號（改變運算符號）把減數變為它的相反數（改變性質符號）把減法轉化為加法，按照加法運算的步驟進行運算.（7）有理數加減混合運算的步驟把算式中的減法轉化為加法；省略加號與括號；利用運算律及技巧簡便計算，求出結果.注意：根據有理數減法法則，減去一個數等于加上 ，因此加減混合運算可以依據上述法則轉變為只有 的運算，即變為求幾個正數，負數和0的和，這個和稱

11、為代數和.為了書寫簡便，可以把加號與每個加數外的括號均省略，寫成省略加號和的形式，例如：（+3）+（-0.15）+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11，它的含義是正3，負0.15，負9，正5，負11的和。（三）有理數的乘除法（1）有理數乘法法則兩數相乘，同號得 ，異號得 ，并把 相乘.任何數同 相乘，都得0.（2）有理數乘法的運算律兩個數相乘，交換因數的位置，積相等.即ab= （乘法結合律）三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等.即 abc= （乘法結合律）一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加. 即 a(b+c)= （乘法

12、分配律）（3）有理數乘法法則的推廣幾個不等于0的數相乘，積的符號由 的個數決定，當 的個數是偶數時，積為 ； 的個數是奇數時，積為 .幾個數相乘，如果有一個因數為0，則積為 .在進行乘法運算時，若有帶分數，應先化為 ，便于約分；若有小數及分數，一般先將小數化為 ，或湊整計算；利用乘法分配律及其逆用，也可簡化計算.（4）有理數除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的 。即a÷b=a· (b0)兩數相除，同號得 ，異號得 ，并把絕對值 ， 除以任何一個不等于0的數，都得0.（5）倒數及有理數除法乘積為 的兩個數互為倒數。倒數是 出現的，單獨一個數不能稱為倒數；互為倒數的兩

13、個數的乘積一定 ； 沒有倒數；求一個非零有理數的倒數，只要把它的分子和分母 即可（正整數可以看作分母為1的分數）。注意： 互為倒數，則；互為負倒數，則。反之亦然.有理數除法的運算步驟：首先確定商的 ，然后再求出商的絕對值.（四）有理數的乘方 （1）概念：求個相同因數的積的運算，叫做 ， 的結果叫做 ，在中，叫做 ，叫做 .（2）含義： 中，為底數，為指數，即表示的個數，表示有 相乘.例如：表示3×3×3×3×3，(-3)表示（-3）×（-3）×（-3）×（-3）×（-3），特別注意負數及分數的乘方，應把底數加上括號

14、. 如(-2)表示 相乘，而-2則表示7個2相乘的積的 。當n為奇數時，(-a)= ；而當n為偶數時，(-a)= .注意： 負數的奇次冪是 ，負數的 冪是正數。正數的任何次冪都是 ，0的任何次冪都是 ，任何不為0的數的0次冪都是 .（3）“奇負偶正”口訣的應用口訣“奇負偶正”在多處知識點中均提到過，它具體的應用有如下幾點：多重負號的化簡，這里奇偶指的是“”號的個數，例如：（3）= ，+（3）= .有理數乘法，當多個非零因數相乘時，這里奇偶指的是負因數的個數，正負指結果中積的符號，例如：（3）×（2）×（6）= ，而（3）×（2）×6= .有理數乘方，這里

15、奇偶指的是指數，當底數為負數時，指數為奇數，則冪為 ；指數為偶數，則冪為 ，例如：（3）= ，（3）= .（4）有理數混合運算的運算順序：先乘方，再乘除，最后加減；同級運算，從左到右進行；如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行.加減法為一級運算，乘除法為二級運算，乘方及開方（以后學）稱為三級運算.同級運算，按從左到右的順序進行；不同級運算，應先算 級運算，然后 級，最后 級；如果有括號，先算括號里的，有多重括號時，應先算_括號里的，再算 括號里的，最后算 括號里的. 以上運算順序可以簡記為：“從左到右，從高（級）到低（級），從小（括號）到大（括號）”.（五）近似數、有效數

16、字和科學記數法（1）科學記數法：把一個大于10的數表示成 的形式（其中，是整數），此種記數法叫做科學記數法.例如：200000=就是科學記數法表示數的形式. 又如：10200000= 也是.（2）有效數字：從一個數的左邊第一個 數字起，到 止，所有數字都是這個數的 。如：0.00027有 個有效數字：_;1.2027有 個有效數字： .注意：萬= ，億= 經典例題-自主學習認真分析、解答下列例題，嘗試總結提升各類型題目的規律和技巧，然后完成舉一反三。若有其它補充可填在右欄空白處。更多精彩請參看網校資源ID：#jdlt0#210520類型一：正數與負數的意義例1一個物體沿著東西兩個相反方向運動，

17、如果把向東的方向規定為正，那么走6km，走-4.5km，走0km的意義各是什么？思路點撥： 正數與負數可表示具有相反意義的量，正數表示向東運動，則負數表示 運動 .0表示原地不動，0表示正數與 的分界，在實際問題中也有確定的意義. 解析： 總結升華： 舉一反三：【變式1】博然的父母6月份共收入4800元，可以將這筆收入記作+4800元；由于天氣炎熱，博然家用其中的1600元錢買了一臺空調，又該怎樣記錄這筆支出呢?解析：【變式2】某老師把某一小組五名同學的成績簡記為：10、5、0、8、3，又知記為0的實際成績表示90分，正數表示超過90分，則這五位同學的平均成績為多少分？ 解析：類型二：有理數的

18、分類例2把下列各數填入相應的括號內：+6，0.35，-1，-7.82，0，97，.整數集合： ；非負集合： ；分數集合： ；負數集合： .思路點撥：根據有理數的分類標準，將所給數進行分類填整數集合時，不能漏掉“ ”；填集合時，最后要加“”，“非負數”不要僅理解為正數， 既不是正數，也不是負數，屬于“非負”范圍內的數；負數包括 和 .解析：總結升華： 舉一反三：【變式】（1）最小的正整數是 ：最大的負整數是 ；最小的整數是 ；最小的正數是 ；最大的負數是 ；最小的有理數 ；絕對值最小的有理數是 。（2）一個數的相反數等于它本身，這個數是 ；一個數的絕對值等于它本身，這個數是 ；一個數的絕對值等于

19、它的相反數，這個數是 ；一個數的倒數等于它本身，這個數是 ；一個數的平方等于它本身，這個數是 ；一個數的平方等于它的絕對值，這個數是 ；一個數的平方等于它的相反數，這個數是 ；一個數的立方等于它本身，這個數是 。解析：類型三：多重符號的化簡例3、化簡下列各數：思路點撥：多重符號的化簡是由“ ”的個數來定，若“-”個數是 個時，化簡結果為正；若 “-”個數是奇數個時，化簡結果為 。解析： 總結升華： 舉一反三：【變式1】答案： 【變式2】說出下列各式的意義，然后化簡：(1)-(-3) (2)+-(+5)；(3)-(-6)（共n個負號）答案： 類型四：有理數的大小比較例4在數軸上畫出表示下列各數的

20、點，并用“ <”連接起來； 思路點撥：首先畫出數軸，三要素要齊全；再把各數在數軸上的對應點找出來；然后根據這些數在數軸上的位置順序比較大小，再用“ <”連接起來. 解析：總結升華： 舉一反三：【變式】利用絕對值比較下列有理數的大小 . （1）-0.6，-60 （2） 思路點撥：比較負數的大小，先求出各數的 ，關鍵是比較絕對值的大小，絕對值大的反而 ，比較分數大小，一般要化成同 的分數來比較.解： 類型五：絕對值的概念例5若+|2b+5|=0,計算2a-b的值. 思路點撥：從表面看條件比較復雜，但根據絕對值的非負性，可求出a,b值。解析：總結升華： 舉一反三：【變式1】若，化簡：解析

21、：【變式2】代數式的最小值為 。解析： 【變式3】a，b在數軸上的位置如圖（1）化簡： 。（2）比較大小：；。解析：類型六：相反數，倒數的概念例6已知a、b互為倒數，c、d互為相反數，且，那么的值為 。思路點撥：根據相反數與倒數的意義可得：互為相反數的兩數的和為 ，互為倒數的兩數之積為 . 解析：總結升華： 舉一反三：【變式】已知三個互不相等的有理數，即可以表示為1，a+b，a的形式，又可表示為0，b的形式，且x的絕對值為2，求的值解析：類型七：有理數的混合運算例7、計算思路點撥：本題有五種運算， 因為有括號，應先算括號里面的，括號里面顯然又要先算_，接著算_法，再算_法注意除法運算，要把除法

22、轉化為_解：總結升華： 舉一反三：【變式】計算下列各式的值：（1）；（2）；（3）； （4）；（5）解析： 類型八：科學計數法，有效數字與近似數例8某市2008年的國民生產總值約為333.9億元，預計2009年比上一年增長10%，則2009年這個市的國民生產總值應是（結果保留3個有效數字） 元。解析：總結升華： 舉一反三：【變式1】國家AAAA級旅游區東江湖的蓄水量為81.2億立方米，81.2億這個數用科學記數法表示為 立方米。答案： 【變式2】精確到萬位為： ,有效數字為： .答案：類型九：規律探索例9觀察下列式子： 請你將猜想到的規律用自然數n表示出來 思路點撥：發現已給出的幾個式子的規律

23、：等號左邊是 ，右邊是 . 本題考查的知識點是有理數的乘方運算能力及歸納的思想方法。解：總結升華： 舉一反三：【變式1】觀察下列等式：9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 這些等式反映自然數間的某種規律，設表示自然數，用關于n的等式表示這個規律為 解析：【變式2】（1）在一列數：2，中，第n個數（n為正整數）是 。（2）觀察一列有規律的數2，4，8，16，32，它的第2009個數是（ ）A B C D解析：【變式3】觀察下列各式：猜想： 。答案：【變式4】小王利用計算機設計了一個計算程序，輸入和輸出的數據如下表：輸入12345輸出那么，當輸入數據是8時，輸出的數據是 ；

24、當輸入數據是n（n是正整數）時，輸出的數據是 。解析： 【變式5】觀察：，將以上三個等式兩邊分別相加得：。猜想并寫出： 。直接寫出下列各式的計算結果： 。 。探究計算：。答案： 三、總結與測評要想學習成績好，總結測評少不了！課后復習是學習不可或缺的環節，它可以幫助我們鞏固學習效果，彌補知識缺漏，提高學習能力。總結規律和方法強化所學認真回顧總結本部分內容的規律和方法，熟練掌握技能技巧。相關內容請參看網校資源ID：#tbjx18#210520（一）正確理解正數和負數的意義比0大的數叫做 ；在正數前面加上“”號的數叫做 ；0既不是 ，也不是 .正數和負數通常表示具有 的量，若正數表示某種意義的量，則負數就表示其相反意義的量，反之亦然 .（二）理解數集的概念把一些數放在一起，就組成一個數的集合，簡稱 。.所有的有理數組成的數集叫做有理數集，類似地，所有整數組成的數集叫做 ，所有正數組成的數集叫做正數集，所有負數組成的數集叫做負數集，等等 . （三）掌握多重符號的化簡規律括號前是“”號時，去掉括號和“”號后，括號內的數 ，括號前是“”號時，去掉括號和“”號后，括號內的數就變成 . 在一個數的前面添加一個“”號，仍然與原數 ；在